函數(shù)值域求法十五種

1、word在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法如此共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法如此的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對(duì)于如何求函數(shù)的值域，是學(xué)生感到頭痛的問(wèn)題，它所涉與到的知識(shí)面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，假如方法運(yùn)用適當(dāng)，就能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，避繁就簡(jiǎn)，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。根本知識(shí)1 .定義：因變量y的取值圍叫做函數(shù)的值域或函數(shù)值的集合。2 .函數(shù)值域常見(jiàn)的求解思路：劃歸為幾類(lèi)常見(jiàn)函數(shù)，利用這些函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解。反解函數(shù)，將自變量x用

2、函數(shù)y的代數(shù)式形式表示出來(lái)，利用定義域建立函數(shù)y的不等式，解不等式即可獲解?？梢詮姆匠痰慕嵌壤斫夂瘮?shù)的值域，從方程的角度講，函數(shù)的值域即為使關(guān)于x的方程y=f(x)在定義域有解的y得取值圍。特別地，假如函數(shù)可看成關(guān)于x的一元二次方程，如此可通過(guò)一元二次方程在函數(shù)定義域有解的條件，利用判別式求出函數(shù)的值域?？梢杂煤瘮?shù)的單調(diào)性求值域。其他。1 .直接觀察法對(duì)于一些比擬簡(jiǎn)單的函數(shù)，通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域例1.求函數(shù)的值域。解：:顯然函數(shù)的值域是：2 .配方法配方法是求二次函數(shù)值域最根本的方法之一。例2.求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x

3、=1時(shí)，當(dāng)x=-1時(shí),故函數(shù)的值域是：4,83.判別式法例3.求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：1解得：但此時(shí)的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0,2上，即不能確保方程1有實(shí)根，由求出的圍可能比y的實(shí)際圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)??？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。代入方程1解得：即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河膳袆e式法來(lái)判斷函數(shù)的值域時(shí)，假如原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的局部剔除。4 .反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。例4.求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：如此其反函

4、數(shù)為：，其定義域?yàn)椋汗仕蠛瘮?shù)的值域?yàn)椋? .函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，反客為主來(lái)確定函數(shù)的值域。例5.求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為:即即解得：故函數(shù)的值域?yàn)? .函數(shù)單調(diào)性法例6.求函數(shù)的值域。解：令如此在2,10上都是增函數(shù)所以在2,10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)x=10時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?例7.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無(wú)上界的增函數(shù)所以，在上也為無(wú)上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然y>0,故原函數(shù)的值域?yàn)? .換元法通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或

5、三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作例8.求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，如此有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?0.求函數(shù)，的值域。解：令，如此由且可得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?。?1.求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?8 .數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線(xiàn)斜率等等，這類(lèi)題目假如運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。要學(xué)習(xí)網(wǎng)，只做中學(xué)生最喜歡、最實(shí)用的學(xué)習(xí)論壇，地址手機(jī)版地址wap

6、.yaoxuexi例12.求函數(shù)的值域。上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)PX到定點(diǎn)A2，B(-8)間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)或反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10故所求函數(shù)的值域?yàn)椋豪?3.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(-2,-1)的距離之和,由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?4.求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點(diǎn)A3,2到點(diǎn)Px,0的距離與定點(diǎn)B(-2,1)到點(diǎn)P(x,0)的距離之差。即：y=

7、|AP|-|BP|由圖可知：1當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線(xiàn)AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P',如此構(gòu)成ABP',根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：2當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線(xiàn)AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河衫?3,14可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，如此要使A,B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。如：例13的A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：3,2，(-2,-1),在x軸的同側(cè)；例14的A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為3,2，(2,-1),在x軸的同側(cè)。9 .不等式法利用根本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不

8、過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例15.求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)tanx=cotx即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故原函數(shù)的值域?yàn)椋豪?6.求函數(shù)y=2sinxsin2x的值域。解：y=4sinxsinxcosx當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。由可得：故原函數(shù)的值域?yàn)椋?0 .映射法原理：因?yàn)樵诙x域上x(chóng)與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，假如知道一個(gè)變量圍，就可以求另一個(gè)變量圍。例17.求函數(shù)的值域。解：定義域?yàn)橛傻霉驶蚪獾霉屎瘮?shù)的值域?yàn)?1 .最值法對(duì)于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b的極值，并與邊界值f(a).f(b)作比擬，求出函數(shù)的最值，可得到函

9、數(shù)y的值域。要學(xué)習(xí)網(wǎng)，只做中學(xué)生最喜歡、最實(shí)用的學(xué)習(xí)論壇，地址手機(jī)版地址wap.yaoxuexi例18.,且滿(mǎn)足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)條件求出自變量x的取值圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：:，上述分式不等式與不等式同解，解之得1Wx<3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中，得(-1<x<3/2),.且x-1,3/2,函數(shù)z在區(qū)間-1,3/2上連續(xù)，故只需比擬邊界的大小。當(dāng)x=-1時(shí)，z=5;當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。，函數(shù)z的值域?yàn)閦I5<z<15/4。點(diǎn)評(píng)：此題是將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)

10、開(kāi)區(qū)間，假如存在最值，也可通過(guò)求出最值而獲得函數(shù)的值域。根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例19.求函數(shù)的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識(shí)，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為作一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為3的矩形ABCD,再切割成12個(gè)單位正方形。設(shè)HK=x,如此EK=2-x,KF=2+x,。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC>AC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)。，原函數(shù)的知域?yàn)閥|y>5o點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如函數(shù)(a,b,c均為正數(shù))，均可通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡(jiǎn)捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的表現(xiàn)。13 .比例法對(duì)于一類(lèi)含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件

11、轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。例20.x,yCR,且3x-4y-5=0,求函數(shù)的值域。點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))x=3+4k,y=1+3k,=系+/=0+氏y+。4+業(yè)了=(業(yè)+到+1當(dāng)k=3/5時(shí)，x=3/5,y=4/5時(shí)，。函數(shù)的值域?yàn)閦|z>1.點(diǎn)評(píng)：此題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過(guò)設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法表現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識(shí)。14 .利用多項(xiàng)式的除法例21.求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長(zhǎng)除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。-1/(x+1)W0,故yW3。，函數(shù)y的值域?yàn)閥w3的一切實(shí)數(shù)。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。15 .多種方法綜合運(yùn)用例22.求函數(shù)的值域。解：令，如此1當(dāng)t>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即x=-1時(shí)取等號(hào)，所以2