高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題與解答

1、高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及解答1.設(shè) u=a-b+2c, v=-a+3b-c.試用 a, b, c 表示 2u-3v.解 2u-3v=2 ( a-b+2c) -3 (-a+3b-c) =5a-11 b+7c.2.如果平面上一個四邊形的對角線互相平分，試用向量證明它是平行四邊形.證 如圖8-1 ,設(shè)四邊形ABCD中AC與BD交于M ,已知AM =MC , DM = MB .AB - AM MB - MC DM - DC .即AB / DC且| AB |=| DC | ,因此四邊形 ABCD是平行四邊形國8 一 13.把 ABC的BC邊五等分，設(shè)分點依次為Di A,D2 A, D3 A,分點與點A連接.試

2、以AB=c, BC=a表向量D A.4如圖8-2 ,根據(jù)題意知11a,5D3D41a,一 5故 DA=- ( AB + BD1)1a- c52D2 A=-(AB + BD2)= a- c5DA=- (AB + BDT) =- 3a- c3 354D 4A=- (AB + BD4)=- -a- c.54 .已知兩點 Mi (0, 1, 2)和M2 (1, -1, 0).試用坐標表示式表示向量 MiM 2 及-2 M iM 2.解 M i M 2 = (1-0)-1-1)0-2) = ( 1)-2)-2)-2 M 1M 2 =-2 (1,2-2) = (-2, 4, 4)5 .求平行于向量a= (

3、6, 7,-6)的單位向量.a解 向量a的單位向量 為一，故平行向量 a的單位向量為aa 1卷=a 11(6, 7,-6) = 士6 7 .611,11 ,11 '其中 a =，62 + 72 +(一6)2 =11.6 .在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個圭卜限?A (1,-2, 3), B (2, 3,-4), C (2, -3, -4), D (-2, -3, 1).解A點在第四卦限，B點在第五卦限，C點在第八卦限，D點在第三卦限.7 .在坐標面上和在坐標軸上的點的坐標各有什么特征？指出下列各點的位置：A (3, 4, 0) , B (0, 4, 3) , C (3, 0, 0

4、) , D (0,-1 ， 0)解 在坐標面上的點的坐標，其特征是表示坐標的三個有序數(shù)中至少有一個為零，比如xOy 面上的點的坐標為（x0， y0， 0） ， xOz 面上的點的坐標為（X0, 0, zo）, yOz面上的點的坐標為（0, y。，z。）.在坐標軸上的點的坐標，其特征是表示坐標的三個有序數(shù)中至少有兩個為零，比如X 軸上的點的坐標為（X0， 0， 0） ， y 軸上的點的坐標為（。，yo,。），z軸上的點的坐標為（。，。，z。）.A 點在 XOy 面上， B 點在 yOz 面上， C 點在 X 軸上， D 點在 y 軸 上.8 .求點（a, b, c）關(guān)于（1）各坐標面；（2 各坐

5、標軸；（3）坐標原點的對稱點的坐標.解 （1）點（a, b, c）關(guān)于xOy面的對稱點（a, b, -c）,為 關(guān)于yOz面的對稱點為（-a, b, c）,關(guān)于zOx面的對稱點為（a, -b, c） .（2）點（a, b, c）關(guān)于x軸的對稱點為（a, -b, -c）,關(guān)于y 軸的對稱點為（-a, b, -c）,關(guān)于z軸的對稱點為（-a, -b, c）.（3）點（a, b, c）關(guān)于坐標原點的對稱點是（ -a, -b, -c）.9 . 自點P（ 。 x。， y。， z。） 分別作各坐標面和各坐標軸的垂線，寫出各垂足的坐標.解 設(shè)空間直角坐標系如圖 8-3,根據(jù)題意，PoF為點Po關(guān)于xOz 面

6、的垂線，垂足 F坐標為（x0,0, Z。）； PoD為點P。關(guān)于xOy面的垂 線，垂足D 坐標為（ xo， yo， o） ； PoE 為點Po 關(guān)于yOz 面的垂線，垂足E坐標為（0, y05 zo ）.P0A為點Po關(guān)于x軸的垂線，垂足 A坐標為（Xo,0,0） ; PoB為點Po關(guān)于y軸的垂線，垂足B坐標為（0, y0,0） ； PoC為點Po關(guān)于z軸的 垂線，垂足 C坐標為（0,0, z0 ）.11. 一邊長為a 的正方體放置在xOy 面上， 其底面的中心在坐標原點，底面的頂點在x 軸和 y 軸上，求它各頂點的坐標.2解 如圖8-5,已知 AB=a,故OA=OB=Ja,于是各頂點的坐2a

7、, 0, 0), D標分別為 A(a,0，B(0, Y2a,0), c (- 222(o, - 2_2 a ,0), e( -1 a , 0, a), f(0,二 a , a)2220, a), h (0, a，a).212 .求點M (4, -3, 5)到各坐標軸的距離 .解 點M到x軸的距離為di= J(- 3)2+52 = J34 ,點M到y(tǒng) 軸的距離為d2= 42 + 52 = /41 ,點M至U z軸的距離為 d3= Y42 + (-3)2 = "25 = 5.13 .在 yOz 面上，求與三點 A (3, 1, 2), B(4, -2, -2), C (0, 5, 1)等

8、距離的點.解 所求點在yOz面上，不妨設(shè)為 P (0, y, z),點P與三點A,b, c等距離，IpaI =32 + ( y - 1)2 + (z - 2)2,PB =42( y2)2(z2)2 ,PC -( y5)2( z1)2 .由 PA = PB = PC 知，32 ( y . 1)( z - 2)2 - 42 ( y 2) 2( z 2)22f f=、, - + -(y 5) 2 ( z 1)2,十十一=+9( y1) 2( z2) 216( y2) 2( z2)2,即二9( y1) 2( z2) 2( y5) 2( z1)2.解上述方程組，得 y=1, z=-2.故所求點坐標為(0

9、, 1, -2).14.試證明以三點 A (4, 1, 9), B (10, -1 , 6), C (2, 4, 3)為頂點的三角形是等腰直角三角形.證 由fjAB =10 4)2 + (一1)” (6 9)2 = 7,AC = J(2 - 4)2 + (4 - 1)2 + (3 - 9)2 = 7, jf1IfIFJfJBC =，(2 10)2 + (4 + 1)2 + (3 - 6)2 = ' 98 = 7、' 2知AB2AC 及 BC24. 2ABAC、.故 ABC為等腰直角三角形. 十J JJ15 .設(shè)已知兩點為 M1 (4,、2 , 1) , M 2 (3, 0, 2

10、),計算向量 M 1M 2 的模、方向余弦和方向角 .解向量rrM 1M 2 = (3-4, 0-7 2 , 2-1) = (-1，-、2 , -1),其模 M 1M 2 = 4( -1)2 * (- J2)2 + 12 =、，4 = 2 .其方向余弦分121另U為 cos = =- -,cos = =-> cos =一.222、，23方向角分別為-2- 一.,34316 .設(shè)向量的方向余弦分別滿足(1) cos = =0; (2) cos = =1; (3)cos窿cos P =0,問這些向量與坐標軸或坐標面的關(guān)系如何？解 (1)由cos a =0得知a 一故向量與 X軸垂直，平行于2

11、yOz 面.(2)由cos p =1得知= =0,故向量與 y軸同向，垂直于 xOz面.(3)由co% =cos = =0知0=b =，故向量垂直于 x軸和y軸,一 一 2即與z軸平行，垂直于 xOy面.17 .設(shè)向量r的模是4,它與u軸的夾角為 上，求r在u軸上的投影31解 已知 | r |=4 ,貝U Prj ur=| r |cos = =4?cos=4 x_ =2.18 . 一向量的終點在點B (2, -1, 7),它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4, -4和7,求這向量的起點A的坐標.解設(shè)A點坐標為(x, y, z),則AB = (2-x, -1-y , 7-z),由題意知2-x=4

12、 , -1-y=-4 , 7-z=7 ,故 x=-2, y=3, z=0,因此 A 點坐標為(-2, -3, 0).19 .設(shè) m=3i+4j+8k, n=2i-4j-7k 和 p=5i+j-4k.求向量 a=4m+3n-p 在 x 軸上的投影及在y 軸上的分向量.解 a=4m+3n-p=4( 3i+5j+8k) +3( 2i-4j-7k) -( 5i+j-4k)=13i+7j+15k，a 在 x 軸上的投影為13，在 y 軸上的分向量為7j.1 .設(shè)a = 3i j - 2Kb = i + 2 j k，求(1)a b及a x b；(2)(-2a)，3b及a x 2b； (3)a,b 的夾角的

13、 余弦.解 (1)a b = (3,- 1,- 2) ,(1,2,- 1)=3 x 1 + ( - 1)x 2 + (- 2)x (- 1)= 3,i j ka < b = 3 - 1- 2 =(5,1,7)12 一 1(2)( _2a) .3b = _6(a .b) 一6x 3 18 a 2b 一 2(a b) . 2(5,1,7) 一(10,2,14)(3cos(a,b) _|a|b IJ32；(11)T(12)2j12； 22 + )1)233一 14 6 一 2 212 .設(shè)a, b,c為單位向量)滿足 a + b + c= 0,求a,b + bc+ c a解已知 la | =

14、|b = c = 1,a + b + c = 0,故(a + b +c) X a + b+c)= 0 .222即 a + b + c + 2ab + 2b c + 2c a = 0.因此1222a b + b .c + c ,a =(|a|+ |b| + |c3 .已知 M1 (1,-1, 2), M2 (3,3,1) M 3 (3,1,3).求與 M1M 2 ,MTM 同時垂直的單位向量.解 M 1M 2 = (3-1,3- (-1) ,1-2) = (2, 4, -1)M 2 M 3= (3-3,1-3,3-1 ) = (0, -2, 2)由于M iM 2X M 2 M 3與M iM 2,

15、 M 2M 3同時垂直，故所求向量可 取為± (M iM 2x M 2M 3) a =)M iM 2K M 2M 3i j k 由 M 1M 2 K M 2M 3 = 24-1=(6, -4, -4),0 - 22MiM 2 * M 2 M 3卜J62 +(14)2+(-4)2二 V68 二 2«7知2_ ,1(6, 4,4) .( 3,22 ).:' 一 :',.12 171717. 174 設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點 M1 (3,1,8)沿直線移動到點 M2 (1,4,2), 計算重力所作的功(坐標系長度單位為m,重力方向為z軸負方向).解 M 1M

16、2 = (1-3,4-1,2-8) = (-2, 3, -6)F= (0,0, -100>9.8) = (0,0, -980)W=F?M iM 2 = (0,0,-980) ?(-2,3 , -6 ) =5880 J).5 在杠桿上支點 O的一側(cè)與點 O的距離為xi的點P處，有一與 0Pl成角的的力Fi作用著；在 O的另一側(cè)與點 O的距離為X2的點B處， D 1有一與OP2成角日2的力F2作用著(圖8-6 )，問i " 2 ,xi,X2, Fi , F2 符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡?解 如圖8-6 ,已知有固定轉(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零，又由對力矩正負符號的規(guī)

17、定可得杠桿保持平衡的條件為F11x1 sin 81 -F1|x1 sin 二 1 二F2 X2sin 2 2 = 0 ,F2 X2 sin 2 2求向量a二（4廠3,4）在向量b = （2,2,1）上的投影.a b( 4, _ 3,4) (2,2,1)6解 Pr jba - 2 .2222123U有怎樣的關(guān)系，能使設(shè) a 二(3,5,-2),b = (2,1,4),問上與a a + b b與z軸垂直?ub= /. (3,5 ,-2 ) + (2,1,4=(3-+ 2 n ,5- +要£2+pbVz軸垂直，即要（(0,0,1 ),即(0, 0,1 ) =0,亦即(3, 4卜）？（0,0

18、,1）=0,4N ） =0,因此；=2 u時能使？ a + b與z軸垂直.I8試用向量證明直徑所對的圓周角是直角證 如圖8-7，設(shè)AB是圓O的直徑，C點在圓周上，要證/ ACB= ,2只要證明AC BC 0即可.由 * =AC BC =( AO OC) ( BO OC)=AO BO AO OCOC BOOCAO2 一AO OC AO OC故AC工BC , / acb為直角.圖879已知向量a 2i 3 j k, b_ ij , 3k和 c(1) (ab)c(a c)b(2)(a b) (b c).(1)a b (2, 3,1) (1, 1,3) 8,a c (2, 3,1) (1, 2,0)

19、8,(a b)c(ac)b 8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0,8i 24k .b= +(2, -3,1 )+ (1,-1,3 ) = (3, -4,4 ),bc= (1, -1,3 )*+ (1,-2,0 )=(2, -3,3 ),(a b) (b c)+ X +.JOC = 0(a b)8, 24)(0, 1, 1) j k .ijkOA OB103( 3,3,1)，013而由行列式的性質(zhì)知ax aybx byCxCyazbzbx byCxCyCz ax aybzCxaz bxaxCyCzayaz，故bybz(a b) c -(b c) a 一(c a) b.12.試用向量證明不

20、等式:a1b1 + a2b + a3b3 ,2u 22al a2a322bl23b b其中a1, a2,a3, b1,b2,b3為任意實數(shù).并指出等號成立的條件證.由a ba1b1設(shè)耳量 a( a1, a2, a3), bal cos(a,b) - aL ,從而+a2b2a3b32a1(b1, b2,b3)22a2a 3222b1b2b3當 a1, &, a3與 b1, b2,b3 成比例,a1 - a2 - a3即時，上述等式成立b1b2b31 .求過點(3,0, -1)且與平面 3x - 7 y+ 5z - 12 = 0平行的平面方 程.解 所求平面與已知平面3x - 7 y +

21、5z - 12 = 0平行.因此所求平面的法向量可取為n= (3,-7, 5),設(shè)所求平面為3x 7 y 5z D - 0.將點(3, 0, -1)代入上式得 D=-4.故所求平面方程為3x _ 7 y 5z _ 4 - 0 .2 .求過點M0 (2, 9, -6)且與連接坐標原點及點M0的線段OM0垂直的平面方程.解 OM 0 = (2,9, _ 6).所求平面與OM 0垂直，可取n=OM 0, 設(shè)所求平面方程為2x 9 y 6z D _ 0.將點M0 (2, 9, -6)代入上式得 D=-121.故所求平面方程為2x 9 y 6z 121 _ 0. 3 .求過(1, 1, -1), (-2

22、, -2, 2)和(1, -1, 2)三點的平面方程x 1 y 1 z 工 1解由 2121210，得 x3 y 2z 0 ,1 1112 1一 一 一 +即為所求平面方程.注 設(shè)M (x,y,z)為平面上任意一點)M i( xi, yi, zi )(i1,2,3)為平面上已知點.由MiM.(M iM 2 M iM 3)0,即x - xiy -yiz - ziX2 - xiy2 -yiZ2 - zi= 0,X3 xiy3 -yiZ3 - zi它就表示過已知三點Mi (i=i,2,3)的平面方程.4.指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：(i) x=0;(2) 3y-i=0;(3) 2x-3y

23、-6=0;(4) x-、/3y=0;(5) y+z=i;(6) x-2z=0;(7) 6x+5y-z=0.解 (i) 一 ( 7)的平面分別如圖88 (a) ( g)(1) x=0表示yOz坐標面.(2) 3y-i=0表示過點(0, ,0)且與y軸垂直的平面 3(3) 2x-3y-6=0表示與z軸平行的平面.(4) x- /3y=0表示過z軸的平面.(5) y+z=i表示平行于 x軸的平面.(6) x-2z=0表示過y軸的平面.(7) 6x+5y-z=0表示過原點的平面.工u5.求平面2x - 2y + z+5 = 0與各坐標面的夾角的余弦.解 平面的法向量為 n= （2）-2）1）,設(shè)平面與

24、三個坐標面xOy,yOz , zOx的夾角分別為6 1 B 2 e 3 .則根據(jù)平面的方向余弦知cos - cos Yn k (2, 2,1) (0,0,1)1n| k I,22 + (-2)2 + 12 13cos 02 = cos -J 2-2,1)y。) =2 , n |i 3 -13n j ( 2, 2,1) ( 0,1,0)2cos e 3 = cos p = m =二n j3 136. 一平面過點（1, 0,-1）且平行于向量 a 二（2,1,1）1口 b =（1,一 1,0）,試求這個平面方程解所求平面平行于向量a和b,可取平面的法向量i j kn = a x b =211 =

25、(1,1,3).1 _ 1 0故所求平面為 1( x -1)+1 ( y - 0) - 3( z + 1)= 0,即x y 3z 4 - 0 .7.求三平面 x + 3y + z = 1,2x - y - z = 0,- x + 2 y + 2z = 3 的 交點.解聯(lián)立三平面方程x 3y z- 1,2x y z = 0,x 2y 2z 3.解此方程組得 x = 1, y = - 1, z = 3.故所求交點為(1, -1, 3).8.分別按下列條件求平面方程：(1)平行于xOz面且經(jīng)過點(2, -5, 3);(2)通過z軸和點(-3, 1, -2);(3)平行于x軸且經(jīng)過兩點(4, 0,-2

26、)和(5, 1, 7).解 (1 )所求平面平行于xOz面，故設(shè)所求平面方程為By + D = 0.將點(2,-5, 3)代入，得5B , D 0,即 D 5B. ._T=因此所求平面方程為By + 5B _ 0,即 y + 5 _ 0. 所求平面過z軸，故設(shè)所求平面為 Ax斗By _ 0.將點(-3,1, -2)代入，得3A B 0,即 B 3A. T =因此所求平面方程為Ax 3Ay 0 ,即 x 上 3y 0.（3 所求平面平行于 x軸，故設(shè)所求平面方程為 By + Cz + D=0.將點（4, 0, -2）及（5, 1, 7）分別代入方程得-2C + D = 0 及 B +7C + D

27、 =0.C - D, B2因此，所，平面方程為9 Dy29 y - z - 2 - 0.9.求點（1,2,1）到平面x+2 y + 2z - 10 =0的距離.解 利用點 m 0 （x0 , v。，zo ）到平面 Ax+ By + Cz + D = 0的距離公式Ax。 By。 Cz。 D222A B C* I1 2 2 2 1 10Ir33"1.1.求過點(4, -1, 3)且平行于直線 上一3 =1 = 土的直線方程.215解 所求直線與已知直線平行，故所求直線的方向向量s = (2,1,5),直線方程即為x 4 y 1 z 3 ,.2152.求過兩點M 1(3, -2,1)和M

28、2(-1,0,2)的直線方程.解 取所求直線的方向向量s = M 1M 2 = (-1- 3,0 - ( -2),2 - 1) = (-4,2,1),因此所求直線方程為x 3 y 2 z 1 .二4一 一2一 一3.用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線x _ y z= 1,2 x y z _ 4.解 根據(jù)題意可知已知直線的方向向量ijks =1_11=( 一 2,1,3).211取X=0,代入直線方程得二- ' z z = 1,解得y _ _3 , z _ 5 .這y z = 4.22w _3 5樣就得到直線經(jīng)過的一點(0, _,_).因此直線的對稱式方程為2 235x 0一L-213參數(shù)方

29、程為z 5 3t.2注由于所取的直線上的點可以不同，因此所得到的直線對稱式方程或參數(shù)方程得表達式也可以是不同的4.求過點(2, 0, -3)且與直線x 2 y 4z 7 _ 0, 3x 5 y 2z 1_ 0垂直的平面方程.解 根據(jù)題意，所求平面的法向量可取已知直線的方向向量,(16,14,11),故所求平面方程為16( x 2) 14( y 0) 11(z 3)0.即一_十一十十=16x 14y 11z 65 0.5.求直線5 x 3y 3z 9 0,2 x 2 y z 23 0,3x 2 y z 1 0 二3x8 y z 18 0一 十 -=與直線 十 一十 =的夾角的余弦解兩已知直線的方

30、向向量分別為si 二= (3,4, 1), S2 二=(10, 5,10),因此，兩直線的夾角的余弦cos 1 -(cos s1,s2 ) -S1 S2S1 S23 10 - 4 5 - 1 106.證明直線1行.S1 3242(1)102(5)2 - 0.10x 2 y - z - 7,與直線4- 2x已知直線的方向向量分別是-(3,1,5),S2 -由S2 - - 3S1知兩直線互相平行7.求過點（0,2,4）且與兩平面 x + 2 Z =方程.解 所求直線與已知的兩個平面平行,可取3x 6 y - 3z - 8, 平2x - y - z - 0-(-9,- 3,- 15),y - 3z

31、= 2平行的直線因此所求直線的方向向量i j ks = n1x n2 = 102 = （ 2,3,1）,0 13故所求直線方程為x 0 _ y 2 _ z 4 .231注 本題也可以這樣解：由于所求直線與已知的兩個平面平行，則可視所求直線是分別與已知平面平行的兩平面的交線，不妨設(shè)所求直線為x 2z _ a, y 3z _ b.將點（0, 2, 4）代入上式，得 a = 8,b= _ 10.故所求直線為x 2z _ 8, y _ 3z _ _ 10.8.求過點（3,1, -2）且通過直x - 4= "3 = z的平面方程.線521x -4 = V3 3=z的平面束方程解 利用平面束方程

32、，過直線5 2彳為x 4 - y 3 - （y 3 - z） 0,522將點（3, 1, -2）代入上式得入1 1.因此所求平面方程為204 二 -3 = 11（ z） = 0,52202即8x 9y 22z 59 0.9 .求直線x y 3z °，與平面x - y - z +1= 0的夾角.1x - y- z =0i j k解 已知直線的方向向量 s = 113 =(2,4,- 2),平面1-1-1的法向量n - (1-1,-1).設(shè)直線與平面的夾角為中，則0,sin c = cos(n, s) = Is ' n = 2 1 + 4 L 1)+ L 2) (- 1)Is I

33、 nl，22 + 42 + ( -2)2 J12 + (- 1)2 + (- 1)2即 - 0.10 .試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系；x 3 y 4 z 工口(1) = -二和 4x 一2 y _ 2z =3 ;273x y z一=和 3x _ 2y + 7z = 8;3- 27(3) x -2 = y +2 = £2 3 和 x + y + z = 3.314解 設(shè)直線的方向向量為 s,平面的法向量為n,直線與平面的夾角為，且sin 斗=cos(n, s) =.is | n(1) s - ( 2, 7,3), n - (4, 2, 2),sin(2) 4 ( 7) ( 2)

34、 3 ( 2)(2) 2( 7)23242( 2)220,(2)4,則傘二0.故直線平行于平面或在平面上，現(xiàn)將直線上的點 A （-3,0）代入平面方程，方程不成立 .故點A不在平面上，因此直線不在平面上,直線與平面平行(2)sin3 3 + (_2) .( 一2)+ 7.7二 1,s = (3,_2,7), n = (3,_2,7),由于 s = n 或3 + ( -2) + 7.兀，故直線與平面垂直.J2(3)s 二（3,1,.4）, n =（1,1,1）由于 s .n = 0或sin3 11 1(-4) 13212=2(-4)1=*12 一 0,1知中=0,將直線上的點 A （2, -2,

35、3）代入平面方程,方程成立，即點A在平面上.故直線在平面上.y z 二y z. 00,平行的平面11.求過點（1,2,1）而與兩直線z 1 0,十二 和1 0的方程.兩直線的方向向量為S1(1, 2, 3), S2(0, 1, 1),i j k取 n = si * S2 = 1 一 2 - 3 = (- 1,11 1),b -1 - 1則過點(1,2,1),以n為法向量的平面方程為-1 ( x - 1) + 1 ( y - 2) - 1 ( z - 1) = 0,即x - y z 0.12.求點(-1,2,0)在平面x + 2y - z + 1 = 0上的投影.解作過已知點且與已知平面垂直的直

36、線.該直線與平面的交點即為所求.根據(jù)題意，過點(-1,2,0)與平面x + 2y - z + 1= 0垂 直的直線為x 1 y 2 z 01 -2 _ .1 ,將它化為參數(shù)方程x = -1 + t, y = 2+2t, z = -t，代入平面方程得1 t 2(2 2t ) ( t ) 1 = 0, 2整理得t = .從而所求點(-1,2,0)在平面x + 2y - z + 1= 0上的 3投影為(5 2 2).3 ' 33x y z 1 _ 0,13.求點P (3, -1, 2)到直線-24°的距離.1 j k解 直線的方向向量s =11 一 1 = (0,-3,-3).2

37、- 11在直線上取點(1, -2, 0),這樣，直線的方程可表示成參數(shù)方程形式(1)x - 1, y - 2 3t , z - 3t.又，過點P (3,-1, 2),以s = (0,-3,- 3)為法向量的平面方程為-3( y +1)-3( z-2廣 0,即y + z - 1 =0.(2)1 1 3將式(1)代入式(2)得t二于是直線與平面的交點為(1廠,)22 2故所求距離為d(3 . 1)2 + (/)2 + (2/2£2 . 22214 .設(shè)M0是直線L外一點，M是直線L上任意一點，且直線的方向向量為S,試證：點 M0到直線L的距離M 0M ''S d =I .

38、s證 如圖8-9,點M0到直線L的距離為d.由向量積的幾何意義知MTMx s|表示以 M0M，s為鄰邊的平行四邊形的面積.而M0MX s表示以s為邊長的該平面四邊形的高，即為點M 0到直線SL的距離.于是M 0M s dx圖8 -915 .求直線' 2 2 44 z °, 在平面4x -y+ z= 1上的投 3x y 2z 9 0影直線的方程.解作過已知直線的平面束，在該平面束中找出與已知平面垂直的平面，該平面與已知平面的交線即為所求22 4 y z _ 0,設(shè)過直線T的平面束方程為3x y 2z 9 _ 02x 4y z (32 y 2z 9) = 0,經(jīng)整理得(2 + 3

39、), )x + ( -4 一1)y+ (1 - 2?. ) z - 9 = 0.由 (2 + 3?)4 十(_4 _x) (1)+(1 2?) 1 = 0,13得；一.代入平面束方程，得1117x 31y 37z 117 一 0.因此所求投影直線的方程為17x 31y 37z 117 . 0,J4x y z = 1.16 .畫出下列各平面所圍成的立體的圖形(1) x . 0, y . 0, z . 0, x . 2, y . 1,3x 4 y 2z 12 . 0;x解 (1)0, z 0, x 1, y -2, z 一 y4如圖(b).1.一球面過原點及 A (4, 0, 0) , B (1,

40、 3, 0)和 C (0, 0, -4)三 點，求球面的方程及球心的坐標和半徑解設(shè)所求球面的方程為(x - a) 2 + ( y - b) 2 + ( z- c) 2 二 R2, 將已知點的坐標代入上式，得a2 + b2 + c2 = R2,(1)(a 一 4)2 十 b2 + c2 = R2,(a 一 1)2 + (b - 3) 2 + c2 = R2,2.22a + b + ( 4 + c)2 = R ,(4)聯(lián)立(1)(2)得a=2,聯(lián)立(1) (4)得c=-2,將a二2代入 (2) (3)并聯(lián)立得 b=1,故R=3.因此所求球面方程為(X _ 2)2 ( y . 1)2 ( z 2)2

41、=9, 其中球心坐標為(2,1- 2),半徑為3.2 .建立以點(1,3, -2)為球心，且通過坐標原點的球面方程解 設(shè)以點(1,3, -2)為球心，R為半徑的球面方程為(x 1)2 . ( y 3) 2 . ( z, 2) 2_ R2,球面經(jīng)過原點，故R2 - (0 .1)2 (0, 3)2(0 2) 2_ 14,從而所求球面方程為 (x 1)2 ( y 3) 2( z 2) 2 14.3 .方程 + y2 + z2 _ 2 x + 4 y+2 z = 0表示什么曲面？ X2一解將已知方程整理成(x -1)2 ( y 2)2( z 1)2一( 6) 2,所以此方程表示以(1, -2, -1)

42、為球心，以 J6為半徑的球面.4 .求與坐標原點 O及點(2,3,4)的距離之比為 1:2的點的全體所組成 的曲面的方程，它表示怎樣的曲面？解 設(shè)動點坐標為(x, y, z),根據(jù)題意有 2、2、2(x 一 0)( y . 0)( z 一 0)1V 222,(x 2)( y 3)( z 4)2化簡整理得(x 2)2 ( y 1)2 ( Z 4)2 _ (2 29)2 .3332 42 _它表示以(_ _,_1,_)為球心，以_J29為半徑的球面.3 3325 .將xOz坐標面上的拋物z = 5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋解 以.yfz2代替拋物線方程 z2 _ 5x中的z,得(十 Jy2；z

43、2 ) 2 = 5x,即y2z25x.注 xOz面上的曲線F ( x, z) = 0繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為F ( x,y2 z2 )0.土'2+2 =6 .將xOz坐標面上的x2z29繞z軸旋轉(zhuǎn)一周)求所生成的旋圓轉(zhuǎn)曲面的方程.解 以.屋一y 代替圓方程 x2z29中的x ,得土 J +=(x2y2 )2z29,即x2y2 z29.+ + =7 .將xOy坐標面上的雙曲線 4x2 _ 9 y2=36分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn) 一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解 以+ /y2+ z2代替雙曲線方程4x_9 y2 _36中的y,.2一 一得該雙曲線繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程

44、為I4 x29y2z2 )2 - 36,即4 x29( y2z2 )-36.2222以、x z代替雙曲線方程 4x - 9 y = 36中的x,得該 雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 / I4( - x2z2 )2 9 y2=36,即4( x2z2 )9 y2 = 36.8.畫出下列各方程所表示的曲面：(1) ( x - a) 2 + y2 = ( a) 2；-+ -y- = 1;2249222(3)，+ =1；(4)y _ z = 0；( 5) z = 2 - x2.94解 (1)如圖 8-11 (a); (2)如圖 8-11 (b);(3)如圖 8-11 (c);(4)如圖 8-

45、11 (d);(5)如圖 8-11 (e).圖8 J【9.指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形：(I) x = 2;( 2) y = X + 1;2222、(3) x + y = 4;(4)x - y = 1.解 (1) x = 2在平面解析幾何中表示平行于y軸的一條直線，在空間解析幾何中表示與yOz面平行的平面.(2) y = x + 1在平面解析幾何中表示斜率為1, y軸截距也為1的一條直線，在空間解析幾何中表示平行于z軸的平面.(3) x2 + y2 = 4在平面解析幾何中表示圓心在原點，半徑為 2的圓,在空間解析幾何中表示母線平行于z軸，準線為x2 + y2=

46、 4-z =0的圓柱面.、22(4) x y1在平面解析幾何中表不以x軸為實軸，y軸為虛軸 =的雙曲線，在空間解析幾何中表示母線平行于z軸，準線為x2 - y2 = 1，的雙曲柱面.10.說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的:(1)2 x +422匕 z_1;99(2) x2z2 - 1；(3)y2 - z2 - 1；，、2(4)( z- a)x2y2.2=1表示xOy面上的橢圓x_軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面,或表示xOz面的橢圓2 x +4x軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面2(2) x2 一 十 z之二 1 表示42xOy面上的雙曲線 x旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面,或表示yOz面的雙曲線2y _ 八L二1繞

47、y軸42yz2- 14繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面z2 = 1表示xOy面上的雙曲線 x2旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面，或表示xOz面的雙曲線2y2xz21繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面(4) ( z _ a) 2 = x2 + y 2表示xOz面上的直線z =z x 4 a繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面)或表示 L TyOz面的直y + a繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的旋轉(zhuǎn)曲面11.畫出下列方程所表示的曲面:(1) 4x2 + y2 + z2 = 4; x2 - y2 - 4 z2 = 4;zx2y2(3) 一 一 十349解 (1)如圖 8-12 (a);(2)如圖 8-12 (b);(3)如圖 8-12 (c);8-1212.畫出下列各曲面所圍立體的圖形：(1) z 0, z 3,x y 0, x.-3y0, x2 y21 (在第一=- =-7=+=卦限)； x 0, y 0, z 0, x2y2 R2, y2 z2 R 2 (在第一卦 + = 十 二限).解 (1)如圖8-13所示；(2)如圖8-14所示.H3 8 - 13圖8-M1 .畫出下列曲線在第一卦限的圖形;(2)x2v2,(3)V 一 0；y2 - a2,2 _2(1)如圖 8-15 (a); (2)如圖 8-15 (b); (3)如圖 8-15 (c