排列組合問題基本類型及解題方法

1、排列組合問題的基本模型及解題方法導(dǎo)語：解決排列組合問題要講究策略，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列（有序）還是組合（無序），還是排列與組合混合問題。其次，要抓住問題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合 理地利用兩個(gè)基本原則進(jìn)行“分類與分步”。加法原理的特征是分類解決問題，分類 必須滿足兩個(gè)條件：類與類必須互斥（不相容），總類必須完備（不遺漏）；乘法原 理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨(dú)立，互不干擾并確保連續(xù)性。 分類與分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略，在實(shí)際操作中往往是“步”與“類”交叉，有機(jī)結(jié)合，可以是類中有步，也可以是步中有類，以上解題思路分析， 可以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清

2、；合理分類，用準(zhǔn)加乘；周密思考， 防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗(yàn)真?zhèn)?。注?以下幾點(diǎn)：1解排列組合應(yīng)用題的一般步驟為： 什么事：明確要完成的是一件什么事（審題）； 怎么做：分步還是分類，有序還是無序。2、解排列組合問題的思路（1）兩種思路：直接法，間接法。（2）兩種途徑：元素分析法，位置分析法。3、基本模型及解題方法：（一）、元素相鄰問題（1）、全相鄰問題，捆邦法例1、6名同學(xué)排成一排，其中甲，乙兩人必須排在一起的不同排法有（C ）種。A 720 B、360 C、240 D、120說明：從上述解法可以看出，所謂“捆邦法”，就是在解決對于某幾個(gè)元素要求相鄰 問題

3、時(shí)，可以整體考慮將相鄰元素視作一個(gè)“大”元素。（2）、全不相鄰問題插空法例2、要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不 得相鄰，問有多少不同的排法，解：先將6個(gè)歌唱節(jié)目排好，其中不同的排法有 6！，這6個(gè)節(jié)目的空隙及兩端共有 七個(gè)位置中再排4個(gè)舞蹈節(jié)目有A4種排法，由乘法原理可知，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相 鄰的排法為a4a6種例3、高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目 的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是A、 1800 B 、 3600 C 、 4320 D 、 5040解：不同排法的種數(shù)為 a5a2 = 3600，

4、故選B說明：從解題過程可以看出，不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將 它隔開，此類問題可以先將其它元素排好，再將特殊元素插入，故叫插空法。（3）、不全相鄰排除法，排除處理例4、五個(gè)人站成一排，其中甲、乙、丙三人有兩人相鄰，有多少排法？解：A5 - A3 A3 _ AA；或 3A2A3A2 二 72例5、有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間 的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是解法一：前后各一個(gè)，有8X 12X2= 192種方法 前排左、右各一人：共有 4X 4X 2 = 32種方法 兩人都在前排：兩人都在前排左邊的四個(gè)位置

5、：乙可坐2個(gè)位置因甲XX甲X_ L 刈甲I乙可坐1個(gè)位置1 + 1= 2此種情況共有4+ 2= 6種方法因?yàn)閮蛇叾际?個(gè)位置，都坐右邊亦有6種方法，所以坐在第一排總共有6 + 6= 12種方 法 兩人都坐在第二排位置，先規(guī)定甲左乙右10乙有m個(gè)垃賈可坐乙有尅牛程量可坐乙有呂亍位竇可坐X甲X乙乙有1個(gè)&置可坐10+110+9+8 十一十2十1=匯 10=55 甲左乙右總共有2種方法同樣甲、乙可互換位置，乙左甲右也同樣有55種方法，所以甲、乙按要求同坐第二排總共有55X 2= 110種方法。綜上所述，按要求兩人不同排法有192 + 32+ 12+ 110= 346種解法二：考慮20個(gè)位置中

6、安排兩個(gè)人就坐，并且這兩人左右不相鄰，4號座位與5號座位不算相鄰（坐在前排相鄰的情況有12種。），7號座位與8號座位不算相鄰（坐在后排相鄰的情況有22種。），共有A；。-2（11 6346種（二）、定序問題縮倍法例&信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是（）（用數(shù)字作答）。解：5面旗全排列有A5種掛，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故有=10A3 A2說明：在排列的問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序問題，這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便例7、某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必

7、須在工程甲完成后才能進(jìn)行， 工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么 安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是。解一：依題意，只需將剩余兩個(gè)工程插在由甲、 乙、丙、丁四個(gè)工程形成的5個(gè)空中（插 一個(gè)或二個(gè)），可得有A 5 A = 30種不同排法。解二：6!=304!例8、由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十 位的數(shù)字的共有（）A、210 個(gè)B 、300 個(gè) C 、464 個(gè) D 、600 個(gè)1解：a5A5 =300故選 B2（三）、多元問題分類法例9.某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和 乙不同去，

8、甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有 種解析：某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲 和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情況討論，甲、丙同去，則乙不去，有C； AJ =240種選法；甲、丙同不去，乙去，有 C； Aj=240種選法；甲、乙、丙都 不去，有A4 =120種選法，共有600種不同的選派方案.例10、設(shè)集合I =臼,2,3,4,5 ?。選擇I的兩個(gè)非空子集A和B,要使B中最小的數(shù)大于 A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有 （B）A、50種B 、49種C、48 種D、47種解析：若集合A、B中分別有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C|=10種；若集

9、合A中有一個(gè)元 素，集合B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C；=10種；若集合A中有一個(gè)元素，集合B中 有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C；=5種；若集合A中有一個(gè)元素，集合 B中有四個(gè)元素， 則選法種數(shù)有Cf =1種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C；=10種；若集合A中有兩個(gè)元素，集合B中有兩個(gè)個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C；=5種； 若集合A中有兩個(gè)元素，集合B中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有 c5=1種；若集合A中有 三個(gè)元素，集合B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C；=5種；若集合A中有三個(gè)元素，集 合B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C；=1種；若集合A中有四個(gè)元素，集合B中有一個(gè) 元

10、素，則選法種 數(shù)有c5=1種；總計(jì)有49種，選B.解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，從5個(gè)元素中選出2個(gè)元素，有C；=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；從5個(gè)元素中選出3個(gè)元素，有C3=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一 組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2X10=20種方法；從5個(gè)元素中選出4個(gè)元素，有C；=5種選法，再分成1、3； 2、2； 3、1兩組，較 小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3X 5=15種方法；從5個(gè)元素中選出5個(gè)元素，有C5=1種選法，再分成1、4； 2、3； 3、2； 4、1兩 組，較小元素的一組給A集合，較大元

11、素的一組的給B集合，共有4X1=4種方法； 總計(jì)為10+20+15+4=49#方法。選B.例11、將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為 1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）A 10 種B、20 種C 36 種D 52 種解析：將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為 1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒 子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，分情況討論：1號盒子中放1個(gè)球，其余3個(gè)放入2號盒子，有C： =4種方法；1號盒子中放2個(gè)球，其余2個(gè)放入2號盒子，有C： =6 種方法；則不同的放球方法有10種，選A.說明：元素多，取出的情況也多種，可按要求分

12、成互不相容的幾類情況分別計(jì)算，最 后總計(jì)。（四八 元素交叉問題集合法（二元否定問題，依次分類）例12、從6名運(yùn)動員中選出4名參加4X 100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑 第四棒，共有多少種不同的參賽方法？解：設(shè)全集U=6人中任選4人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四 棒的排列,根據(jù)求集合元素的個(gè)數(shù)的公式可得參賽方法共有： card（U）-card（A）-card（B）+card（A A B）=252例13、某天的課表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、體育共六門課程，且上 午安排四節(jié)課，下午安排兩節(jié)課。（1）若第一節(jié)不排體育，下午第一節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排課方法？（

13、2） 要求數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)不能排在一起（上午第四節(jié)與下午第一節(jié)不算連排），有多 少種不同的排課方法？例14、同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（）A、6 種 B、9 種 C、11 種 D、23 種解：此題可以看成是將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格 填一數(shù)，且每個(gè)方格的標(biāo)號與所填數(shù)字不同的填法問題。所以先將1填入2至4的3個(gè)方格里有3種填法；第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它 3個(gè)方格，又有3種填法； 第三步將余下的兩個(gè)數(shù)字填入余下的兩格中只有一種填法，故共有3X 3X 1=9種填法。故選B說明：求

14、解二元否定問題先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去， 依此即可完成。例15、安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場，另一名歌手不最后 一個(gè)出場，不同排法的總數(shù)是（用數(shù)字作答）。（答：78種）說明：某些排列組合問題幾部分之間有交集， 可用集合中求元素的個(gè)數(shù)的公式來求解。 （五八 多排問題單排法例16、兩排座位，第一排有3個(gè)座位，第二排有5個(gè)座位，若8名學(xué)生入座（每人 一座位），則不同的座法為（）ab 、aJCsCs3c 、a3a5d 、a8解：此題分兩排座可以看成是一排座，故有A種座法。.選D說明：把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（六八 至多、至少

15、問題分類法 或 間接法（去雜處理）含“至多”或“至少”的排列組合問題，是需要分類問題，或排除法。排除法，適 用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況。例17、從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這 3人中至少 有1名女生，則選派方案共有（）A 108 種B、186 種C、216 種D、270 種解析：從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有-a3=186種，選B.例18、5名乒乓球隊(duì)員中,有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1、2、 3號參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員，且1、2號中至少有1名新隊(duì) 員的排法有種.（以數(shù)作答）【解析】兩老一

16、新時(shí),有c3 c2a|=12種排法；兩新一老時(shí),有c2c2 a3=36種排法, 即共有48種排法.例19、將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的 3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則 不同的分配方案有A 、30 種 B 90 種 C 、180 種D 270 種解析：將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有2=15種方法，再將3組分到3A個(gè)班，共有15 A =90種不同的分配方案，選B.（七）、部分符合條件淘汰法例20、四面體的頂點(diǎn)各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共 有（）A、150 種 B 、147

17、種 C 、144 種 D 、141 種解：10個(gè)點(diǎn)取4個(gè)點(diǎn)共有 C0種取法，其中面ABC內(nèi)的6個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)必共面，這樣的面共有6個(gè)，又各棱中點(diǎn)共6個(gè)點(diǎn)，有四點(diǎn)共面的平面有3個(gè)，故符合條 件不共面的平面有G4。-4C：-6-3 = 141選D說明：在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求。（八）、分組問題與分配問題 分組問題：均勻分組，除法處理；非均勻分組，組合處理例21、有9個(gè)不同的文具盒：（1）將其平均分成三組；（2）將其分成三組，每組個(gè) 數(shù)2, 3, 4。上述問題各有多少種不同的分法？分析：（1）此題屬于分組問題：先取3個(gè)為第一組，有C3種分法，再取3個(gè)不

18、第二C 3組，有C；種分法，剩下3個(gè)為第三組，有C33種分法，由于三組之間沒有順序，故有9a3 3 種分法。（2）同（1），共有C；C；C：種分法，因三組個(gè)數(shù)各不相同，故不必再除以 A。 分配問題：定額分配，組合處理；隨機(jī)分配，先組后排例22、有9本不同的書：（1）分給甲2本，乙3本，丙4本；（2）分給三個(gè)人，分 別得2本，3本，4本。上述問題各有多少種不同的分法？（1）此題是定額分配問題，先讓甲選，有 C；種；再讓乙選，有C；種；剩下的給丙， 有C：種，共有C；C；C：種不同的分法（2）此題是隨機(jī)分配問題：先將 9本書分成2本， 3本，4本共有三堆，再將三堆分給三個(gè)人，共有 C；C；.C：.

19、A3種不同的分法。例23、對某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次 品為止，若所有次品恰好在第5次測試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能？ 解：第5次必測出一次品，余下3件次品在前4次被測出，從4件中確定最后一件 次品有°4種方法，前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有°6°3種，前4次測試中的順序 文檔.4_1 34有A4種，由分步計(jì)數(shù)原理即得：C4 （ C6C3 ） A4 = 576。本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素（即 組合）后排列.練習(xí)：1、3名教師分配到6個(gè)班里，各人教不同的班級，若

20、每人教 2個(gè)班，有多少種分配方 法？ c；c2c； =902、將10本不同的專著分成3本，3本,3本和1本，分別交給4位學(xué)者閱讀，問有多少種不同的分法?Cogc；3!4!例24、某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資 3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不 超過2個(gè),則該外商不同的投資方案有 （）A.16 種 B.36 種 C.42 種 D.60 種解析：有兩種情況，一是在兩個(gè)城市分別投資1個(gè)項(xiàng)目、2個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有c3，a2 = 36，二是在在兩個(gè)城市分別投資1, 1，1個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有a3=24，共有c3 a2 + a3=60，故 選（D）（九八相同元素入盒問題隔板法在排列組合中，對于將不可分辨的球

21、裝入到可以分辨的盒子中，每盒至少一個(gè)，求 方法數(shù)的問題，常用隔板法。例25、求方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。（即：10個(gè)相同的小球分給三人，每人至 少1個(gè)，有多少方法？）分析：將10個(gè)球排成一排，球與球之間形成 9個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板插入這些空隙 中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分的球數(shù)分別為 之值（如圖）OOO OOO OOOO貝U隔板與解的個(gè)數(shù)之間建立了一一對立關(guān)系，故解的個(gè)數(shù)為C； =36個(gè)。實(shí)際運(yùn)用隔板法解題時(shí)，在確定球數(shù)、如何插隔板等問題上形成了一些技巧。下面舉例說明：（1）、添加球數(shù)用隔板法例26、求方程x+y+z=10的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。分析：注意到

22、x、y、z可以為零，故上題解法中的限定“每空至多插一塊隔板”就不 成立了。怎么辦呢？只要添加三個(gè)球，給 x、y、z各一個(gè)球。這樣原問題就轉(zhuǎn)化為求 x+y+z=13的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)了，故解的個(gè)數(shù)為 G22=66個(gè)。（2）、減少球數(shù)用隔板法例27、將20個(gè)相同的小球放入編號分別為 1, 2, 3, 4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒 子中的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，求放法總數(shù)。分析1:先在編號1, 2, 3, 4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放0, 1, 2, 3個(gè)球，有1種方法； 再把剩下的14個(gè)球，分成4組，每組至少1個(gè)，由例25知有G33 =286種方法。分析2:第一步先在編號1, 2, 3, 4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放1

23、, 2, 3, 4個(gè)球，有1種 方法；第二步把剩下的10個(gè)相同的球放入編號為1, 2, 3, 4的盒子里，由例26知有 G； =286 種方法。（3）、先后插入用隔板法例28、為構(gòu)建和諧社會出一份力，一文藝團(tuán)體下基層宣傳演出，準(zhǔn)備的節(jié)目表中原有4個(gè)歌舞節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，擬再添2個(gè)小品節(jié)目，則不同的排列方法有多少種？分析：記兩個(gè)小品節(jié)目分別為 A、B。先排A節(jié)目。根據(jù)A節(jié)目前后的歌舞節(jié)目數(shù)目考 慮方法數(shù)，相當(dāng)于把4個(gè)球分成兩堆，由例26知有C5種方法。這一步完成后就有 5 個(gè)節(jié)目了。再考慮需加入的 B節(jié)目前后的節(jié)目數(shù)，同上理知有 C6種方法。故由乘法原 理知，共有C；C6=3

24、O種方法。（十）、數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被 2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇 數(shù)。 能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位 數(shù)字之和是9的倍數(shù)。 能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。 能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。 能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是 25, 50，75。 能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3的倍數(shù)的偶數(shù)。例29、在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù) 的共有A 36 個(gè) B 、24 個(gè) C 、18 個(gè)D 6 個(gè)解：依題意，所選的三位數(shù)字有

25、兩種情況：（1）3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，有A3種方法（2） 3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù)，有C；A；，故共有A3 + C；A； = 24種方法，故選B例30、用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字 1，2相鄰的偶 數(shù)有 24個(gè).（十一）、分球入盒問題例30、將5個(gè)小球放到3個(gè)盒子中，在下列條件下，各有多少種投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空解：將小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3個(gè)不同的盒子中，即先分3122堆，后分配。有（C5C2 + C5C3）3A 2 A 2 322 小球不同，盒子不同，盒子可空 解：35種 小球不同，盒子相同，盒子不空解:只要將5個(gè)不同小

26、球分成3份，分法為：1,1,3; 1 ,2,2。共有£1£1 +空1=25 A 2 A 2種 小球不同，盒子相同，盒子可空本題即是將5個(gè)不同小球分成1份，2份，3份的問題。共有 c； （C： C；）（字 + 睜）=41 種2 2 小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 00 00，有C：種方法 小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把5個(gè)小球及插入的2個(gè)隔板都設(shè)為小球（7個(gè)球）。7個(gè)球中任選兩個(gè)變?yōu)楦舭澹梢韵噜彛?。那?塊隔板分成3份的小球數(shù)對應(yīng)于 相應(yīng)的3個(gè)不同盒子。故有c；=21. 解：分步插板法。 小球相同，盒子相同，盒子不空解：5個(gè)相同的小球分成3份即可，有3

27、，1，1； 2, 2, 1。 共2種 小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要將將5個(gè)相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0；4，1,0；3，2,0；3 ，1，1；2，2，1。例31、有4個(gè)不同的小球，放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，球全部放入盒子內(nèi)（1）共有幾種放法？（答：44）（2）恰有1個(gè)空盒，有幾種放法？（答：C2A3 =144）（3）恰有1個(gè)盒子內(nèi)有2個(gè)球，有幾種放法？（答：同上C：A3=144）（4） 恰有2個(gè)盒子不放球，有幾種放法？（答：C：A： C：C： =84）（十二）、涂色問題（1）用計(jì)數(shù)原理處理的問題，需要關(guān)注圖形的特征：多少塊？多少色？（2）以涂色先后分步，以色的種類

28、分類。例32、某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為 6個(gè)部分（如下圖）?，F(xiàn)要栽種4 種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分要能栽種同種顏色的花，則不同的栽 種方法有多少種？法1 :按對稱區(qū)域顏色是否相同分類分析：四種不同的顏色涂在如圖所示的 6個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色， 只能選用4種顏色， 要分四類：5（1）與同色、與同色，則有A：；（2）與同色、與同色，則有a4 ；（3） 與同色、與同色，則有A ；（4） 與同色、與同色，則有 A ；（5）與同色、與同色，則有a4 ；所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5 A： =120法2:轉(zhuǎn)化法將其轉(zhuǎn)化為空間圖形如右圖，轉(zhuǎn)化為對點(diǎn)涂色。1號和其他5

29、個(gè)區(qū)域都相鄰，其 他5個(gè)區(qū)域按逆時(shí)針順序3個(gè)3個(gè)相鄰，因此對這個(gè)5棱錐的涂色問題，可轉(zhuǎn)化為 用3種顏色對底面5邊形進(jìn)行涂色。第1步：對頂點(diǎn)1進(jìn)行涂色，有C：種涂法；第2步：用剩余的3種顏色對平面5邊形的頂點(diǎn)涂色，則必然有二組相對頂點(diǎn)同色， 有如下五種分組方式：第一種：（2, 4），（3, 5），6； 第二種：（2, 4）,（3, 6）, 5； 第三種：（2, 5）,（3, 6）, 4；第四種：（2，5），（第五種：（3，5），（4, 6）， 3；4, 6），2.每種分組方式的涂色方法有 A種，根據(jù)分類、分步計(jì)數(shù)原理有 C”5A；=120種涂色方法。例33、將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，

30、并使同一條棱的兩端異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色種數(shù)為420應(yīng)該指出的是，上述所介紹的適用不同要求的各種方法并不是絕對的，對于同一問 題有時(shí)會有多種方法，這時(shí)要認(rèn)真思考和分析，靈活選取最佳方法。（十三）、不同元素進(jìn)盒，先分堆再分配對于不同的元素放入幾個(gè)不同的盒內(nèi)，當(dāng)有的盒內(nèi)有不小于2個(gè)元素時(shí)，不可分批進(jìn)入，必須先分堆再分配。例34、5個(gè)老師分配到3個(gè)班搞活動，每班至少一個(gè)，有幾種不同的分法？解：先把5位老師分3堆，有兩類:3,1,1分布有C53種和1,2,2分布有c5c；c；種，再排列到3個(gè)班里有a3種，故共有（c3 C；C2）A種。注意：不同的老師不可分批進(jìn)入同一個(gè)班，須一次到位

31、 （否則有重復(fù)計(jì)數(shù)）。即“同 一盒內(nèi)的元素必須一次進(jìn)入”。（十四）、兩類元素問題組合選位法10級樓梯，要求7步走完，每步可跨一級，也可跨兩級，問有幾種不同的跨由題意知，有4步跨單級，3步跨兩級，所以只要在7步中任意選3步跨兩級 即可。故有C；種跨法。注意：兩類元素的排列問題涉及面很廣，應(yīng)予重視。 例36、 沿圖中的網(wǎng)格線從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)B，最短的路線有幾條？ 解：每一種最短走法，都要走三段“ | ”線和四段“一”線， 這是兩類元素不分順序的排列問題。故有 C；或C4種走法。例35、 法？解：例37、從5個(gè)班中選10人組成?；@球隊(duì)（無任何要求），有幾種選法？解：這個(gè)問題與例12有區(qū)別，雖仍可看成4

32、塊“檔板”將10個(gè)球分成5格（構(gòu)成5個(gè) 盒子），是球與檔板兩類元素不分順序的排列問題。 但某些盒子中可能沒有球，故4塊“檔板”與10個(gè)球一樣也要參與排成一列而占位置，故有 G：種選法。（十五）、特殊元素（位置）優(yōu)先法對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排。 在操作時(shí)，針對實(shí)際問題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。例38、0,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有幾個(gè)？解法一：（元素優(yōu)先）分兩類：第一類：含0，0在個(gè)位有A2種，0在十位有A；A；種；第二類：不含0，有a；a3種。故共有（a4 a2a3）+a2a2 =30種。注：在考慮每

33、一類時(shí)，又要優(yōu)先考慮個(gè)位。解法二：（位置優(yōu)先）分兩類：第一類：0在個(gè)位有a2種；第二類：0不在個(gè)位，先從兩個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)放個(gè)位，再選一個(gè)放百位，最后考慮十位，有a；a3a；種。故共有 a2+a；a3a13=30例39、電視臺連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告， 要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有 A22種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有 A4種, 從而應(yīng)當(dāng)填A(yù)22 A?= 48.從而應(yīng)填48.（十六）、“小團(tuán)體”排列，先“團(tuán)體”后整體對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先按制約條件“組

34、 團(tuán)”并視為一個(gè)元素再與其它元素排列。例40、四名男歌手與兩名女歌手聯(lián)合舉行一場演唱會，演出的出場順序要求兩名女歌 手之間有兩名男歌手，則出場方案有幾種？解：先從四名男歌手中選2人排入兩女歌手之間進(jìn)行“組團(tuán)”有 a2a2種，把這個(gè)“女 男男女”小團(tuán)體視為1人再與其余2男進(jìn)行排列有A3種，由乘法原理，共有a4a2 a3 種.（十七）、逐步試驗(yàn)法如果題中附加條件增多，直接解決困難，用試驗(yàn)法尋找規(guī)律也是行之有效的方法.例41、將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號為1,234的四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)方格填一個(gè)， 則每個(gè)方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有 種。解：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為復(fù)雜，可用試驗(yàn)法逐步解決.第一方格內(nèi)可填2或3或4 如填2，則第二