空間向量專題練習答案

1、空間向量專題練習、填空題(本大題共4小題，共20.0分)1.平面a的法向量為(1, 0, -1),平面3的法向量為(0, -1, 1),則平面面3所成二面角的大小為【答案】?. 2? 一或一 33【解析】解：設(shè)平面a的法向量為? = (1, 0, -1),平面3的法向量為？(0,-11),1 x 0+0 x (-1)+(-1) XI 1?> = ZZ=-.v2?v22，2?. < 新?> 二 _，3平面a與平面3所成的角與V 軟 ?相等或互補,. .? . 2?1' a與3所成的角為不或于.33 ?. 2?故答案為：3或可.利用法向量的夾角與二面角的關(guān)系即可得出.本題

2、考查了利用用法向量的夾角求二面角的方法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.平面a經(jīng)過三點 A (-1 , 0, 1), B (1 , 1 , 2) , C (2, -1 , 0),則平面 a的法向量？可以是 (寫出一個即可)【答案】(0, 1, -1)【解析】解：?(2, 1 , 1), ?=? (3, -1 , -1),設(shè)平面a的法向量？= (x, y, z),?=?2?+ ?+?= 0,則，令 z=-1 , y=1 , x=0 .?= 3? ? ?= 0?= (0, 1, -1).故答案為：(0, 1,-1).0,解出即可.0?:?2?+ ?+ ?=設(shè)平面a的法向量？= (x, y, z),

3、則 f?= 3?- ? ?=本題考查了線面垂直與數(shù)量積的關(guān)系、平面的法向量，屬于基礎(chǔ)題.3 .已知？?？(1, 0, 2), ? (2, 1, 1),則平面 ABC 的一個法向量為 : 【答案】(-2, 3, 1)【解析】解：?(1, 0, 2), ?=? (2, 1 , 1),貝 U ?=? 0?= 0設(shè)平面ABC的法向量為？? (x, y, z),一?+ 2?= 0，即“="2 a 取 x=-2 ,則 z=1 , y=3 . 2?+ ?+ ? = 0. . ?= (-2, 3, 1).故答案為：(-2, 3, 1).設(shè)平面ABC的法向量為? (x, y, z),則?=? 0,解出

4、即可.? 0本題考查了平面的法向量、線面垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4 .在三角形 ABC 中，A (1, -2, -1), B (0, -3, 1), C (2,-2, 1),若向量？芍平面ABC垂直，且|?= 百,則？酌坐標為 ;【答案】(2, -4, -1)或(-2, 4, 1)【解析】解：設(shè)平面ABC的法向量為? = (x, v, z),貝U 密？?？,且至?0 ,.?(-1, -1, 2),9(1, 0, 2),.-?- ?+ 2?= 0. T?+ 2?= 0，即?= -2?= 4?'令 z=1 ,貝U x=-2 , y=4 ,即密=(-2 , 4, 1),若向量？巧平面

5、ABC垂直，向量?室，設(shè)？=入雷=(-2入，4入，入)，1?1=國，v21 ?1 入 |= v21，即|入|二1 ,解得入=± 1 ,?的坐標為(2, -4, -1)或(-2, 4, 1),故答案為：(2, -4, -1)或(-2, 4, 1)根據(jù)條件求出平面的法向量，結(jié)合向量的長度公式即可得到結(jié)論.本題主要考查空間向量坐標的計算，根據(jù)直線和平面垂直求出平面的法向量是解決本 題的關(guān)鍵.二、解答題(本大題共3小題，共36.0分)B5.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為菱形, / BAD=60 ° , Q 為 AD 的中點.(1)若PA=PD,求證：平面 PQBL平

6、面 PAD;(2)點M在線段PC上，?= 1?若平面3PAD,平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2 ,求二面角 M- BQ-C的大小.【答案】解：(1)證明：由題意知： PQXAD, BQXAD, PQA BQ=Q , .AD,平面 PQB,又 AD?平面PAD,平面 PQBL平面 PAD.(2) PA=PD=AD , Q 為 AD 的中點，PQ± AD, 平面 PAD,平面 ABCD,平面PADn平面 ABCD=AD , PQ,平面 ABCD,以Q這坐標原點，分別以 QA, QB, QP為x, v, z軸， 建立如圖所求的空間直角坐標系，由題意知：Q (0, 0, 0), A

7、(1, 0, 0),P (0, 0,，B (0, v3, 0), C (-2, v3, 0)曬?= 2?3?( -2,京 ?),設(shè)?1是平面MBQ的一個法向量，則? ?= 0 ,留？?=0,.- 3?+-33?+233?=°' v3?= 0又丁鱉=(0, 0, 1)平面BQC的一個法向量,1 .cosv 鬻,扉 > =2, 二面角 M-BQ-C的大小是60° .【解析】(1)由題設(shè)條件推導出 PQ±AD, BQXAD,從而得到ADL平面PQB,由此能夠證明 平面PQBL平面PAD.(2)以Q這坐標原點，分別以 QA, QB, QP為x, y, z軸，

8、建立空間直角坐標系，利 用向量法能求出二面角 M-BQ-C的大小.本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注 意向量法的合理運用.6 .如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè) 棱PDL底面 ABCD, PD=DC=2，點E是PC的中點，F(xiàn) 在直線PA上.?.(1)若EFLPA,求羲值；(2)求二面角 P-BD-E的大小.解：(1)二.在四棱錐 P-ABCD中，底 面ABCD是正方形，側(cè)棱 PD，底面 ABCD,，以D為原點，DA為x軸，DC為y 軸，DP為z軸，建立空間直角坐標 系，PD=DC=2，點 E 是 PC 的中點，F(xiàn) 在直線PA上,P

9、 (0, 0, 2), A (2, 0, 0), C (0, 2, 0), E (0, 1, 1), 設(shè) F (a, 0, c), ?= ?斷?則 (a, 0, c-2)=入(2, 0, -2)= (2 入，0, -2 入)，a=2 入,c=2-2 入，F(xiàn) (2 入，0, 2-2 入)， ?炳(2 入，-1, 1-2 入)，？?？(2, 0,-2),1. . EFXPA,? ?=4 入-2+4 入=0 ,解得？?= 4,? 1,=一 ?4E (0, 1, 1),(2) P (0, 0, 2), B (2, 2, 0), D (0, 0, 0), ? (0, 0, 2), ? (2, 2, 0)

10、, ? (0, 1, 1),設(shè)平面BDP的法向量？ (x, y, z),？s?W?2 2?+ 2?= 0 b,口則 0,取 x=1 ,得? (1 , -1 , 0),?=? 2?= 0設(shè)平面BDE的法向量 索二(x, v, z),初?2 2?+ 2?= 0 H則 0,取 x=1 ,得室=(1 , -1, 1),蜜？豁？ ?+ ?± 0設(shè)二面角P-BD-E的大小為0 ,一，| ? 2 忘則c°s0 =而?而?r=T-'.二面角P-BD-E的大小為arccos笆.3【解析】(1)以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出?升值.

11、(2)求出平面BDP的法向量和設(shè)平面 BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小.本題考查線段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審 題，注意向量法的合理運用.7 .如圖所示的幾何體是由棱臺ABC-A1 BiCi和棱車B D-AAiCiC拼接而成的組合體，其底面四 邊形ABCD是邊長為2的菱形，且 /BAD=60 ° , BB平面 ABCD,BBi=2A iBi=2 .(I)求證：平面 ABiC,平面BBiD;(n)求二面角 Ai-BD-Ci的余弦值.【答案】(I)證明：.BB平面 ABCD, BBiXAC,. ABCD 是菱形，BDXAC,又 BDAB

12、Bi=B, . AC,平面 BBiD, .AC?平面ABiC, .平面ABC平面 BBiD;(n)設(shè)BD、AC交于點O,以。為坐標原 點，以O(shè)A為x軸，以O(shè)D為y軸，建立如圖 所示空間直角坐標系.則？Q - i, 0) , ?(0, i, 0), ?(0,-_ _ 丁_ _3i -、，i , 2), ?(v3, 0,0), ?(2，-2，2)，2).2,2) , ?)?= (0 , '苕2,0), ?(-:由?=白仔 2?=?= 2?= 00，取 z=A/3,得？?= (-4 ,0,v3),設(shè)平面 DCF的法向量 索=(?,? ?)? ?= 2?= 0由 ? ? - %設(shè)二面角Ai-BD-Ci為i?+20,則?1?11?1i3i9設(shè)平面AiBD的法向量？?= (? ? ?)【解析】(I )由 BBi,平面 ABCD直的判定可得 AC,平面BBiD,BBiXAC,再由ABCD是菱形，