第3講_因式分解(提高班)

1、第二章因式分解知識點1：分解因式的定義1分解因式：把一個多項式化成幾個_整式的乘的積，這種變形叫做分解因式，它與整式的乘法互為逆運算。如： 判斷下列從左邊到右邊的變形是否為分解因式：（ ） （ ） （ ） （ ）知識點2：公因式公因式： 定義：我們把多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式。 公因式的確定：（1）符號: 若第一項是負號則先把負號提出來（提出負號后括號里每一項都要變號）（2）系數(shù)：取系數(shù)的最大公約數(shù)；（3）字母：取字母（或多項式）的指數(shù)最低的；（4）所有這些因式的乘積即為公因式；例如：_多項式分解因式時，應(yīng)提取的公因式是（ ）ABCD3. 的公因式是_知識點3：用提

2、公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式的乘積，這種分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1.可以直接提公因式的類型：（1）=_；（2）=_（3）=_ （4）不解方程組，求代數(shù)式的值2.式子的第一項為負號的類型：（1） =_ =_（2）若被分解的因式只有兩項且第一項為負，則直接交換他們的位置再分解（特別是用到平方差公式時）如： 練習(xí)：1多項式:的一個因式是,那么另一個因式是( ) C D.2.分解因式5(yx)310y(yx)33. 公因式只相差符號的類型：公因式相差符號的，要先確定取哪個因式為公因式，然后把另外的

3、只相差符號的因式的負號提出來，使其統(tǒng)一于之前確定的那個公因式。（若同時含奇數(shù)次和偶數(shù)次則一般直接調(diào)換偶數(shù)次里面的字母的位置，如 例：( 1)（ba）2+a（ab）+b（ba） ( 2)（a+bc）（ab+c）+（ba+c）·（bac）（3）練習(xí)：1把多項式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)(m2-m) (C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1)2多項式的分解因式結(jié)果（ ）A B C D3分解因式：（1）_) （2）6(xy)43y(yx)5知識點4公式法分解因式如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分

4、解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法 平方差公式：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個的和與這兩個數(shù)的差的積。即a2-b2=(a+b)(a-b)特點：a.是一個二項式，每項都可以化成整式的平方. b.兩項的符號相反.例如：1、判斷能否用平方差公式的類型（1）下列多項式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2（2）下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）A B C D2、直接用平方差的類型（1） （2） （3） 3、整體的類型：（1） （2）4、提公因式法和平方差公式結(jié)合運用的類型(1)m34m

5、= (2) 練習(xí)：將下列各式分解因式（1） (2)100x281y2；(3)9(ab)2(xy)2；（4） （5） （6）（7）二、完全平方式分解因式法完全平方公式：兩個數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方。即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ; a2-2ab+b2=(a-b)2特點：（1）多項式是三項式；（2）其中有兩項同號，且此兩項能寫成兩數(shù)或兩式的平方和的形式；（3）另一項是這兩數(shù)或兩式乘積的2倍.1、判斷一個多項式是否可用完全平方公式進行因式分解如：下列多項式能分解因式的是（ ）A B C D2、關(guān)于求式子中的未知數(shù)的問題如：1若多項式是完全平

6、方式，則k的值為（ ）A4 B4 C±8 D±42若是關(guān)于x的完全平方式，則k= 3.若是關(guān)于x的完全平方式則m=_3、直接用完全平方公式分解因式的類型 (1)； (2)； (3)； (4)4、整體用完全平方式的類型(1)(x2)212(x2)36； （2） 5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的類型 (1)-4x3+16x2-16x； (2)ax2y2+2axy+2a（3）已知：，求的值練習(xí)：分解因式（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 知識點5、十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b） =，用來把某些多項式分解因

7、式，這種分解因式的方法叫做十字相乘法。如:分解因式： (3) a2+6ab+5 b2 (4) x2+5x+6 (5) x2-5x+6 (6) x2-5x-6 練習(xí)： (1) x2+7x+12 (2) x2-8x+12 (3) x2-x-12 (4) x2+4x-12(5) y2+23y+22 (6) x2-8x-20 (7) x2+9x y-36 y2 (4) x2+5x-6 知識點6、分組的方法分解因式如(1) (2) 練習(xí)：（1）（2） （3）（4） （5）小結(jié)因式分解的常規(guī)方法和方法運用的程序，可用“一提二公三叉四分”這句話來概括?！耙惶帷笔侵甘紫瓤紤]提取公因式；“二公”即然后考慮運用公

8、式（兩項用平方差公式或立方和、立方差公式，三項的用完全和平方、差平方公式）；“三叉”就是二次三項式能否進行十字相乘法；“四分”是四項以上考慮分組分解法。分解因式單元練習(xí)一、選擇題（每題4分，共40分）1下列從左到右的變形，其中是因式分解的是（）（A） （B）（C） （D）2把多項式8a2b316a2b2c224a3bc3分解因式，應(yīng)提的公因式是( )，（A）8a2bc （B） 2a2b2c3 （C）4abc （D） 24a3b3c33下列因式分解中，正確的是（ ）（A） （B）（C） （D）4下列多項式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）（A） （B） （C）（D）5把6(xy)33y(yx

9、)3分解因式，結(jié)果是( )（A）3(xy)3(2y)（B） (xy)3(63y)（C）3(xy)3(y2)（D） 3(xy)3(y2)6下列各式變形正確的是（ ）（A） （B）（C） （D）7下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )（A）4x21 （B）4x24x1 （C）x2xyy2 Dx2x21世紀教育網(wǎng)8因式分解4a24a正確的是( )（A）(2a)2 （B）4(1a)a2（C） (2a)(2a)（D） (2a)29若是完全平方式，則m的值是（ ）（A）3 （B）4 （C）12（D）±1210已知，則的值是（ ）。（A）1（B）4 （C）16 （D）9二、填空題（每題4分

10、，共20分）21世紀教育網(wǎng)1分解因式時，應(yīng)提取的公因式是 .2；.3多項式與的公因式是 .4利用因式分解計算： .5如果a2ma121是一個完全平方式，那么m_或_。三、解答題:1將下列各式因式分解:（每題5分，共40分）21世紀教育網(wǎng) (1) ；(2)a(xy)(ab)(xy)；(3)100x281y2；(4)9(ab)2(xy)2；(5)(x2)212(x2)36； (6) （7） （8）2.（滿分10分）已知：a+b=3,x-y=1,求a+2ab+b-x+y的值.3（滿分10分）已知ab2005，ab，求a2bab2的值。1、用提公因式法把多項式進行因式分解【知識精讀】 如果多項式的各項

11、有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運算，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項式的公因式的確定方法是：（1）當多項式有相同字母時，取相同字母的最低次冪。（2）系數(shù)和各項系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項式，也可以是多項式?！痉诸惤馕觥?1. 把下列各式因式分解 （1） （2） 分析：（1）若多項式的第一項系數(shù)是負數(shù)，一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第一項系數(shù)是正數(shù)，在提出“”號后，多項式的各項都要變號。解：有時將因式經(jīng)過符號變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴剑纾寒攏為自然數(shù)時，是在因式分解過程中常用的

12、因式變換。 2. 利用提公因式法簡化計算過程 例：計算 3. 在多項式恒等變形中的應(yīng)用 例：不解方程組，求代數(shù)式的值。 分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項都含有，利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有和的式子，即可求出結(jié)果。 解： 把和分別為3和帶入上式，求得代數(shù)式的值是。 4. 在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例：證明：對于任意自然數(shù)n，一定是10的倍數(shù)。 分析：首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形，接著只需證明每一項都是10的倍數(shù)即可。 對任意自然數(shù)n，和都是10的倍數(shù)。一定是10的倍數(shù)5、中考點撥： 例1。因式分解 例2分解因式： 說明：在用提公因

13、式法分解因式前，必須對原式進行變形得到公因式，同時一定要注意符號，提取公因式后，剩下的因式應(yīng)注意化簡。題型展示： 例1. 計算： 精析與解答： 設(shè)，則 說明：此題是一個有規(guī)律的大數(shù)字的運算，若直接計算，運算量必然很大。其中2000、2001重復(fù)出現(xiàn)，又有的特點，可通過設(shè)未知數(shù)，將復(fù)雜數(shù)字間的運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再利用多項式的因式分解化簡求值，從而簡化計算。 例2. 已知：（b、c為整數(shù)）是及的公因式，求b、c的值。 分析：常規(guī)解法是分別將兩個多項式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比較麻煩。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求問題即可轉(zhuǎn)化為求這個多項式的二次因式。 解：是及的公因式 也是多項

14、式的二次因式 而 b、c為整數(shù) 得： 說明：這是對原命題進行演繹推理后，轉(zhuǎn)化為解多項式，從而簡便求得。 例3. 設(shè)x為整數(shù)，試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請說明理由。 解： 都是大于1的自然數(shù) 是合數(shù) 說明：在大于1的正數(shù)中，除了1和這個數(shù)本身，還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)。只能被1和本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)。【實戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式： （1） （2）（n為正整數(shù)） （3） 2. 計算：的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整數(shù)，且，求x、y。4. 證明：能被45整除。 5. 化簡：，且當時，求原式的值。試題答案 1. 分析與解答： （1） （2） （3）原式 注意：結(jié)果多項因

15、式要化簡，同時要分解徹底。 2. B 3. 是正整數(shù) 分解成 又與奇偶性相同，且 說明：求不定方程的整數(shù)解，經(jīng)常運用因式分解來解決。 4. 證明： 能被45整除 5. 解：逐次分解：原式 當時，原式2、運用公式法進行因式分解【知識精讀】 把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 補充：歐拉公式： 特別地：（1）當時，有 （2）當時，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。 運用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個公式的形式和特點，熟練地掌握公式。但有時需要經(jīng)過適當?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣

16、泛的應(yīng)用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運用它，對今后的學(xué)習(xí)很有幫助。下面我們就來學(xué)習(xí)用公式法進行因式分解【分類解析】 1. 把分解因式的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 分析：。 再利用平方差公式進行分解，最后得到，故選擇B。說明：解這類題目時，一般先觀察現(xiàn)有項的特征，通過添加項湊成符合公式的形式。同時要注意分解一定要徹底。 2. 在簡便計算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項式的整除等方面的應(yīng)用 例：已知多項式有一個因式是，求的值。 分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運算，可假設(shè)另一個因式，再用待定系數(shù)法即可求出的值。 解：根據(jù)已知條件，設(shè) 則 由此可得 由（1）得 把代入（2）

17、，得 把代入（3），得 3. 在幾何題中的應(yīng)用。 例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。 分析：因為題中有，考慮到要用完全平方公式，首先要把轉(zhuǎn)成。所以兩邊同乘以2，然后拆開搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。 解： 為等邊三角形。 4. 在代數(shù)證明題中應(yīng)用 例：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。 分析：先根據(jù)已知條件把奇數(shù)表示出來，然后進行變形和討論。 解：設(shè)這兩個連續(xù)奇數(shù)分別為（為整數(shù)） 則 由此可見，一定是8的倍數(shù)。5、中考點撥： 例1：因式分解：_。 解： 說明：因式分解時，先看有沒有公因式。此題應(yīng)先提取公因式，再用平方差公式分解徹底。 例2：分解因式：_。 解： 說明：先提取公

18、因式，再用完全平方公式分解徹底。題型展示： 例1. 已知：， 求的值。 解： 原式 說明：本題屬于條件求值問題，解題時沒有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡化計算過程。 例2. 已知， 求證： 證明： 把代入上式， 可得，即或或 若，則， 若或，同理也有 說明：利用補充公式確定的值，命題得證。 例3. 若，求的值。 解： 且 又 兩式相減得 所以 說明：按常規(guī)需求出的值，此路行不通。用因式分解變形已知條件，簡化計算過程?！緦崙?zhàn)模擬】 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 已知：，求的值。3. 若是三角形的三條邊，求證：4. 已知：，求的值。 5. 已

19、知是不全相等的實數(shù)，且，試求 （1）的值；（2）的值?！驹囶}答案】 1. （1）解：原式 說明：把看成整體，利用平方差公式分解。 （2）解：原式 （3）解：原式 2. 解： 3. 分析與解答：由于對三角形而言，需滿足兩邊之差小于第三邊，因此要證明結(jié)論就需要把問題轉(zhuǎn)化為兩邊差小于第三邊求得證明。 證明： 是三角形三邊 且 即 4. 解 ，即 5. 分析與解答：（1）由因式分解可知 故需考慮值的情況，（2）所求代數(shù)式較復(fù)雜，考慮恒等變形。 解：（1） 又 而 不全相等 （2） 原式 而，即 原式 說明：因式分解與配方法是在代數(shù)式的化簡與求值中常用的方法。4、用分組分解法進行因式分解【知識精讀】 分

20、組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運用公式。使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當，而在分組時，必須有預(yù)見性。能預(yù)見到下一步能繼續(xù)分解。而“預(yù)見”源于細致的“觀察”，分析多項式的特點，恰當?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵。 應(yīng)用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時它在代數(shù)式的化簡，求值及一元二次方程，函數(shù)等學(xué)習(xí)中也有重要作用。 下面我們就來學(xué)習(xí)用分組分解法進行因式分解?！痉诸惤馕觥?. 在數(shù)學(xué)計算、化簡、證明題中的應(yīng)用 例1. 把多項式分解因式，所得的結(jié)果為（ ） 分析：先去括號，合并同類項，然后分組搭配，繼續(xù)用公式法分解徹底。 解：原式 故選擇C 例2. 分解因式 分析

21、：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；此題也可把，分別看作一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。 解法1： 解法2： 2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用 例：已知三條線段長分別為a、b、c，且滿足 證明：以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形 分析：構(gòu)成三角形的條件，即三邊關(guān)系定理，是“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊” 證明： 3. 在方程中的應(yīng)用 例：求方程的整數(shù)解 分析：這是一道求不定方程的整數(shù)解問題，直接求解有困難，因等式兩邊都含有x與y，故可考慮借助因式分解求解 解： 4、中考點撥 例1.分解因式：_。 解：

22、說明：觀察此題是四項式，應(yīng)采用分組分解法，中間兩項雖符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，應(yīng)把后三項結(jié)合在一起，再應(yīng)用完全平方公式和平方差公式。 例2分解因式：_ 解： 說明：前兩項符合平方差公式，把后兩項結(jié)合，看成整體提取公因式。 例3. 分解因式：_ 解： 說明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。5、題型展示： 例1. 分解因式： 解： 說明：觀察此題，直接分解比較困難，不妨先去括號，再分組，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知：，求ab+cd的值。 解：ab+cd= 說明：首先要充分利用已知條件中的1（任何數(shù)乘以1，其值不變），其次利用分解因式將式子變形成含有

23、ac+bd因式乘積的形式，由ac+bd=0可算出結(jié)果。 例3. 分解因式： 分析：此題無法用常規(guī)思路分解，需拆添項。觀察多項式發(fā)現(xiàn)當x=1時，它的值為0，這就意味著的一個因式，因此變形的目的是湊這個因式。 解一（拆項）： 解二（添項）： 說明：拆添項法也是分解因式的一種常見方法，請同學(xué)們試拆一次項和常數(shù)項，看看是否可解？【實戰(zhàn)模擬】 1. 填空題： 2. 已知：3. 分解因式：4. 已知：，試求A的表達式。 5. 證明：【試題答案】 1. （1）解： （2）解： （3）解： 2. 解： 說明：因式分解是一種重要的恒等變形，在代數(shù)式求值中有很大作用。 3. 解： 4. 解： 5. 證明： 5、用

24、十字相乘法把二次三項式分解因式【知識精讀】 對于首項系數(shù)是1的二次三項式的十字相乘法，重點是運用公式進行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個數(shù)，即把常數(shù)項分解成兩個數(shù)的積，且其和等于一次項系數(shù)。 對于二次三項（a、b、c都是整數(shù)，且）來說，如果存在四個整數(shù)滿足，并且，那么二次三項式即可以分解為。這里要確定四個常數(shù)，分析和嘗試都要比首項系數(shù)是1的類型復(fù)雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來確定。 下面我們一起來學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解?！痉诸惤馕觥?1. 在方程、不等式中的應(yīng)用 例1. 已知：，求x的取值范圍。 分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。 解：

25、例2. 如果能分解成兩個整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個多項式分解因式。 分析：應(yīng)當把分成，而對于常數(shù)項-2，可能分解成，或者分解成，由此分為兩種情況進行討論。 解：（1）設(shè)原式分解為，其中a、b為整數(shù)，去括號，得： 將它與原式的各項系數(shù)進行對比，得： 解得： 此時，原式 （2）設(shè)原式分解為，其中c、d為整數(shù)，去括號，得： 將它與原式的各項系數(shù)進行對比，得： 解得： 此時，原式 2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用 例. 已知：長方形的長、寬為x、y，周長為16cm，且滿足，求長方形的面積。 分析：要求長方形的面積，需借助題目中的條件求出長方形的長和寬。 解： 或 又 解得：或 長方形的面積為1

26、5cm2或 3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例. 證明：若是7的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，則是49的倍數(shù)。 分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成49與一個整數(shù)的乘積的形式。 證明一： 是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)（y是整數(shù)） 是7的倍數(shù) 而2與7互質(zhì)，因此，是7的倍數(shù)，所以是49的倍數(shù)。 證明二：是7的倍數(shù)，設(shè)（m是整數(shù)） 則 又 x，m是整數(shù)，也是整數(shù) 所以，是49的倍數(shù)。4、中考點撥 例1.把分解因式的結(jié)果是_。 解： 說明：多項式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。 例2. 因式分解：_ 解： 說明：分解系數(shù)時一定要注意符號，否則由于不慎將造成錯誤。5、題型展示 例

27、1. 若能分解為兩個一次因式的積，則m的值為（ ） A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或，因此，存在兩種情況： 由（1）可得：，由（1）可得： 故選擇C。 說明：對二元二次多項式分解因式時，要先觀察其二次項能否分解成兩個一次式乘積，再通過待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法。 例2. 已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足。 求證： 證明： 說明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。 例3. 若有一因式。求a，并將原式因式分解。 解：有一因式 當，即時， 說明：由條件知，時多項式的值為零，代入求得a，再利用原式有一個因式是，分解時盡量出現(xiàn)，從而分解徹底?！緦崙?zhàn)模擬】 1

28、. 分解因式：（1） （2）（3）2. 在多項式，哪些是多項式的因式？3. 已知多項式有一個因式，求k的值，并把原式分解因式。4. 分解因式： 5. 已知：，求的值?！驹囶}答案】 1. （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 2. 解： 其中是多項式的因式。 說明：先正確分解，再判斷。 3. 解：設(shè) 則 解得： 且 說明：待定系數(shù)法是處理多項式問題的一個重要辦法，所給多項式是三次式，已知有一個一次因式，則另一個因式為二次式，由多項式乘法法則可知其二次項系數(shù)為1。 4. 解：簡析：由于項數(shù)多，直接分解的難度較大，可利用待定系數(shù)法。 設(shè) 比較同類項系數(shù)，得： 解得： 5. 解： 說明：用因

29、式分解可簡化計算。7、因式分解小結(jié)【知識精讀】 因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識時，應(yīng)注意以下幾點。 1. 因式分解的對象是多項式； 2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式； 5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式； 6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有

30、無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項（添項）等方法；下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容?！痉诸惤馕觥?1. 通過基本思路達到分解多項式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把，分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通過變形達到分解的目的 例1. 分解因式

31、解一：將拆成，則有 解二：將常數(shù)拆成，則有 3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項式的值一定是非負數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設(shè)，則 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。中考點撥： 例1.在中，三邊a,b,c滿足 求證： 證明： 說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大

32、，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。 例2. 已知：_ 解： 說明：利用等式化繁為易。題型展示： 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。 解： 說明：代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2. 將 解： 說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計算?！緦崙?zhàn)模擬】 1. 分解因式： 2. 已知：的值。3. 矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。4. 求證：是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)）5. 已知：a、b、c是非零實數(shù)，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的

33、大小?！驹囶}答案】 1. （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2. 解： 3. 解： 4. 證明： 5. 解：用abc乘以第二個條件等式的兩邊，得： 說明：因式分解與配方法是代數(shù)式化簡與求值中常用的方法和手段，應(yīng)當熟練掌握。 6. 分析：比較兩式大小最基本的方法是作差看它們與零的大小。 解： 第三講 因式分解1例1、請指出下列各式中從左到右的變形哪個是分解因式.（1）x22=（x+1）（x1）1；（2）（x3）（x+2）=x2x+6（3）3m2n6mn=3mn（m2）；（4）ma+mb+mc=m（a+b）+mc；（5）a24ab+4b2=（a2b）2例2、關(guān)于x的多項式2x211x

34、m分解因式后有一個因式是x3，試求m的值.例3、（1）計算：（2）1999+21998（2）9993999能被998整除嗎？能被999和1000整除嗎？為什么？（3）求代數(shù)式ma+mb+mc的值，其中m=25.6，a=53.2，b=66.4，c=19.6.例4、分解因式（1）x（x-y）-y（y-x） （2）-12x3+12x2y-3xy2（3）（x+y）2+mx+my （4）a（x-a）（x+y）2-b（x-a）2（x+y）例5、已知（19x-31）（13x-17）-（13x-17）（11x-23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a、b、c均為整數(shù)，則a+b+c=？A. -12&#

35、160;             B. -32             C. 38               D. 72 例6、若a=-5，a+b+c=5.2，求代數(shù)式a2（-b-c）-3.2a（c+b）的值. 訓(xùn) 練 題一、認認真真選1

36、. 多項式8xmyn112x3myn的公因式是（    ）A. xmyn                         B. xmyn1                 

37、;   C. 4xmyn                      D. 4xmyn12. 把多項式-4a3+4a2-16a分解因式（    ）A. -a（4a2-4a+16） B. a（-4a2+4a-16） C. -4（a3-a2+4a） D. -4a（a2-a+4）3. 如果多項式 abc+ ab2-a2bc的一個因式是-

38、 ab，那么另一個因式是 （    ）A. c-b+5ac          B. c+b-5ac        C. c-b+ ac        D. c+b- ac4. 用提取公因式法分解因式正確的是（    ）A. 12abc-9a2b2=3abc（4-3ab） B. 3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2

39、y）C. -a2+ab-ac=-a（a-b+c） D. x2y+5xy-y=y（x2+5x）5. 把多項式3m（x-y）-2（y-x）2分解因式的結(jié)果是（    ）A.（x-y）（3m-2x-2y）             B.（x-y）（3m-2x+2y） C.（x-y）（3m+2x-2y）              D.（y-x）（2

40、x-2y+3m） 6. 下列從左到右的變形，是分解因式的為（    ）A. x2x=x（x1）                          B. a（ab）=a2abC.（a+3）（a3）=a29          

41、0;         D. x22x+1=x（x2）+17. 下列各題因式分解正確的是（    ） A. 3x25xy+x=x（3x5y）         B. 4x3y26xy3z=2xy2（2x2yz+3） C. 3ab（ab）6a（ab）=3（ab）（ab2a）D. 56x3yz+14x2y2z21xy2z2=7xyz（8x22xy+3yz） 8. 把（2）1999+（2）2000分解因式后是（ &#

42、160;  ） A. 21999             B. 2              C. 21999            D. 1 二、仔仔細細填9. 單項式12x12y3與8x10y6的公因式是_.10. 7ab4+14a2b249a3

43、b2=7ab2（_）.11. 若4x36x2=2x2（2x+k），則k=_.12. 2（ab）34（ba）2=2（ab）2（_）.三、解答題13. 先化簡，再求值.a（8a）+b（a8）c（8a），其中a=1，b=，c= .14. 已知2x-y=，xy=2，求2x4y3-x3y4的值.15. 32003-4×32002+10×32001能被7整除嗎？為什么？16. 已知4x2+7x+2=4，求12x221x的值.*17. 求證：連續(xù)兩個整數(shù)的積，再加上較大的整數(shù)其和等于較大整數(shù)的平方. 預(yù)習(xí) 1. 把多項式 分解因式，下列結(jié)果正確的是 （ &#

44、160;  ）A.    B.      C.     D. 2. 把 分解因式，結(jié)果正確的是（    ）A.       B.    C.        D. 3. 把多項式 分解因式，結(jié)果正確的是（    ）A.        

45、;  B.        C.          D. 4. 下列因式分解錯誤 的是（    ）A.   B. C.    D. 5. 分解因式： .【試題答案】1. D【思路分析】當 多項式的各項中含有同一個字母時，把這個字母次數(shù)最低的作為公因式中的一個因式.2. D【思路分析】如 果多項式的第一項前有“”號，提取時，“”要作為公因式的一部分.3. A【思路分析】提 取公因式

46、后，剩下的部分即為所求.4. C5. B【思路分析】（yx）2=（xy）2.6. A【思路分析】B，C選項屬于整式乘法，D選項變形后還是和的形式.7. C8. A 【思路分析】（2）1999+（2）2000=（2）1999 ×（12）= 21999.二、9. 4x10y3【思路分 析】單項式的公因式取系數(shù)的最大公約數(shù)，字母相同的因式都要取且取最低次冪.10. b2+2a7a211. 3【思路分析】4x36x2=2x2（2x3）.12. ab2【思路分析】（ba）2=（ab）2三、解答題13. 解：a（8a）+b（a8）c（8a）= a（8a）b（8a）c（8a）=（8a）（abc）當

47、a=1，b= ，c= 時，原式=（81）×（1）=0.【思路分析】先分解因式，然后將字母的值分別代入分解因式的結(jié)果.14. 解：2x4y3x3y4= .當2xy=，xy=2時，原式= .【思路分析】分解因式后，采取整體代入.15. 解：320034×32002+10×32001=32001（324×3+10）=32001×7.能被7整除.【思路分析】將原式分解因式，所得結(jié)果里含有7的因式，說明能被7整除.16. 解：4x2+7x+2=4 4x2+7x=2 12x221x=3（4x2+7x）=3×2=6.【思路分析】先分解因式，后整體代

48、入.17. 證明：設(shè)n為整數(shù)，則n，n+1是兩個連續(xù)整數(shù)，n·（n+1）+（n+1）=（n+1）（n+1）=（n+1）2，故原命題成立.【思路分析】兩個連續(xù)整數(shù)可分別用n，n+1表示，列出代數(shù)式后進行分解因式即可. 第三講 因式分解因式分解是針對多項式的一種恒等變形，提公因式法、公式法，分組分解法是因式分解的基本方法，通常根據(jù)多項式的項數(shù)來選擇分解的方法【例1】將x4+8分解因式正確的是（）A、（x416）B、（x2+4）（x24）C、（x2+4）（x+2）（x2）D、（x2+2）（x22）2考點：因式分解-運用公式法。分析：先提取公因式，然后套用公式a2b2=（a+b）（

49、ab），再進一步分解因式解答：解：x4+8，=（x416），=（x24）（x2+4），=（x2）（x+2）（x2+4）故選C點評：本題考查了用公式法進行因式分解的能力，進行因式分解時，若一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再套用公式進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止【例2】 20、分解因式：（x3）（x1）+1考點：因式分解-運用公式法。專題：常規(guī)題型。分析：先根據(jù)多項式的乘法整理成多項式的一般形式，然后再利用完全平方公式進行因式分解解答：解：（x3）（x1）+1=x24x+3+1=x24x+4=（x2）2點評：本題考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多項式的乘法整理成多項式的一般形式是解題的關(guān)鍵【例3】分解因式x42x2+1.解：x42x2+1=（x21）2=（x1）（x+1）2=（x1）2（x+1）2.【例4】多項式x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解后的結(jié)果是（）A、（yz）（x+y）（xz）B、（yz）（xy）（x+z）C、（y+z）（x一y）（x+z）D、（y十z）（x+