三年級奧數(shù)詳解答案-第六講-簡單數(shù)列的規(guī)律

1、第六講 找簡單數(shù)列的規(guī)律日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：自然數(shù)：1，2，3，4，5，6，7， （1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）某年級各班的學生人數(shù)（按班級順序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 （3）像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，其中第1個數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項，第2個數(shù)稱為第2項，第n個數(shù)就稱為第n項.如數(shù)列（3）中，第1項是45，第2項也是45，第3項是44，第4項是46，第5項45。根據(jù)數(shù)列中項的個數(shù)分類，我們把項數(shù)有限的數(shù)列（即有有

2、窮多個項的數(shù)列）稱為有窮數(shù)列，把項數(shù)無限的數(shù)列（即有無窮多個項的數(shù)列）稱為無窮數(shù)列，上面的幾個例子中，（2）（3）是有窮數(shù)列，（1）是無窮數(shù)列。研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律性，以作為解決問題的依據(jù)，本講將從簡單數(shù)列出發(fā)，來找出數(shù)列的規(guī)律。例1 觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號中填上合適的數(shù).2，5，8，11，（），17，20。19，17，15，13，（），9，7。1，3，9，27，（），243。64，32，16，8，（），2。1，1，2，3，5，8，（），21，341，3，4，7，11，18，（），471，3，6，10，（），21，28，36，（）.1，2，6，24

3、，120，（），5040。1，1，3，7，13，（），31。1，3，7，15，31，（），127，255。(11)1，4，9，16，25，（），49，64。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析及解答不難發(fā)現(xiàn)，從第2項開始，每一項減去它前面一項所得的差都等于3.因此，括號中應填的數(shù)是14，即：113=14。 同考慮，可以看出，每相鄰兩項的差是一定值2.所以，括號中應填11，即：132=11。不妨把及聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列中，隨項數(shù)的增大，每一項的數(shù)值也相應增大，即

4、數(shù)列是遞增的；數(shù)列中，隨項數(shù)的增大，每一項的值卻依次減小，即數(shù)列是遞減的.但是除了上述的不同點之外，這兩個數(shù)列卻有一個共同的性質(zhì)：即相鄰兩項的差都是一個定值.我們把類似這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.1，3，9，27，（），243。此數(shù)列中，從相鄰兩項的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項開始，每一項都是其前面一項的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括號中應填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合規(guī)律，即 24381×3。64，32，16，8，（），2及類似，本題中，從第1項開始，每一項是其后面一項的2倍，即：因此，

5、括號中填4，代入后符合規(guī)律。綜合考慮，數(shù)列是遞增的數(shù)列，數(shù)列是遞減的數(shù)列，但它們卻有一個共同的特點：每列數(shù)中，相鄰兩項的商都相等.像這樣的數(shù)列，我們把它稱為等比數(shù)列。 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34首先可以看出，這個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項之間是否還有別的關系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項開始，每一項等于它前面兩項的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=35.因此，括號中應填的數(shù)是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。這個以1，1分別為第1、第2項，以后各項都等于其前兩項之和的無窮數(shù)列，就是數(shù)學上有名的斐波那契

6、數(shù)列，它來源于一個有趣的問題：如果一對成熟的兔子一個月能生一對小兔，小兔一個月后就長成了大兔子，于是，下一個月也能生一對小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對兔子都是一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長，按順序記錄每個月中所有兔子的數(shù)目（以對為單位，一月記一次），就得到了一個數(shù)列，這個數(shù)列就是數(shù)列的原型，因此，數(shù)列又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級遞推方法中我們還要作詳細介紹。1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47在學習了數(shù)列的前提下，數(shù)列的規(guī)律就顯而易見了，從第3項開始，每一項都等于其前兩項的和.因此，括號中應填的是29，即 29=1118。數(shù)列不同于數(shù)列的原因是：數(shù)列

7、的第2項為3，而數(shù)列為1，數(shù)列稱為魯卡斯數(shù)列。1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ）。方法1：繼續(xù)考察相鄰項之間的關系，可以發(fā)現(xiàn)：因此，可以猜想，這個數(shù)列的規(guī)律為：每一項等于它的項數(shù)及其前一項的和，那么，第5項為15，即15=10+5，最后一項即第 9項為 45，即 45369.代入驗算，正確。方法2：其實，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：第1項：1=1第2項：3=12第3項：6=1+2+3第4項：10=1+2+3+4第5項：（ ）第6項：21=1+2+3+4+5+6第7項：28=1+2+3+4+5+6+7第8項；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9項：（ ）即這個數(shù)列的規(guī)律是：每

8、一項都等于從1開始，以其項數(shù)為最大數(shù)的n個連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項為15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；第九項為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。1，2，6，24，120，（ ），5040。方法1：這個數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項相加減后，看不出任何規(guī)律.考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項的商，顯然：所以，這個數(shù)列的規(guī)律是：除第1項以外的每一項都等于其項數(shù)及其前一項的乘積.因此，括號中的數(shù)為第6項720，即 720=120×6。方法2：受的影響，可以考慮連續(xù)自然數(shù)，顯然：第1項 1=1第2項 2=1×2第3項 6=1×2×

9、3第4項 24=1×2×3×4第5項 120=1×2×3×4×5第6項 （ ）第7項 5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6項應為 1×2×3×4×5×6=7201，1，3，7，13，（ ），31及類似：可以猜想，數(shù)列的規(guī)律是該項=前項+2×（項數(shù)-2）（第1項除外），那么，括號中應填21，代入驗證，符合規(guī)律。1，3，7，15，31，（ ），127，255。則：因此，括號中的數(shù)應填為63。小結：尋找

10、數(shù)列的規(guī)律，通常從兩個方面來考慮：尋找各項及項數(shù)間的關系；考慮相鄰項之間的關系.然后，再歸納總結出一般的規(guī)律。事實上，數(shù)列或數(shù)列的兩種方法，就是分別從以上兩個不同的角度來考慮問題的.但有時候，從兩個角度的綜合考慮會更有利于問題的解決.因此，仔細觀察，認真思考，選擇適當?shù)姆椒?，會使我們的學習更上一層樓。在題中，1=2-13=22-17=23-115=24-131=25-1127=27-1255=28-1所以，括號中為26-1即63。（11）1，4，9，16，25，（ ），49，64.1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 25=5

11、5;5，49= 7×7，64=8×8，即每項都等于自身項數(shù)及項數(shù)的乘積，所以括號中的數(shù)是36。本題各項只及項數(shù)有關，如果從相鄰項關系來考慮問題，勢必要走彎路。(12)0，3，8，15，24，（ ）， 48， 63。仔細觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項加上1正好等于數(shù)列(11)，因此，本數(shù)列的規(guī)律是項=項數(shù)×項數(shù)-1.所以，括號中填35，即 35= 6×6-1。(13)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ）。前面的方法均不適用于這個數(shù)列，在觀察的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項、第3

12、項、第5項、第7項和第9項，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項（即第1，3，5，7，9項）和偶數(shù)項（即第2，4，6，8項）來考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項重新分組排列如下：奇數(shù)項：1，2，3，4，5偶數(shù)項：2，4，8，16 可以看出，奇數(shù)項構成一等差數(shù)列，偶數(shù)項構成一等比數(shù)列.因此，括號中的數(shù)，即第10項應為32（32=16×2）。(14) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項：偶數(shù)項：2，4，6，8，10奇數(shù)項：1，3，9，27，（ ）.所以，偶數(shù)項為等差數(shù)列，奇數(shù)項為等比數(shù)列，括號中應填81（81=27×3）。像(13)(14)

13、這樣的數(shù)列，每個數(shù)列中都含有兩個系列，這兩個系列的規(guī)律各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重數(shù)列。例2 下面數(shù)列的每一項由3個數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）問：第100個數(shù)組內(nèi)3個數(shù)的和是多少？方法1：注意觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)組的第1個分量依次是：1，2，3構成等差數(shù)列，所以第 100個數(shù)組中的第 1個數(shù)為100；這些數(shù)組的第2個分量 3，6，9也構成等差數(shù)列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100個數(shù)組中的第2個數(shù)為3×100=300；同理，第3個分量為5×100=500，所以

14、，第100個數(shù)組內(nèi)三個數(shù)的和為100+300+500=900。方法2：因為題目中問的只是和，所以可以不去求組里的三個數(shù)而直接求和，考察各組的三個數(shù)之和。第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18第3組：3+ 9+ 15= 27，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27構成一等差數(shù)列，第100項為9×100=900，即第100個數(shù)組內(nèi)三個數(shù)的和為900。例3 按下圖分割三角形，即：把三角形等分為四個相同的小三角形（如圖（b）；把中的小三角形（尖朝下的除外）都等分為四個更小的三角形（如圖（C）繼續(xù)下去，將會得到一系列的圖，依

15、次把這些圖中不重疊的三角形的個數(shù)記下來，成為一個數(shù)列：1，4，13，40請你繼續(xù)按分割的步驟，以便得到數(shù)列的前5項.然后，仔細觀察數(shù)列，從中找出規(guī)律，并依照規(guī)律得出數(shù)列的第10項，即第9項分割后所得的圖中不重疊的小三角形的個數(shù).分析及解答第4次分割后的圖形如左圖：因此，數(shù)列的第5項為121。這個數(shù)列的規(guī)律如下：第1項1第2項4=1+3第3項13=4+3×3第4項40=13+3×3×3第5項121=40+3×3×3×3或者寫為：第1項 1=1第2項4=1+31第3項13=1332第4項 40=133233第 5項 121=1332+33

16、34因此，第10項也即第9次分割后得到的不重疊的三角形的個數(shù)是29524。例4 在下面各題的五個數(shù)中，選出及其他四個數(shù)規(guī)律不同的數(shù)，并把它劃掉，再從括號中選一個合適的數(shù)替換。42，20，18，48，24（21，54，45，10）15，75，60，45，27（50，70，30，9）42，126，168，63，882（27，210，33，25）解：中，42、18、48、24都是6的倍數(shù)，只有20不是，所以，劃掉20，用54代替。 15、 75、 60、 45都是 15的整數(shù)倍數(shù)，而 27不是，用30來替換27。同上分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)中， 42、 126、 128、 882都是42的整數(shù)倍，而63卻不

17、是.因此，用210來代替63。例5 在下列各圖中填出所缺的數(shù)：例6習題六第 5 頁一按一定的規(guī)律在括號中填上適當?shù)臄?shù)：（1）1，2，3，4，5，（ ），7（2）100，95，90，85，80，（ ），70（3）1，2，4，8，16，（ ），64（5）2，1，3，4，7，（ ），18，29，47（6）1，2，5，10，17，（ ），37，50（7）1，8，27，64，125，（ ），343（8）1，9，2，8，3，（ ），4，6，5，5二觀察下面各列數(shù)的變化規(guī)律，然后進行填空：（1）64，48，40，36，34，_；（2）4，7，9，11，14，15，19，_；（3）11，12，15，_，27，36；（4）15，20，12，25，9，30，_，35，3，_；（5）3，8，15，24，3