第二章_概率論解析答案習題解答

1、第二章隨機變量及其分布I教學基本要求1、了解隨機變量的概念以及它與事件的聯(lián)系；2、理解隨機變量的分布函數(shù)的概念與性質(zhì)；理解離散型隨機變量的分布列、連續(xù)型隨 機變量的密度函數(shù)及它們的性質(zhì)；3、掌握幾種常用的重要分布：兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、 正態(tài)分布，且能熟練運用；4、會求簡單隨機變量函數(shù)的分布.II習題解答A組1、檢查兩個產(chǎn)品，用 T表示合格品，F(xiàn)表示不合格品，則樣本空間中的四個樣本點為i (F,F)、2 (T,F)、3 (F,T)、4 (T,T)以X表示兩個產(chǎn)品中的合格品數(shù).(1)寫出X與樣本點之間的對應關(guān)系；(2)若此產(chǎn)品的合格品率為 p,求p(X 1)?解：(1

2、)10、21、31、42;(2) P(X 1) C2P(1 p) 2p(1 p).2、下列函數(shù)是否是某個隨機變量的分布函數(shù)？0x 2小1(1) F(x) 2x0;21x 01,、(2) F(x) -2( x ).1 x解：(1)顯然F(x)是單調(diào)不減函數(shù)；0 F(x) 1,且5( ) 0、F()F(x 0) F(x),故F(x)是某個隨機變量的分布函數(shù).(2)由于 F () 03、設(shè)X的分布函數(shù)為F(x) A(1 ex) 01 ,故F(x)不是某個隨機變量的分布函數(shù).求常數(shù)A及p(13) ?解：由F(1 和 lim A(1 eXp(13)p(X3)P(X1) F(3) F(1)(13 e )(

3、1e 1)4、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為0F(x)Ax 6、一批產(chǎn)品共有100個，其中有10個次品，求任意取出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)的分布列？ 解：設(shè)X表示5個產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X是離散型隨機變量，其所有可能取值為 0、1、 5,且1求常數(shù)A及p(0.50.8) ?解：由F(1 0)F(1)得p(0.5 X 0.8) p(X 0.8)p(X 0.5) F(0.8) F(0.5)5 0C10C90.下載可編輯920.80.50.39.5、設(shè)隨機變量X的分布列為P(Xk)a (k 1,2,L,N)求常數(shù)a ?解：由pi 1得P(XC100C9500)CC0、P(XC100G0C90a5。C10Cp(X 2

4、) 0、p(X 3)c100CwC90C100p(X 4)C10c90C100、P(X5)c5C100于是X的分布列為p(Xk)k 5 k C10C90Ci500(k 0,1,L ,5).7、設(shè)10件產(chǎn)品中有2件次品，進行連續(xù)無放回抽樣，直至取到正品為止，以 X表示 抽樣次數(shù)，求 X的分布列；(2) X的分布函數(shù)?解：(1)由題意知X是離散型隨機變量，其所有可能取值為1、2、3,且1458428821 8p(X 1) 一 一、p(X 2)-、p(X 3)-10510945109 8于是X的分布列為X123p48154545(2)由(1)可知X的分布函數(shù)為F(x)544451x 11 x 22x

5、3x 38、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為0x 10.21 x 1F(x) 0.31 x 20.52x31 x 3 求X的分布列？解：X的分布列為X-1123p0.20.10.20.59、某大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻每一設(shè)備被使用的概率為0.1 ,求在同一時刻(1)恰有2個設(shè)備被使用的概率；(2)至少有3個設(shè)備被使用的概率;(3)至多有3個設(shè)備被使用的概率?解：設(shè)X表示被同時使用的供水設(shè)備數(shù)，則 X b(5,0.1)(1)恰有2個設(shè)備被使用的概率為_ 223p(X 2) C5(0.1) (0.9)0.0729；(2)至少有3個設(shè)備被使用的概率為p(X 3) p(X 3) p(X

6、 4) p(X 5)_332_44_ 550C5 (0.1) (0.9)C5 (0.1) (0.9) C5 (0.1) (0.9)0.00856;(3)至多有3個設(shè)備被使用的概率為p(X 3) 1 p(X 4) p(X 5)_4_4_5_5_01 C5 (0.1) (0.9) C5 (0.1) (0.9)0.99954 .10、經(jīng)驗表明：預定餐廳座位而不來就餐的顧客比例為20%如今餐廳有 50個座位，但預定給了 52位顧客，求到時顧客來到餐廳而沒有座位的概率是多少？解：設(shè)X表示預定的52位顧客中不來就餐的顧客數(shù)，則 X b(52,0.2),由于“顧客來到餐廳沒有座位”等價于“52位顧客中至多有

7、1位不來就餐”，于是所求概率為p(X 1) p(X 0) p(X 1) C02(0.2)0(0.8)52 C52(0.2)1(0.8)510.0001279.11、設(shè)某城市在一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為0.3的泊松分布，求(1)在一周內(nèi)恰好發(fā)生 2次交通事故的概率；(2)在一周內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率？解：設(shè)X表示該城市一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)，則 X P(0.3)(1)在一周內(nèi)恰好發(fā)生 2次交通事故的概率0 32p(X 2) .-e0.0333 ；2!(2)在一周內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率0.3003p(X 1) 1 P(X 0) 1 e .0.259.0!12、設(shè)X服從泊松分布

8、，已知 p(X 1) p(X 2),求p(X 4) ?解：由 p(X 1) p(X 2)得2e 一e22p(X 4) e 2 0.0902.4!13、一批產(chǎn)品的不合格品率為0.02,現(xiàn)從中任取40件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)兩件或兩件以上不合格品就拒收這批產(chǎn)品，分別用以下方法求拒收的概率：(1)用二項分布作精確計算；(2)用泊松分布作的似計算？解：設(shè)X表示抽取的40件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，則 X b(40,0.02)(1)拒收的概率為p(X 2) 1 p(X 0) p(X 1)_ 0040_ 11391 C40(0.02) (0.98) C40(0.02) (0.98)0.1905 ；(2)由于 40 0

9、.02 0.8,于是拒收的概率為p(X 2) 1 p(X 0) p(X 1)1 e 0.8 0.8e 0.8 0.1912 .下載可編輯14、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)2x00 x 1其它求X的分布函數(shù)？ x解：由 F(x) f(t)dt 得當x 0時 xxF(x) f(t)dt 0dt 0當0 x 1時x 0 x 2 x 2F(x) f (t)dt 0dt o 2tdt t2|(x x2當x 1時 x01xF(x) f (t)dt 0dt 02tdt 1 0dt t2 |0 1于是所求分布函數(shù)為0x 0F(x) x20x1.1x 115、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x) 2(1 31

10、x 20其它求X的分布函數(shù)？x解：由 F(x) f(t)dt 得F(x)xf(t)dt0dtF(x)F(x)xf (t)dtxf (t)dt于是所求分布函數(shù)為1F(x) 2(x x12)0dt0dtx1 2(121 2(1Jdt()dtx 2.16、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)Acosx-x2其它求(1)常數(shù)A; (2)X的分布函數(shù);(3) p(0解：（1）由f(x)dx 1 得2 0dtAcosxdx0dt2(t 1)|1xx2 0dt 2(tX -)?4Asinxp 2A 1212(x 1 2)x1l2小(2)當 xF(x)f(t)dtx0dtF(x)f (t)dt20dt1 cost

11、dtjsint|F(x)f (t)dt20dt2 1 一 costdt-2x0dt1 弓-sint |2_于是所求分布函數(shù)為11F(x)sin x:-x2221x - ： p(0X)p(X41 . sin 一11 . n1-sin 0 一巨.2422240x17、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為p(X 0) F(/2F(0)F(x)ln x求(1)p(0X 3)、P(X2)、p(22.5) ; (2)X的密度函數(shù)?解：p(0 X3)p(X3)p(X0) F (3)F(0) 1 0 1p(X 2) p(X2)p(X2)F(2)In 2p(2 X 2.5)p(2X 2.5)_5F(2.5) F(2) ln

12、2.5 ln 2 ln-；4(2)由于在F(x)的可導點處，有 f(x)是X的密度函數(shù)為f(x)18、設(shè)解：由f(k)其它K U (1,6),求方程 x2 Kx 1K -U (1,6)得K的密度函數(shù)為其它又由于方程Kx 1 0有實根等價于概率為p(|K| 2)p(K 2) p(K 2)0有實根的概率?K2 4 0 ,即| K | 2 ,于是方程有實根的2f (k)dk 2 f (k)dk6 1 .4dk .2 5519、調(diào)查表明某商店從早晨開始營業(yè)起直至第一個顧客到達的等待時間服從參數(shù)為0.4的指數(shù)分布，求下述事件的概率X(單位：分鐘) (2) 解:X至多3分鐘；X至少4分鐘；X在3分鐘至4分

13、鐘之間;X恰為X3分鐘？至多3分鐘的概率為p(x 3)0.4 3F (3) 1 e 1 e1.2(2) X至少4分鐘的概率為P(X 4)1 p(X 4) 1 F(4)1 (1 e1.6X在3分鐘至4分鐘之間的概率為p(3X 4) p(X 4)P(X3)F(4)F(3)(10.4 4 e)(1 e0.43)1.2 e1.6e ;X恰為3分鐘的概率為P(X 3)0.20、 N(0,1),求下列事件的概率p(X2.35) ; p(X 1.24)；P(|X|1.54) ?解:P(X2.35)(2.35)0.9906 ;p(X 1.24)1.24)(1.24)1 0.89250.1075;p(|X| 1

14、.54)P(1.541.54)(1.54)(1.54)(1.54)1(1.54)(1.54)0.93821 0.8764.21、設(shè) X N(3,4)，求 p(2 X5)、P(|X|2)、p(X 3) ; (2)確定 c,使得p(X c)P(Xc) ; (3)若d滿足p(Xd) 0.9,則d至多為多少?解：p(2 X5) p(0.5)(0.5)1 0.84130.6915 1 0.5328P(|X|2) 1 p(|X| 2)1 p(- 221( 0.5)( 2.5) 1(0.5)(2.5)1 0.6915 0.9938 0.6977 X 3 3 3p(X 3) 1 p(X 3) 1 p(號 32

15、3) 1(0) 1 0.5 0.5;(2)由 p(X c) p(X c)得1 p(X c) p(X c)X 3 c 3,c 30.5 p(X c) p(2 )()S 0 c 3；2(3)由 p(X d) 0.9得X 3 d 3 d 3 0.9 p(X d) 1 p(X d) 1 p(. -) 1()10.1)O./3 d、1() 0.121.2820.436.22、從甲地飛住乙地的航班，每天上午10:10起飛，飛行時間 X服從均值為4h,標準差為20min的正態(tài)分布.(1)該航班在下午2:30以后到達乙地的概率；(2)該航班在下午2:20以前到達乙地的概率；(3)該航班在下午1:50至2:30

16、之間到達乙地的概率?解：(1)該航班在下午2:30以后到達乙地的概率為X 240 p(X 260) p(一20260 24020)1 p(X 240201)1(1) 1 0.8413 0.1587 ;(2)該航班在下午2:20以前到達乙地的概率為p(X 250) p(X 240 250 2402020)(0.5) 0.6915;該航班在下午1:50至2:30之間到達乙地的概率為p(220 X 260) p(220 240 X 240 260 240202020(1) 21 2 0.8413 10.6826 .23、某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的外語成績(百分制)近似地服從N(72, 2),已知6

17、0分至84分之間的概率?96分以上的人數(shù)占總數(shù)的2.3%,試求考生的成績在解：設(shè)考生的外語成績?yōu)閄 ,則XN(72, 2)由96分以上的人數(shù)占總數(shù)的2.3%得0.023 p(X 96)(蘭)X 72 96 720.977 p(X 96) p()1224于是，考生的成績在 60分至84分之間的概率為60 72 p(60 X 84) p(2-X 721284 7212 )(1) 2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826.fX(x)X02p0.250.50.25求Y cosX的分布列？解：由X的分布列可得YCOS0cos() 2cos()P0.250.50.25于是Y的分布列為Y10-1P

18、0.250.50.2524、設(shè)隨機變量X的分布列為25、設(shè)隨機變量X的分布列為X-2-1012p0.10.20.30.20.22求Y X的分布列?解：由X的分布列可得Y(2)2(1)2021222P0.10.20.30.20.2將相同值合并得 Y的分布列為Y410P0.30.40.326、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為32dd一 x1x 120 其它求隨機變量YX 3的密度函數(shù)?解：由題意知，當 y 2時，有FY(y) p(y y) 0當2 y 4時，有FY(y)P(Y y)p(X 3 y) p(Xy 3) Fx(y 3)當y 4時，有FY(y)P(Y y) 1 即Y的分布函數(shù)0y 2FY(y)Fx

19、(y 3)2 y 41y 4于是，Y的密度函數(shù)fY(y) FY(y)Fx(y3)2 y 4其它322(y 3)2 y 4ex的密度函數(shù)?o其它27、設(shè)隨機變量 XU(0,1),求隨機變量 Y 解：由題意知，當y 1時，有FY(y)p(Y y) 0當1 y e時，有XFY(y)p(Y y) p(ey) p(X in y) FX(iny)當y e時，有FY(y) P(Y y) 1即Y的分布函數(shù)0y 1Fy(y)FX(lny) 1 y e1y e于是，Y的密度函數(shù)fY(y)匚 /、Fx(lny)FY(y)01 y e其它其它28、隨機變量x的密度函數(shù)為x e fx(x) 八 0求隨機變量Y X 2的

20、密度函數(shù)?2解：由于Y X 0 ,故當0時,有 FY(y)P(Y y) 0；當y 0時，有2Fy(y) P(Y y) P(X2y)p(yyyfx(x)dx0即Y的分布函數(shù)xdxFY(y)Y的密度函數(shù)fY(y)FY(y)127ye029、設(shè)隨機變量XN(0,1),試求隨機變量Y|X |的密度函數(shù)?解：由于Y |X |0時,有 FY(y)p(Y y) 0 ；當y 0時，有FY(y)P(Y y)P(|X|y) p( y xy) 2 (y) 1即Y的分布函數(shù)2 (y)FY(y)0是，Y的密度函數(shù)fY(y) FY(y)2 (y)01、 A2、 B6、 B7、 C11、設(shè)隨機變量 X的分布函數(shù)為B組3、D

21、8、C4、B9、C5、B10、Cx 11 x 11 x 2x 20aF(x) 2 a 3 a bL1，一且p(X 2)-,求常數(shù)a、b ?解：由 F( ) 1 及 p(X a) F(a) F(a 0)得F( ) a b 121p(X 2) F(2) F(2 0) (a b) (- a)-3212、設(shè)隨機變量X的分布列為X123P0.51 2a2 a求常數(shù)a ?解：由Pi0.5 1 2a a2 1再由1 2a 01 -a 2，可得,2213、口袋中有5個球，編號為1、2、3、4、5,從中任取3個，以X表示取出的3個 球中的最大號碼.(1)求X的分布列；(2)求X的分布函數(shù)？解：(1)由題意知X是

22、離散型隨機變量，其所有可能取值為3、4、5,且C21C?P(X 3)涓芯 P(X 4)涓C510C53_10P(X5)C2C；610于是X的分布列為X345p0.10.30.6(2)由(1)可知X的分布函數(shù)為F(x)0.10.4x 33x44x514、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為兇f(x) Ce (a 0)求(1)常數(shù)C; (2)X的分布函數(shù)；(3)P(|X| 2)?解：(1)由f (x)dx 1 得f (x)dx 2C兇adx2Cdx2aC 1C工；2a (2)當x 0時F(x)xf(t)dt|t|4dt2a2a上1豈eadt ea2F(x)0時xf(t)dt2aL 1 eadt 2a2ax Le adt0itiadt12a0etiadt是 F(x)1-e21 a axe2 P(|X| 2)p( 21 22) F(2) F( 2) 1 -ea15、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為