專題反比例函數(shù)與三角形四邊形的面積等

1、反比例函數(shù)比例系數(shù)k與圖形面積經(jīng)典專題知識點(diǎn)回顧由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性， 很多中考試題都將反比例函數(shù)與面 積結(jié)合起來進(jìn)行考察。這種考察方式既能考查函數(shù)、反比例函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識 內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查的題型廣泛，考查方法靈活，可 以較好地將知識與能力融合在一起。下面就反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題的四 種類型歸納如下：利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問題i-L 一 一一 一 、-， j 一設(shè)P為雙曲線x上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN,垂足分別J為 M、N,則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=|PM| 義 |PN|=|

2、y| 義 |x|=|xy|克xy=k故S=|k|從而得結(jié)論1:過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|類型之一 k與三角形的面積. k .一.1、如圖，已知雙曲線y= k (k>0)經(jīng)過直角二角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D,x與直角邊AB相交于點(diǎn)C.若AOBC的面積為6,則k=最佳答案過D點(diǎn)作D已x軸，垂足為E,由雙曲線上點(diǎn)的性質(zhì)，得 SJAAOC=SDOE=1k,2.DEL x 軸,AB± x 軸,DE/ AB, AOABAOEED又. OB=2ODOAB=4S DOE=2k由 SJA OAB-SX OAC=S OBC,得 2k- - k=6,2解得：k

3、=4.故答案為：4.a e a2、如圖1-ZT-1,分別過反比例函數(shù)y=2018(x>0)的圖象上任意兩點(diǎn)A、B作x x軸的垂線，垂足分別為 C、D,連接OA、OB,設(shè)4AOC和ABOD的面積分別是Si、S2,比較它們的大小，可得>&=&<8、與大小不確定。3、在下列圖形中，陰影部分面積最大的是(C)；v(-ik4、如圖1-ZT-3,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A是函數(shù)y= (x<0)圖象上的點(diǎn)， x過點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在x軸上，若 ABC的面積為1,則k 的值為 o5、X如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A在函數(shù)'1(k<0, x

4、<0)的圖象上， 過點(diǎn)A作AB/ y軸交x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在y軸上，連結(jié)AC、BC.若 ABC的面 積是3,則k=.試題分析；謾點(diǎn)由坐標(biāo)為由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合軸C的囿積即可得Svaec =義(-m) =3解得仁-8.2 由6、如圖1-ZT-4, ZXOAC和ABAD都是等腰直角三角形，/ ACO4 ADB=90° ,反比例函數(shù)y=k在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn) B,若。俘-AE2=8,則k的值為。 x試題解析：說B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,七)，二0前和AEAD都是等腰直角三甬形，'.QA=& AB=-/T 皿 0C=AC AD=BD.爐標(biāo)邙，,'.2-囿)2=8,即修-拉，,

5、/. CAC+AB) (AC-AB)當(dāng): COU+BD) CD=4,/.3-b4r/.LM.類型之二 k與平行四邊形的面積7、X如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A是函數(shù)y=- (k<0, x<0)圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn) A x與y軸垂直的直線交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)G D在x軸上，且BC/ AD.若四邊形ABCD的面積V AB±y 軸,AB/ CD, v BC/ AD, 一四邊形ABCD是平行四邊形, 四邊形AEOB的面K =ABOES平行四邊形ABCD=ABCD= 3四邊形AEOB的面積=3,. . |k|=3 , <0,''' k=-3,故答案為：-3.

6、8、如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,4）,頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，反比 k例函數(shù)y=-（x>0）的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)B,則k的值為（）。xA. 12 B.20 C.24 D. 32答案:,C的坐標(biāo)為（3, 4）,，CD=4, OD=3,. CB/ AO,，B的縱坐標(biāo)是4,故選D.9、如圖1-ZT-6,函數(shù)丫="與y=-f的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)作y軸的垂線，垂足分別為C、A. 2 B. 4 C. 6xD,則四邊形ACBD的面積為（D. 8數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向1坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=1|k| ,得出$ ao c=Sao

7、db=2,再根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知：OC=OD, AC=BD,即可求 出四邊形ACBD的面積.解答：解：過函數(shù)y=-的圖象上A, B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂 足分別為 x點(diǎn) C, D,1 C Saaoc=Sa odb= |k|=2 ,又. OC=OD, AC=BD, 二 Saaoc=Sa oda=Saodb=Sa obc=2 , 二四邊 形 ABCD 的面 積為：Saaoc+Saoda+Sa odb+Saobc=4 X 2=8 故選D.點(diǎn)評：本題主要考查了反比例函數(shù)y=k中k的幾何意義，即過雙曲線上 x任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得 矩形面積為|k| ;圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所 連的線段、坐標(biāo)軸

8、、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系1即$=3兇，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點(diǎn)；同時考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性.210、如 圖1-ZT-7,點(diǎn)A是反比例函 數(shù)y=（x>0）的圖象上 任意一點(diǎn)，AB x/ x軸交反比例函數(shù)y=-g的圖象于點(diǎn)B,以AB為邊作CABCD,其中點(diǎn)C、 xD在x軸上,則CABCD的面積未（）。A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 一，. _，j, k 一11、如圖、1-ZT-8在CABOOL,兩條對角線父于點(diǎn) E,雙曲線y=(k<0)的一支經(jīng)過G E兩點(diǎn)，若CABOC的面積為10,則k的值是()23A.-5 B. - C.-4分析；設(shè)E的坐標(biāo)是(m

9、f n) f則mn=k r平行四邊形ABOC中E是OA的中點(diǎn).則A的坐標(biāo)是 :(2m , 2n) , C的縱坐標(biāo)是2n ,表示出C的儂標(biāo),則可以得到AC即0B的長,然后根據(jù) 平行四邊形的面積公式即可求得k的值.解答爭:設(shè)E的坐標(biāo)是(m r n),則平行四邊形ABOC中E是0A的中點(diǎn)f.8的坐標(biāo)是：(2m x 2n ),匚的縱坐標(biāo)是2a, L-L-L-把42門代入六二得：其二百.即C的橙坐標(biāo)是：彳.，。甘三AC三在-2m r CB_t的高是2n r k卜(茄-2m ) *2n=10 f即 k-4mn=10 F .k-4k=1O .總部二本題是平形四邊形與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用,根據(jù)E點(diǎn)的坐標(biāo)表示出

10、AC的長度是美 鍵.類型之三k與矩形的面積12、如圖1-ZT-9 A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=4上，分別過A、B兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線x段，已知S+S2=6,S陰影=()oA. 4 B. 2 C. 1D.無法確定13、如圖 1-ZT-1Q點(diǎn)M ,分別與AR ()。反比例函數(shù)y= 'BC相交于點(diǎn)D、(x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交E,若四邊形ODBE的面積為9,則k的值為A. 1 B. 2 C. 3 D. 4反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.數(shù)形結(jié)合.本題可從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn) E、M、D入手，分別找出AOCE AOAD> 矩形OABC的面積與兇的關(guān)系，列出等式求出k值.解：由題

11、意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，則 SA OCE= SAOAD=過點(diǎn)M作MG，y軸于點(diǎn)G,彳MN，x軸于點(diǎn)N,則SDONMG=|k|,又M為矩形ABCO對角線的交點(diǎn), .S矩形 ABCO=4S ONMG=4|k|由于函數(shù)圖象在第一象限，k>0,則|2+2+9=4k, 眄得：k=3.故選C.點(diǎn)本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩評：條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k| ,本知識點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注.k_14、如圖1-ZT-11,反比但J函數(shù)丫=工(,k>0)的圖象與矩形ABCO的兩邊相交于E、F兩點(diǎn)，若E是AB的中點(diǎn)，&

12、amp;bef=2,則k的值為分析：設(shè)E (a, K) a可求得F的橫坐標(biāo),，則B縱坐標(biāo)也為K ,代入反比例函數(shù)的y=k ,即 ax則根據(jù)三角形的面積公式即可求得k的值.解：設(shè)E ( a, k),則B縱坐標(biāo)也為k ,aakE是AB中點(diǎn)，所以F點(diǎn)橫坐標(biāo)為2a,代入斛析式得到縱坐標(biāo)：一，2aBF=k-±=A,所以F也為中點(diǎn)， a 2a 2aSz bef=2= , k=8 .4故答案是：8.點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確表示出BF的長度是關(guān)鍵.k15、如圖1-ZT-12點(diǎn)P、Q是反比例函數(shù)y= x圖象上的兩點(diǎn)，PA!y軸于點(diǎn)A, QN±x軸于點(diǎn)N, PMx軸于點(diǎn)M,QBy

13、軸于點(diǎn)B,連接PR QM, zABP的面積 記為S, AQMN的面積記為 電 則Si 0(填“>” 或“=”)。16、如圖1-ZT-13,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的邊OA、 kOC分別在x軸和y軸上，其中OA=6, OC=3已知反比例函數(shù)y=r (,k>0)的 圖象經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E(1) k的值為;(2)猜想的面積與的面積之間的關(guān)系，并說明理由。答案：(1) 9; (2) SJAOCD=SOBE理由見解析. 【解析】 試題分析：(1) 根據(jù)題意得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可得出k的值：OA=6, OC=3,點(diǎn)D為BC的 中點(diǎn)，；D (3, 3).二反

14、比例函數(shù)(x> 0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,.k=3X 3=9 (2) 根據(jù)三角形的面積公式和點(diǎn) D, E在函數(shù)的圖象上，可得出SJAOCD=SOAE再 由點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，可得出SJAOCD=SOB.類型之四k與多邊形的面積k17、如圖1-ZT-14所小，過點(diǎn)A (2,-1)分別作y軸、x軸的平行線父 雙曲線y=x于點(diǎn)B、C,過點(diǎn)C作CE! x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BD，y軸于點(diǎn)D,連接ED,若 五邊形ABDEC勺面積為34,則k的值為18、如圖1-ZT-14,點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=k1 (k>0, x>0)圖象上的一動點(diǎn)，過 點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交反比

15、例函數(shù)y=k2- ( k2x<0,且|k2|<k1)的圖象于E、F兩點(diǎn)。(1)圖1中，四邊形PEOF勺面積&=(用含匕、k2的式子表示)；(2)圖2中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(, ), 點(diǎn)F的坐標(biāo)是(, )(用含k2的式子表示)；(3)若AOEF的面積為8 ,求反比例函數(shù)y=檢的解析式.3x解答：(1) .P是點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=k1 (k x>0, x>0)圖象上一動點(diǎn)，.二S二k. B F分別是反比例函數(shù)y=k2 (卜2<0且卜2|<匕)的圖象上兩點(diǎn)， x1SA OBF=SAOE=|k2| ,二四邊形 PEOF勺面積 Si=S矩形

16、pboa+Saobf+SAOE=ki+|k2| ,: k2<0,二四邊形 PEOF勺面積 Si=S矩形pboa+Saobf+SSxAOE=ki+|k2|= ki-k2. .SA OEF=(ki-k2)I2(2)v PE!x軸，PF!y軸可知，P、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，P、F兩點(diǎn)的縱坐 標(biāo)相同，=(6-k2)-3=口12123, k2= 2: k2<0,k2=-2.y題型之五：k與面積綜合16、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=12 (x>0) x圖像上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于 A、Bo(1)求證：線段AB為。P的直徑；(2)

17、求4AOB的面積。(3)如圖2, Q是反比例函數(shù)y=12 (x>0)圖像上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，以Q為 xBC、Do 求證：DO - OC=BO- OA。圖2（1）證明:/ZAOB90且/汽OB是0P中弦AB前對的圓周角, ，AB是OP的直徑.C）解：設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（皿n） <m>0, n>0）,二.點(diǎn)P是反比例崎 T（k>。）圖象上一點(diǎn),，皿72.1如答題 過點(diǎn)F作PM1Z肝點(diǎn)此PN_Ly辛好裊N1則ON=n, 由垂徑定理可知，點(diǎn)M為。且卬點(diǎn),點(diǎn)N為C®卬點(diǎn)，0啟三2。、仁2m, 0B2ON=2nJ，5二 aob=SO*OA-x 2n*2m-2mn.=, 2

18、 * 12=24.22（3）證明:若點(diǎn)Q為反比例醐廣絲仃>。圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)? ¥參照 C3 同理可得；Scod=-DO*CO=24j 2貝崎：江 0OD-3 二.*區(qū)2% §PB0 OA-iDO *C0) 22，DOOC=BOQA.解二7反比例函數(shù)相關(guān)練習(xí)題1 .如圖，直線y=-x上有一長為 質(zhì)動線段MN,作MH、NP都平行y軸交在條件（2）下，第一象限內(nèi)的雙曲線y=k于點(diǎn)H、P,問四邊形MHPN能否為平行四 x邊形（如圖3）若能，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.2 .如圖，已知Pi0Ai, PAiA都是等腰直角三角形，點(diǎn)Pi、P2都在函數(shù)yJ (x | x>0)的圖象上，斜邊OAi、A1A2都在x軸上.則點(diǎn)A2的坐標(biāo)為 k3 .如圖，A是反比例函數(shù)y (k 0)圖象上一點(diǎn)，過A