第五講較復(fù)雜行程問題

1、第五講 較復(fù)雜行程問題知識(shí)要點(diǎn)：復(fù)雜的行程問題涉及三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系：路程、速度和時(shí)間。只不過有時(shí)是多個(gè)物體的相向、相背、同向運(yùn)動(dòng)，有時(shí)是運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)多次相遇。它常用的基本數(shù)量關(guān)系式是：速度×時(shí)間=路程。但有時(shí)運(yùn)動(dòng)過程中多次相遇時(shí)，可根據(jù)運(yùn)動(dòng)物體行駛的路程關(guān)系，靈活運(yùn)用比例來解答。人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行走距離常常與環(huán)形路的周長(zhǎng)有關(guān)。 從同一地點(diǎn)背向而行速度和×相遇時(shí)間=環(huán)形跑道的周長(zhǎng) 從同一地點(diǎn)同向而行速度差×追及時(shí)間=環(huán)形跑道的周長(zhǎng)例題：例1.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)相距100米，甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按 逆時(shí)針方向跑步，甲每秒跑5米，

2、乙每秒跑4米，他們每人跑100米，都要停10秒鐘。求甲追上乙需多少時(shí)間？思路提示：先求出甲、乙兩人不停地跑，甲追上乙的時(shí)間，再求甲跑完500米，一共停留了幾次，共停留時(shí)間。例2.上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)。8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上他的時(shí)候，離家恰好是8千米，問這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？思路提示：先求出小明和爸爸的速度比，觀察圖可知，爸爸從8點(diǎn)16分到第一次追上小明。爸爸共走的路，就可求出這段時(shí)間小明走了的路，繼而求出小明在前8分鐘走的路，小明的速度，及走8千米用的時(shí)間。 例3. 甲用40秒鐘跑完跑道一圈。乙反向

3、跑，每15秒鐘與甲相遇一次。問乙跑一圈要幾秒鐘？思路提示：甲乙兩人可看成從圓圈上同一地點(diǎn)，反向而行每相遇一次共跑一圈，可求出速度和，根據(jù)甲跑一圈的時(shí)間可求甲速，繼而可求乙速（用工程問題思維解題）。例4. 甲、乙、丙三人跑步鍛煉，都從A地同時(shí)出發(fā)，分別跑到B、C、D三地，然后立即往回跑，跑回A地再分別跑到B、C、D，再立刻跑回A地，這樣不停地來回跑，B與A相距千米，C與A相距千米，D與A相距千米。甲每小時(shí)跑3.5千米，乙每小時(shí)跑4千米，丙每小時(shí)跑5千米。問：若這樣來回跑，三人第一次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)需用多少小時(shí)？思路提示：分別求出甲、乙、丙往返一次的時(shí)間，然后求出他們所用時(shí)間的最小公倍數(shù)，就可以求出

4、同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)的時(shí)間。例5.李經(jīng)理的司機(jī)每天早上7點(diǎn)30分到家接他去公司上班，有一天李經(jīng)理7點(diǎn)從家出發(fā)步行去公司，路上遇到按時(shí)來接他的車，他乘車去公司，結(jié)果比平時(shí)早到5分鐘。問李經(jīng)理什么時(shí)間遇上汽車？汽車速度是步行速度的幾倍？思路提示：如圖，A點(diǎn)代表家，B點(diǎn)代表公司，設(shè)李經(jīng)理在C點(diǎn)上車，從圖中看出，汽車比平時(shí)少行兩個(gè)AC，知汽車行一個(gè)AC的時(shí)間：5÷2=2.5（分鐘），汽車比平時(shí)早2.5分鐘接到李經(jīng)理，即可解決問題。例6. 甲、乙兩班學(xué)生到離校24千米的飛機(jī)場(chǎng)參觀，每一輛汽車，一次只能乘坐一個(gè)班的學(xué)生，為了盡快地到達(dá)機(jī)場(chǎng)，兩個(gè)班商定，由甲班先坐車，乙班先步行，同時(shí)出發(fā)，甲班學(xué)生在中途

5、下車步行去飛機(jī)場(chǎng)，汽車立即返回接在途中步行的乙班學(xué)生，已知甲、乙班步行速度相同，汽車的速度是步行的7倍，那么汽車應(yīng)在距機(jī)場(chǎng)多少千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班學(xué)生同時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)？思路提示：如圖，A點(diǎn)為學(xué)校，B點(diǎn)為飛機(jī)場(chǎng)，設(shè)甲班乘車到C點(diǎn)下車步行BC，乙班步行AD，DB乘車。圖中看到DC+DB=7AD，即DC=3BC=3AD，因此，求出AD的長(zhǎng)度就容易了。例7.某城市東西路與南北路交匯于路口A。甲在路口A南邊560米的B點(diǎn)，乙在路口A。甲向北，乙向東同時(shí)勻速行走，4分鐘后兩人距A的距離相等，再繼續(xù)行走24分鐘后，兩人距A的距離恰又相等。問甲、乙兩人的速度各是多少？思路提示：如圖：4分鐘，甲到C，乙

6、到D。AC=AD，4分鐘共行AB，可求甲乙速度和，再走24分鐘，甲到E，乙到F，可知AE=AF，甲28分行BE，乙28分行AF，28分甲比乙多行AB，可求出甲乙速度差，即可求出甲、乙的速度。例8小剛與小勇進(jìn)行50米賽跑，結(jié)果當(dāng)小剛到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小勇還落后小剛10米；第二次賽跑，小剛的起跑線退后10米，兩人仍按第一次的速度跑，比賽結(jié)果將是什么？思路提示：先求出第一次小剛和小勇的速度比5：4，再解決第二次，小剛和小勇跑的路程，就可求出小勇離終點(diǎn)的距離。練習(xí)：1. A、B各以一定的速度，在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步。A的速度是每分鐘180米，B的速度是每分鐘220米。兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，多少分

7、鐘后B第二次追上A？2. 甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)相向而行。乙車比甲車每小時(shí)多行全程的，兩車每小時(shí)共行全程的。他們?cè)谕局械谝淮蜗嘤龊罄^續(xù)前進(jìn)，甲車到達(dá)B地，乙車到達(dá)A地后立即返回，他們?cè)谕局杏忠淮蜗嘤?。如果兩次相遇的地點(diǎn)相隔40千米，AB兩地相距多少千米？3. 一輛汽車從甲地開往乙地，如果把車速提高25%，那么可以比原定時(shí)間提前24分到達(dá)；如果以原速行駛80千米后，再將速度提高，那么可以提前10分到達(dá)乙地。甲、乙兩地相距多少千米？4. 科技站組織100名學(xué)生到離站32千米的標(biāo)本園地采集標(biāo)本。只有一輛每次能載50人的汽車，已知同學(xué)們步行的速度為每小時(shí)4千米。汽車載人時(shí)車速為每小時(shí)40千米，

8、空車每小時(shí)50千米。為了使全部同學(xué)盡快到達(dá)目的地，他們采用了步行與乘車相結(jié)合的辦法。問到達(dá)目的地最短的時(shí)間是多少小時(shí)？5. A、B兩地相距20千米，一個(gè)班學(xué)生45人，由A地去B地。現(xiàn)有一輛馬車，車速是人步行速度的3倍，馬車每次可乘坐9人，在A地先將第一批9名學(xué)生送往B地，其余學(xué)生同時(shí)步行向B地前進(jìn)；車到B地后，立即返回，在途中與步行學(xué)生相遇后，再接9名學(xué)生送往B地，余下的學(xué)生繼續(xù)向B地前進(jìn)這樣多次往返，當(dāng)全體學(xué)生都到達(dá)B地時(shí)，馬車共行多少千米？（學(xué)生上、下時(shí)間不計(jì)）6甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校從發(fā)去某公園，甲班步行速度是每小時(shí)4千米，乙班步行的速度是每小時(shí)3千米，學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)

9、48千米。這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生，為了使兩班學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)，那么甲班與乙班學(xué)生需要步行的距離之比是多少？6. 甲、乙兩人進(jìn)行百米賽跑，當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙在甲后面20米處；如果兩人各自速度不變，要使甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，甲的起跑線應(yīng)比原起跑線后移多少米？7. 小剛和小明進(jìn)行100米短跑比賽（假定二人的速度均不變）。當(dāng)小剛跑了90米時(shí)，小明距終點(diǎn)還有25米，那么，當(dāng)小剛到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小明距離終點(diǎn)還有多少米？8. 汽車每天早上從幼兒園出發(fā)，8點(diǎn)整到達(dá)居民區(qū)車站接小朋友上幼兒園。有一天小朋友們7點(diǎn)40分從居民區(qū)車站出發(fā)走向幼兒園。在路上遇到汽車后上車到幼兒園，結(jié)果比平常提早了4分鐘到達(dá)。汽

10、車的速度是小朋友步行速度的幾倍？9. 某校和某工廠之間有一條公路，該校下午2點(diǎn)鐘派車去該廠接某勞模來校作報(bào)告，往返需用1小時(shí)。這位勞模在下午1點(diǎn)鐘便離廠步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的汽車，便立刻上車駛向?qū)W校，在下午2點(diǎn)40分到達(dá)。問：汽車速度是勞模步行速度的幾倍？11. 甲、乙兩人從周長(zhǎng)為1600米的正方形水池ABCD相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，繞池邊沿ABCDA的方向行走。甲的速度是每分鐘走50米，乙的速度是每分鐘46米。則甲、乙第一次在同一邊上行走時(shí)，是發(fā)生在出后的第多少分鐘？12. 在40米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時(shí)從起跑線出發(fā)，反向起跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，當(dāng)他們第一次在起

11、跑點(diǎn)相遇時(shí)，他們已在途中相遇了多少次？例題解答及練習(xí)答案例1. 100÷（5-4）+10×4=140（秒）注意：甲跑到500米處，正好追上乙，不需計(jì)停留時(shí)間。例2. 小明與爸爸的速度比為1：3， 4÷（4+8）=1：34-4×=（千米）（小明前8分走的路）÷8=（千米）（小明的速度）8÷=24（分）（小明走8千米用的時(shí)間）24+8=32（分），即這時(shí)是8點(diǎn)32分。例3. 1÷（1÷=24（秒）或15÷（1-）=15÷24（秒）例4.甲往返一次需×2÷3.5=(時(shí))乙往返一次需

12、×2÷4=(時(shí))丙往返一次需×2÷5=(時(shí)),=6(時(shí))例5. 5÷2=2.5(分) 上午7點(diǎn)27.5分遇到李經(jīng)理,李經(jīng)理7點(diǎn)出門,7點(diǎn)27.5分遇到汽車,27.5分走的路汽車只需行2.5分.所以27.5÷2.5=11(倍).汽車速度是步行速度的11倍.例6. AD=CB. 汽車把甲送到C,回到D再到B,甲走完CB,汽車的速度是步行速度的7倍,DC的長(zhǎng)度是CB的(7-1)÷2=3(倍)CB=24÷(1+3+1)=4.8(千米) 例7. 560÷4=140(米/分) (甲乙速度和)560÷28=2

13、0(米/分) (甲乙速度差)(140+20)÷2=80(米/分) (甲速)80-20=60(米/分) (乙速)例8. 50:40=5:4 (小剛與小勇速度比)第二次小剛跑50+10=60(米)小勇跑60×=48（米）50-48=2（米）練習(xí)1. 500×2÷（220-180）=25（分）2. 甲速：（）÷2=；乙速：（）÷2= 第二次相遇時(shí)間1÷（）=小時(shí)，甲行全程的：第二次乙行全程:.全程為：40÷（×2）=180千米.3. 1:(1+25%)=4:5, 24÷(5-4)×5=120

14、分. 1:(1+)=3:4, 120÷4×(4-3)=30分 80÷=120千米4. 4:40=1:10, 4:50=1:12.5, 如圖,用實(shí)線代表行車,用虛線代表步行 9=份 32÷(1+9+1)=千米 所用時(shí)間為: ×(1+9)÷40+×(1+)÷4=1小時(shí)5. 人速:車速=1:3,畫圖為,實(shí)線代表行車,虛線代表步行 45÷9=5次 20×(1+)=56千米6. 設(shè)全程為S，甲班步行的路程為S1,乙班步行的路程為S2，根據(jù)兩班在路上的時(shí)間相等可得下面的方程： 化簡(jiǎn)得： =15：11 方法二

15、：如下圖所示，A為乙班的上車地點(diǎn)，B為甲班的下車地點(diǎn)。 由于48÷3=16，48÷4=12，所以AB間的路程是乙班步行路程的（16-1）÷2=7.5(倍),AB間的路程也是甲班步行路程的(12-1)÷2=5.5(倍). 7.5:5.5=15:117. 乙的速度是甲的,乙跑100米,甲可跑100÷=125(米),所以,甲應(yīng)后移125-100=25(米). 這道題也可用列方程的方法求解. 由題意知,甲跑100米時(shí),乙跑80米,設(shè)乙跑(100-80)米時(shí),甲跑x米,則 8. 當(dāng)小剛跑了90米時(shí),小明跑了100-25=75(米) 于是,小明的速度是小剛速度的75÷90=. 所以當(dāng)小剛到達(dá)終點(diǎn)時(shí),小明跑了100×(米) 即小明距離終點(diǎn)還有100-=16(米)9. 汽車比平常提早4分鐘到達(dá)幼兒園,說明汽車比平常提早2分鐘,即7點(diǎn)58分,接到小朋友.汽車2分鐘的路程小朋友走了18分鐘,所以汽車的速度是小朋友步行速度的18÷2=9(倍).10.我們先畫一個(gè)圖如下,其中A是學(xué)校,B是工廠,C是汽車和勞模相遇的地點(diǎn). 汽車從A到B往返需1小時(shí),即從A到B需30分鐘,汽車從A到C往返用了40分鐘,即從A到C需20分鐘,從而從C到B需30-20=10(分鐘).因?yàn)槠嚨竭_(dá)C點(diǎn)是2點(diǎn)20分,