蘇科版七年級上冊數(shù)學(xué)和絕對值有關(guān)的問題

1、和絕對值有關(guān)的問題金戈鐵制卷知識結(jié)構(gòu)框圖:正數(shù)、0和負(fù)Et號點(diǎn)拘一一川由有理數(shù)二、絕對值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值,記作|a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零。a當(dāng)a為正數(shù)也可以寫成：|a|0當(dāng)a為0a當(dāng)a為負(fù)數(shù)說明：（I） |a|R即同是一個非負(fù)數(shù);（H）間概念中蘊(yùn)含分類討論思想三、典型例題 例1.（數(shù)形結(jié)合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖:的值等于（A則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |B . 2c a C . 2a - 2bD. b 解：

2、| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負(fù)性， 再根據(jù)絕對值 的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由 a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例 2.已知：*0 2,*丫0,且丫 z x,那么 |x z | y z x y的伯：（C ）A,是正數(shù)B.是負(fù)數(shù) C.是零 D.不能確定符號解：由題意，x、v、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所

3、 xzyzxy 以x z （y z） （x y）-y:qz0分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。 這道例題中三個看似復(fù) 雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了 x、y、z三個數(shù)的大小關(guān)系，為我們 順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問 題的意識。例3.（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的 3倍，且在數(shù)軸上 表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為 8,求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上 表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，”數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)” 意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是

4、負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該 用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y由題意得：x 3 y ,（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即x<0 , y>0 ,則4y=8,所以y=2 ,x= -6若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即x>0 , y<0 ,則-4y=8,所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即x<0 , y<0 ,則-2y=8,所以y=-4,x=-12若x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即x>0 , y>0 ,則2y=8,所以y=4,x=12例4.（整體的思想）方程x 2015

5、2015 x的解的個數(shù)是（D ）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D.無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將 x-2015看成一個整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程| a | a的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到， 負(fù)數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D例5.(非負(fù)性)已知|ab2|與|a 1|互為相互數(shù)，試求下式的值.111ab a 1 b 1 a 2 b 21a 2014 b 2015分析：利用絕對值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab 2|=| a 1|=0 ,解得：a=1,b=2ab1a 2014 b 201512015 201711111-11K2

6、23342015 20171201720162017 在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結(jié) 果.同學(xué)們可以再深入思考，有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究例6.(距離問題)觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離4與2, 3與5,2與 6,4與 3.并回答下列各題:(1 )你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：山(2)若數(shù)軸上的M A4示白X數(shù)和x,點(diǎn)B表示的數(shù)為一1,則A與B兩點(diǎn)間的距 離可以表示為.分析：點(diǎn)B表示的數(shù)為一1,所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn) B所在的位置。那么點(diǎn)A呢？因為x可以表示任意有理數(shù)，所以點(diǎn) A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何

7、求出 A與B兩點(diǎn)間的距離呢？結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。其 T 0-1Ox0當(dāng)x<-1時，距離為-x-1,當(dāng)-1<x<0 時，距離為x+1 , 當(dāng)x>0 ,距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x 1(3)結(jié)合數(shù)軸求得x 2 x 3的最小值為 5,取得最小值時x的取值范圍為-3Wx W2.分析：| x 2即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上 x與2之間的距離。x 3 x ( 3)即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之 間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：，. » 1I-A 1-15-32甘 K 2-32 M圖1圖2圖3圖2符合題意(4) 滿足 x 1 x 4 3的x的取俏范圍為x<-4 或x>-1分析：同理x 1表示數(shù)軸上x與-1之間的距離,表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時x與-1之間的距離加上x與-4 之間的距離會大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。 說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之， 有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。 這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題 時可以帶來方便。事實上，|A B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù) A