絕對值的三角不等式典型例題

1、絕對值三角不等式教學(xué)目標(biāo):3.4.教學(xué)重點(diǎn):1. 理解絕對值的定義，理解不等式基本性質(zhì)的推導(dǎo)過程;2. 掌握定理1的兩種證明思路及其幾何意義； 理解絕對值三角不等式；會用絕對值不等式解決一些簡單問題。定理1的證明及幾何意義。教學(xué)難點(diǎn):換元思想的滲透。教學(xué)過程:、引入:證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之（2）忖(4)外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì):(1) a b (3) a b請同學(xué)們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質(zhì)存在的道理？實際上，性質(zhì)a ba b和一（b0）可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法法則直接推出；而絕對值的差的性質(zhì)可以利用和

2、的性質(zhì)導(dǎo)出。因此，只要能夠證a b對于任意實數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明?，F(xiàn)在請同學(xué)們討論一個問題：設(shè)a為實數(shù)，a和a哪個大?顯然la a，當(dāng)且僅當(dāng)a 0時等號成立（即在a 0時，等號成立。在a 0時，等號不成立）。同樣，|a|a.當(dāng)且僅當(dāng)a 0時，等號成立。含有絕對值的不等式的證明中，常常利用laa及絕對值的和的性質(zhì)。、典型例題：例1證明（1）a(2) I a b證明（1）如果a b0,那么ab.所以I ab.a b 0,b (a b).b a ( b) (ab)（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，有ab,就是，所以,例2、證明la |b|a b|例3、證明|a b思考：如何利用數(shù)軸給

3、出例3的幾何解釋?（設(shè)A, B, C為數(shù)軸上的3個點(diǎn)，分別表示數(shù)a, b，c，則線段ABACCB.當(dāng)且僅當(dāng)C在A，B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c= 0 （即C為原點(diǎn)），就得到例2的后半部分。）探究：試?yán)媒^對值的幾何意義，給出不等式a b的幾何解釋?定理1如果a,b R,那么a在上面不等式中，用向量a,b分別替換實數(shù)a,b, 則當(dāng)a,b不共線時，由向量加法三角形法則： 向量a,b ,a b構(gòu)成三角形，因此有I a+b I < I a | + | b |其幾何意義是什么?含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1, 例2和例3的結(jié)果來證明。cX

4、 aJ例4、已知y b 2，求證 |(x y) (a b)|c.證明(X y) (a b)(X a) (y b)c2,yc2，cc-c22由(1), (2)得:(X y)(a b)例5、已知IX -Jy4a證明a.求證:6a，二 2x62x 3y由例1及上式，2x 3y2x 3ya2，a2注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫 法，只能用于不等號方向相同的不等式。四、鞏固性練習(xí)：1、已知A2、已知|B4y-.求證:2C.求證：6(A B) (a b)| c。2x 3y 2a 3b c。作業(yè)：習(xí)題3、預(yù)習(xí)目標(biāo):3.預(yù)習(xí)內(nèi)容:絕對值三角不等式學(xué)案1. 理解絕對值的定義，理

5、解不等式基本性質(zhì)的推導(dǎo)過程;2. 了解定理1的兩種證明思路及其幾何意義； 理解絕對值三角不等式。1.絕對值的定義：a R , |a|2. 絕對值的幾何意義：1 0.實數(shù)a的絕對值| a |，表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A20.兩個實數(shù)a,b，它們在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為 A, B，那么|a b|的幾何意義是3. 定理1的內(nèi)容是什么？其證法有幾種？4. 若實數(shù)a,b分別換成向量a,b定理1還成立嗎?5. 定理2是怎么利用定理探究學(xué)習(xí)：1、絕對值的定義的應(yīng)用例1設(shè)函數(shù)f (x)1證明的?1解不等式f(x)求函數(shù)yf(x)的最值.2.絕對值三角不等式：探究|a|，0時,如下圖，容易得：|b|，|ab|之間的

6、關(guān)系.|a b|a| |b|.0時,如圖,容易得：|a b| |a| |b|.0 時,顯然有：|a b| |a|b|.綜上,得定理1如果a,b R,那么|a b| |a| |b|.當(dāng)且僅當(dāng)立.在上面不等式中,用向量a,b分別替換實數(shù)a,b, 則當(dāng)a,b不共線時，由向量加法三角形法則： 向量a,b,a b構(gòu)成三角形,因此有|a b|一|a| |b| 它的幾何意義就是:定理1的證明：定理2如果a,b,c R,那么|a c| |a b| |b c|.當(dāng)且僅當(dāng) 立.時，等號成時，等號成3、定理應(yīng)用例2 (1) a,b R證明|a q同冋，(2)已知x引 2'" b】2，求證 |(xy

7、) (a b) c.。課后練習(xí)：1.當(dāng)a、b R時，不等式肆1成立的充要條件是A. ab 0B . a2b2C . ab 0 D . ab 02.對任意實數(shù)X，|x1| |x 2| a恒成立，則a的取值范圍是3.對任意實數(shù)X，|x1| |x 3| a恒成立，則a的取值范圍是04. 若關(guān)于x的不等式|x 4| |x 3| a的解集不是空集，貝U a的取值范圍是5.方程X 2x2 3x. 不等式I 2 X I 2 X 的解集是6. 已知方程 |2X 1| |2X 1| a1有實數(shù)解，則a的取值范圍為7.畫出不等式IX ly 1的圖形,并指出其解的范圍。利用不等式的圖形解不等1 |x 111 ；2X

8、 2y 1.28.解不等式：1、12x 1|x 1；21；|x 2 3 ;4、|x 2 |x 1 3 0.9. 1、已知ix求證：|2x3y、已知2x3y 2a 出 c。I (A B C) (a bc)|10.1、已知 x<a, yVa.求證:xya.B.3 > av44;V7chy5,3axap2sxvho-(xaosxv2)0> IoannaV-h.7、先考慮不等式在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的情況。在第一象限內(nèi)不等式等價于:其圖形是由第一象限中直線 y 1 x下方的點(diǎn)所組成。同樣可畫出二、三、四象限的情況。從而得到不等式ix ly 1的圖形是以原點(diǎn)0為中心，四個等點(diǎn)分別在坐標(biāo)軸上的正方形。不等式解的范圍一目了然。探究:利用不等式的圖形解不等式1.答案:1、<x<2.為一