組合投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題

1、組合投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題摘要本文解決的是公司組合投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，旨在獲得最大收益。針對(duì)不同問(wèn)題分別建立了五個(gè)模型。針對(duì)問(wèn)題一：建立了單目標(biāo)最優(yōu)化模型。以第五年的利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，每年各項(xiàng)目的投資額不得超過(guò)其上限、每年年初的總投資額不得高于可用于投資的金額為約束條件，通過(guò)LINGO軟件求得第五年最大利潤(rùn)為17.41404億元。5年內(nèi)具體投資安排見表一，以第一年為例：投資項(xiàng)目為1、2、3、4、5、6，投資金額分別為5.154545億元、3億元、3.845455億元、3億元、3億元、2億元。針對(duì)問(wèn)題二：建立了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。首先對(duì)往年數(shù)據(jù)處理得到近20年8個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率。然后針對(duì)各項(xiàng)目獨(dú)立投資

2、及相互影響下的兩種情況，選取部分?jǐn)?shù)據(jù)建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，經(jīng)預(yù)測(cè)得到未來(lái)5年各項(xiàng)目的利潤(rùn)率，由風(fēng)險(xiǎn)損失率的定義得相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)損失率，具體結(jié)果見表二-表五。最后利用交叉檢驗(yàn)的思想驗(yàn)證了模型的可靠性。針對(duì)問(wèn)題三：建立了單目標(biāo)最優(yōu)化模型。在問(wèn)題一模型的基礎(chǔ)上，仍然以第五年的利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)項(xiàng)目1是否獲得捐贈(zèng)，項(xiàng)目5的固定可重復(fù)投資額，問(wèn)題二預(yù)測(cè)的利潤(rùn)率，增加相應(yīng)的約束條件。通過(guò)LINGO軟件求得第五年年末獲得的最大利潤(rùn)為42.29178億元。具體投資安排見表六。針對(duì)問(wèn)題四：建立了多目標(biāo)優(yōu)化模型。在問(wèn)題三模型的基礎(chǔ)上，以投資風(fēng)險(xiǎn)和第五年的利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)獨(dú)立投資和項(xiàng)目之間相互影響下的利潤(rùn)率和風(fēng)險(xiǎn)

3、率，增加約束條件，再利用加權(quán)賦值將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)最優(yōu)化模型，通過(guò)LINGO軟件求得第五年最大利潤(rùn)為46.11028億元。具體投資安排見表七。針對(duì)問(wèn)題五：建立了多目標(biāo)優(yōu)化模型。在問(wèn)題四模型的基礎(chǔ)上，以投資風(fēng)險(xiǎn)和第五年的利潤(rùn)減去貸款的利息為目標(biāo)函數(shù)，增加貸款投資相應(yīng)的約束條件，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，利用問(wèn)題四的解法得到第五年最大利潤(rùn)為48.7738億元。具體投資安排見表八。關(guān)鍵詞：?jiǎn)文繕?biāo)最優(yōu)化 多目標(biāo)優(yōu)化 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)1 問(wèn)題重述1.1 問(wèn)題背景隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來(lái)越多的人把目光轉(zhuǎn)移到投資上。為了獲得最大的利益，組合投資的風(fēng)險(xiǎn)與收益是投資者必須考慮的問(wèn)題。投資者在考慮投資項(xiàng)目的預(yù)期收益率的同

4、時(shí)，也要考慮投資項(xiàng)目存在的風(fēng)險(xiǎn)，如何使利潤(rùn)最大，風(fēng)險(xiǎn)最小是投資者首要考慮的問(wèn)題。1.2 題目信息某公司現(xiàn)有數(shù)額為20億的一筆資金可作為未來(lái)5年內(nèi)的投資資金，市場(chǎng)上有8個(gè)投資項(xiàng)目（如股票、債券、房地產(chǎn)）可供公司作投資選擇。其中項(xiàng)目1、項(xiàng)目2每年初投資，當(dāng)年年末回收本利（本金和利潤(rùn)）；項(xiàng)目3、項(xiàng)目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利；項(xiàng)目5、項(xiàng)目6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；項(xiàng)目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；項(xiàng)目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。1.3 待解問(wèn)題問(wèn)題一：試根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（附錄一中表1）確定5年內(nèi)如何安排投資？使得第五年末所得利潤(rùn)最大？問(wèn)題二：試根據(jù)

5、往年數(shù)據(jù)（見附錄一的表2、表3），預(yù)測(cè)今后五年各項(xiàng)目獨(dú)立投資及項(xiàng)目之間相互影響下的投資的到期利潤(rùn)率、風(fēng)險(xiǎn)損失率。問(wèn)題三：未來(lái)5年的投資計(jì)劃中，還包含一些其他情況。對(duì)投資項(xiàng)目1，公司管理層爭(zhēng)取到一筆資金捐贈(zèng)，若在項(xiàng)目1中投資超過(guò)20000萬(wàn)，則同時(shí)可獲得該筆投資金額的1%的捐贈(zèng)，用于當(dāng)年對(duì)各項(xiàng)目的投資。項(xiàng)目5的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資。各投資項(xiàng)目的投資上限見表4。在此情況下，根據(jù)問(wèn)題二預(yù)測(cè)結(jié)果，確定5年內(nèi)如何安排20億的投資？使得第五年末所得利潤(rùn)最大？問(wèn)題四：考慮到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金投資若干種項(xiàng)目時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。如果考慮

6、投資風(fēng)險(xiǎn)，問(wèn)題三的投資問(wèn)題又應(yīng)該如何決策？問(wèn)題五：為了降低投資風(fēng)險(xiǎn)，公司可拿一部分資金存銀行，為了獲得更高的收益，公司可在銀行貸款進(jìn)行投資，在此情況下，公司應(yīng)該如何對(duì)5年的投資進(jìn)行決策?2 模型假設(shè)假設(shè)一：無(wú)交易費(fèi)等其他費(fèi)用的開支；假設(shè)二：除本題所考慮的因素外，忽略其他因素的影響；假設(shè)三：假設(shè)未來(lái)五年市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)率不會(huì)發(fā)生急劇變化。3 符號(hào)說(shuō)明符號(hào)符號(hào)說(shuō)明項(xiàng)目編號(hào)（1，2，3，4，5，6，7，8）投資第年初(=1,2,3,4,5)第年對(duì)第個(gè)項(xiàng)目投資額，第個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率總利潤(rùn)第年年末時(shí)可流動(dòng)的資金獨(dú)立投資時(shí)，第年的項(xiàng)目的利潤(rùn)率第的投資金額獨(dú)立投資時(shí)第年對(duì)第個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率同時(shí)投資項(xiàng)目3、4或5、6時(shí)

7、的利潤(rùn)率同時(shí)投資項(xiàng)目5、6、8時(shí)的利潤(rùn)率獨(dú)立投資時(shí)第個(gè)項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)損失率同時(shí)投資項(xiàng)目3、4或5、6時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率同時(shí)投資項(xiàng)目5、6、8時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)損失率第年的存款金額第年的貸款金額4 數(shù)據(jù)分析用EXCEL對(duì)各項(xiàng)目獨(dú)立投資和部分項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)歷年的利潤(rùn)率變化作出折線圖如下：圖1：各個(gè)項(xiàng)目獨(dú)立投資時(shí)歷年的利潤(rùn)率分析上圖可知：項(xiàng)目7的波動(dòng)最大，其次是項(xiàng)目8，說(shuō)明利潤(rùn)高時(shí)風(fēng)險(xiǎn)也大。項(xiàng)目3、4利潤(rùn)率穩(wěn)定。圖2：部分項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)歷年的利潤(rùn)率分析上圖可知：項(xiàng)目3、4同時(shí)投資時(shí)利潤(rùn)率波動(dòng)較小，項(xiàng)目5、6、8同時(shí)投資時(shí)利潤(rùn)率波動(dòng)較大。注：本文表格中的數(shù)據(jù)均以萬(wàn)元為單位5 問(wèn)題分析此題研究的是組合投資

8、的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，要求在不同的情況下，考慮對(duì)未來(lái)5年的投資進(jìn)行決策。對(duì)本題的五個(gè)問(wèn)題進(jìn)行以下分析：5.1 問(wèn)題一的分析公司第一年可用于投資的金額為20億，第二年可用于投資的金額不超過(guò)第一年末的本利和與年初投資后剩余的金額之和，依此類推可得到第五年的投資與利潤(rùn)?？紤]以第五年的利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，每年每個(gè)項(xiàng)目的投資額不得超過(guò)其上限、每年年初的總投資額不得高于可用于投資的金額為約束條件，那么我們可以建立一個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化模型。5.2 問(wèn)題二的分析要根據(jù)往年數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)今后五年各項(xiàng)目獨(dú)立投資及項(xiàng)目之間相互影響下的投資的到期利潤(rùn)率、風(fēng)險(xiǎn)損失率。這是一個(gè)預(yù)測(cè)問(wèn)題，根據(jù)利潤(rùn)率=到期利潤(rùn)/投資額，計(jì)算近20年內(nèi)這8個(gè)

9、項(xiàng)目的利潤(rùn)率并繪制利潤(rùn)率變化圖，針對(duì)各項(xiàng)目獨(dú)立投資及相互影響下的兩種情況，可以考慮選取部分?jǐn)?shù)據(jù)建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，預(yù)測(cè)得到未來(lái)5年各項(xiàng)目的利潤(rùn)率，由風(fēng)險(xiǎn)損失率的定義得相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)損失率。最后可以利用交叉檢驗(yàn)的思想驗(yàn)證模型的可靠性。5.3 問(wèn)題三的分析該問(wèn)題與問(wèn)題一類似，都要求第五年利潤(rùn)最大，那么只需在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上考慮項(xiàng)目1獲得的捐贈(zèng)，項(xiàng)目5的固定可重復(fù)投資。所以可以考慮在問(wèn)題一基礎(chǔ)上增加上述約束條件，以第五年的利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)，建立單目標(biāo)最優(yōu)化模型，同時(shí)利用問(wèn)題二中預(yù)測(cè)的今后五年的到期利潤(rùn)率，確定五年內(nèi)投資的計(jì)劃以及第五年末獲得的最大利潤(rùn)。5.4問(wèn)題四的分析要使收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，

10、并且考慮獨(dú)立投資和項(xiàng)目之間相互影響下的利潤(rùn)率和風(fēng)險(xiǎn)率不同，這是一個(gè)多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題?？梢酝顿Y風(fēng)險(xiǎn)和第五年的利潤(rùn)為目標(biāo)函數(shù)建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，再利用加權(quán)賦值將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)最優(yōu)化模型，最后利用LINGO可以求得最佳投資方案。5.4問(wèn)題五的分析考慮銀行存款和貸款，我們認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)大時(shí)將錢存入銀行作為一種投資，風(fēng)險(xiǎn)小時(shí)可以向銀行貸款的錢進(jìn)行項(xiàng)目的投資以獲取最大利潤(rùn)。在問(wèn)題四的基礎(chǔ)上，以第五年的利潤(rùn)減去貸款的利息為目標(biāo)函數(shù)，增加貸款投資這一約束條件可以建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，再利用加權(quán)賦值將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)最優(yōu)化模型，最后利用LINGO可以求得最佳投資方案。6 問(wèn)題一的解答6.1模型的建立6.1.1 目

11、標(biāo)函數(shù)的確立由題意，第一年只能投資項(xiàng)目，而資金為20億，而投資金額可投資金額，故有：可流動(dòng)資金=本利回收+余額，因第一年末只有項(xiàng)目1和項(xiàng)目2能回收本利，故有：其中，第二年可以投資項(xiàng)目，而可投資金額為，因投資金額可投資金額，故：可流動(dòng)資金=本利回收+余額，因第二年末項(xiàng)目1、2可以回收本利，項(xiàng)目3、4在第一年的基礎(chǔ)上也能回收本利，故：第三年可以投資項(xiàng)目，且項(xiàng)目8必須在第三年投資；此時(shí)可投資金額為，故投資金額可投資金額，即：可流動(dòng)資金=本利回收+余額，項(xiàng)目1、2可回收本利，而第一年若投資了項(xiàng)目5、6則此時(shí)可回收本利，第二年若投資了項(xiàng)目3、4則此時(shí)可回收本利，故：第四年可投資項(xiàng)目；而可用于投資的金額為

12、，又投資金額可投資金額，故：可流動(dòng)資金=本利回收+余額，項(xiàng)目1、2可回收本利，若第二年投資了項(xiàng)目5、6，第三年投資了項(xiàng)目3、4，則此時(shí)均可回收本利，故：顯然出于利益，第五年只能投資項(xiàng)目1、2；因可用于投資的金額為，而投資金額可投資金額，故：可流動(dòng)資金=本利回收+余額，項(xiàng)目1、2可回收本利，若第三年投資了項(xiàng)目5、6，第四年投資了項(xiàng)目3、4，則此時(shí)均可回收本利，故：故總利潤(rùn)為第五年年末本息和減去成本，即目標(biāo)函數(shù)為： 6.1.2 約束條件的確立根據(jù)題目中項(xiàng)目1、2、3、4、5、6的投資可得出：項(xiàng)目7只能在第二年年初投資，第五年末回收本利，其投資上限為40000萬(wàn)元，因投資金額投資上限，故：項(xiàng)目8只能

13、在第三年年初投資，第五年末回收本利，其投資上限為30000萬(wàn)元，因投資金額投資上限，故：在確定目標(biāo)函數(shù)時(shí)，我們已經(jīng)寫出了對(duì)應(yīng)的約束條件，在此，將其統(tǒng)一得；6.1.3 綜上所述，最優(yōu)化模型為6.2模型的求解將數(shù)據(jù)導(dǎo)入LINGO軟件，編寫程序（具體程序見附錄二）計(jì)算，得出：總利潤(rùn)億元。具體投資安排如下表：表一：5年內(nèi)對(duì)各項(xiàng)目的投資情況 項(xiàng)目年份項(xiàng)目一項(xiàng)目二項(xiàng)目三項(xiàng)目四項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目七項(xiàng)目八第一年51545.453000038454.5530000300002000000第二年00003000020000400000第三年00061681.823000020000030000第四年03500040

14、000300000000第五年55218.59300000000006.3結(jié)果分析由上述結(jié)果可以看出第一年的投資額為20億元，可知在這種無(wú)特殊要求的情況下第一年盡可能將全部資金投到項(xiàng)目中去，并且由上述結(jié)果可以看出項(xiàng)目七、八的投資金額已經(jīng)達(dá)到了最大值，這與我們的預(yù)期猜想完全符合，最后得到的利潤(rùn)比較合理，故而我們可以認(rèn)為這一問(wèn)的模型達(dá)到了實(shí)際的要求。7 問(wèn)題二的解答根據(jù)往年數(shù)據(jù)（見附錄一的表2、表3），預(yù)測(cè)今后五年各項(xiàng)目獨(dú)立投資及項(xiàng)目之間相互影響下的投資的到期利潤(rùn)率、風(fēng)險(xiǎn)損失率，這屬于預(yù)測(cè)問(wèn)題。7.1模型的建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：由圖1和圖2可以看出大部分項(xiàng)目的數(shù)據(jù)由于受周期變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)的影響，

15、起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢(shì)，因此我們考慮采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型基本原理是：學(xué)習(xí)過(guò)程是由信號(hào)的正向傳播與誤差的逆向傳播兩個(gè)過(guò)程組成的。正向傳播時(shí)，模式作用于輸入層，經(jīng)隱層處理后，傳向輸出層。若輸出層未能得到期望的輸出，則轉(zhuǎn)入誤差的逆向傳播階段，將輸出誤差按某種子形式，通過(guò)隱層向輸入層逐層返回，并分?jǐn)偨o各層的所有單元，從而獲得各層單元的參考誤差或稱誤差信號(hào)，以作為修單元權(quán)值的依據(jù)。權(quán)值不斷修改的過(guò)程，也就是網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程。此過(guò)程一直到網(wǎng)絡(luò)輸出的誤差逐漸減小到可接受的程度或達(dá)到設(shè)定的學(xué)習(xí)次數(shù)為止。 圖3：神經(jīng)模擬圖階段一：（正向過(guò)程）輸入信息從輸入層經(jīng)隱層逐層計(jì)算各單元的輸出值：；

16、階段二：（反向傳播過(guò)程）輸出誤差逐層向前算出隱層各單元的誤差，并用此誤差修正前層的值。計(jì)算誤差：按照梯度方向計(jì)算各層權(quán)重的修正值：其中修正各層權(quán)重風(fēng)險(xiǎn)損失率：由于風(fēng)險(xiǎn)損失率是考慮投資時(shí)的獲利比較得到的一個(gè)參數(shù)，所以我們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)損失率做了如下定義。定義風(fēng)險(xiǎn)損失率：到期利潤(rùn)率的標(biāo)準(zhǔn)差由定義可以得到風(fēng)險(xiǎn)損失率其中表示各項(xiàng)目利潤(rùn)率的期望值。7.2模型的求解利用LINGO求解得到2006-2010年各項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率和風(fēng)險(xiǎn)損失率如下：表二：20062010年各項(xiàng)目獨(dú)立投資的到期利潤(rùn)率 項(xiàng)目年份項(xiàng)目一項(xiàng)目二項(xiàng)目三項(xiàng)目四項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目七項(xiàng)目八20060.14470.16980.28980.44120.737

17、31.43643.08442.381920070.14430.16750.28210.45170.71661.48583.13662.483520080.14380.16520.27430.47410.69601.53533.18872.585120090.14340.16290.26660.49060.67531.58483.24092.686820100.14300.16050.25890.50710.65461.63433.29312.7884表三：20062010年部分項(xiàng)目同時(shí)投資的到期利潤(rùn)率 項(xiàng)目年份項(xiàng)目三項(xiàng)目四項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目八20060.48950.46761.196

18、82.22292.06990.28080.046420070.48860.47401.23952.40762.23540.2306-0.097920080.48770.48051.28232.59232.40090.1804-0.242120090.48680.48701.32502.77702.56630.1302-0.386320100.48580.49341.36782.96172.73180.0800-0.5306表四：2006-2010年各項(xiàng)目獨(dú)立投資的風(fēng)險(xiǎn)損失率項(xiàng)目一項(xiàng)目二項(xiàng)目三項(xiàng)目四項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目七項(xiàng)目八0.00060.0033 0.01090.02420.0292 0.070

19、00.07380.1437表五：2006-2010年部分項(xiàng)目同時(shí)投資的風(fēng)險(xiǎn)損失率項(xiàng)目三項(xiàng)目四項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目八0.00130.00910.06050.26120.23400.07100.20407.3結(jié)果分析對(duì)模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行誤差分析，由圖4可知：當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí)，誤差逐漸減小，且逐漸靠近最優(yōu)解，由此說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果比較可靠。圖4：誤差分析圖8 問(wèn)題三的解答8.1 模型的建立8.1.1 目標(biāo)函數(shù)的確立因該公司若在項(xiàng)目1中投資超過(guò)20000萬(wàn)，則同時(shí)可獲得該筆投資金額的1%的捐贈(zèng)，用于當(dāng)年對(duì)各項(xiàng)目的投資，故我們以20000萬(wàn)為分界點(diǎn)對(duì)5年里項(xiàng)目1的投資進(jìn)行分類：可流動(dòng)資金=余額+本利回收

20、；第一年末只有項(xiàng)目1和項(xiàng)目2能回收本利，故：可流動(dòng)資金=余額+本利回收；第二年末項(xiàng)目1、2可以回收本利，項(xiàng)目3、4在第一年的基礎(chǔ)上也能回收本利，故：可流動(dòng)資金=本利回收+余額；項(xiàng)目1、2可回收本利，而第一年若投資了項(xiàng)目5、6則此時(shí)可回收本利，第二年若投資了項(xiàng)目3、4則此時(shí)可回收本利，故：可流動(dòng)資金=本利回收+余額；項(xiàng)目1、2可回收本利，若第二年投資了項(xiàng)目5、6，第三年投資了項(xiàng)目3、4，則此時(shí)均可回收本利，故：可流動(dòng)資金=本利回收+余額；項(xiàng)目1、2可回收本利，若第三年投資了項(xiàng)目5、6，第四年投資了項(xiàng)目3、4，則此時(shí)均可回收本利，故：故目標(biāo)函數(shù)為：8.1.2 約束條件的確立根據(jù)題目中項(xiàng)目1、2、3

21、、4、5、6的投資上限可得出：項(xiàng)目5的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資，故：項(xiàng)目7只能在第二年年初投資，第五年末回收本利，其投資上限為40000萬(wàn)元，因投資金額投資上限，故：項(xiàng)目8只能在第三年年初投資，第五年末回收本利，其投資上限為30000萬(wàn)元，因投資金額投資上限，故：若有相互影響投資項(xiàng)目，則各項(xiàng)目的投資利潤(rùn)率等于問(wèn)題二中的預(yù)測(cè)利潤(rùn)率，反之利潤(rùn)率則為獨(dú)立投資時(shí)的利潤(rùn)。由于項(xiàng)目在獨(dú)立投資和項(xiàng)目之間相互影響下的利潤(rùn)率不同，因此我們?cè)O(shè)各項(xiàng)目各時(shí)間段的投資利潤(rùn)率為，則不同情況下的利潤(rùn)率如下：8.1.3 綜上所述，最優(yōu)化模型為8.2 模型的求解根據(jù)問(wèn)題二的預(yù)測(cè)，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入LINGO軟件，編寫程序（具

22、體程序見附錄四）計(jì)算，得出總利潤(rùn)為億元,具體投資情況如下表：表六：5年內(nèi)對(duì)各項(xiàng)目的投資情況 項(xiàng)目年份項(xiàng)目一項(xiàng)目二項(xiàng)目三項(xiàng)目四項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目七項(xiàng)目八第一年35353.5460000350003000004000000第二年040657.1900040000300000第三年08627.7723500030000040000030000第四年042509.0835000300000000第五年60000600000000008.3 結(jié)果分析結(jié)合問(wèn)題二的到期利潤(rùn)率、各個(gè)項(xiàng)目的投資上限以及項(xiàng)目一的投資金額捐贈(zèng)，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述結(jié)果符合要求；由于第一年對(duì)項(xiàng)目一的投資超過(guò)了20000萬(wàn)元，得到了的投資

23、金額捐贈(zèng)，故第一年的投資金額超過(guò)了20億；由于項(xiàng)目3、4同時(shí)投資時(shí)的利潤(rùn)率明顯比其獨(dú)立投資時(shí)高，故選擇同時(shí)投資項(xiàng)目3、4；由于項(xiàng)目7、8的利潤(rùn)率比較高，故可以在不超過(guò)其上限的情況下盡可能投資。9 問(wèn)題四的解答9.1模型的建立在問(wèn)題三的基礎(chǔ)上，要考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，需在問(wèn)題三的約束條件里面增加該因素，并且由問(wèn)題三的單目標(biāo)最優(yōu)化模型變?yōu)槎嗄繕?biāo)最優(yōu)化模型。故我們以最小風(fēng)險(xiǎn)和最大收益為目標(biāo)函數(shù)建立多目標(biāo)最優(yōu)化模型。9.1.1 目標(biāo)函數(shù)的確立在問(wèn)題三的基礎(chǔ)上，最大利益的目標(biāo)函數(shù)沒(méi)變，總利潤(rùn)為第五年年末本息和減去成本，即目標(biāo)函數(shù)1為： 因投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，當(dāng)用這筆資金投資若干種項(xiàng)目時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資

24、的項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量，故第年的投資風(fēng)險(xiǎn)為：我們要使風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，故目標(biāo)函數(shù)2為：9.1.2 約束條件的確立根據(jù)題目中8個(gè)項(xiàng)目的投資上限可得出： 項(xiàng)目5的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資，故：不同情況下的利潤(rùn)率如下：假設(shè)未來(lái)五年市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)率不會(huì)發(fā)生變化，由于項(xiàng)目在獨(dú)立投資和項(xiàng)目之間相互影響下的風(fēng)險(xiǎn)率不同，因此我們?cè)O(shè)各項(xiàng)目各時(shí)間段的投資風(fēng)險(xiǎn)率為，則不同情況下的風(fēng)險(xiǎn)率如下：因該公司若在項(xiàng)目1中投資超過(guò)20000萬(wàn)，則同時(shí)可獲得該筆投資金額的1%的捐贈(zèng)，用于當(dāng)年對(duì)各項(xiàng)目的投資9.1.3 綜上所述，最優(yōu)化模型為9.2 模型的求解因多目標(biāo)函數(shù)在實(shí)際求解時(shí)有困難，故我們將其簡(jiǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)：投資者

25、在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合。因此對(duì)風(fēng)險(xiǎn)、收益分別賦予權(quán)重和稱為投資偏好系數(shù)。故，簡(jiǎn)化模型為：考慮投資風(fēng)險(xiǎn)后，我們基于問(wèn)題三的基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入LINGO軟件，編寫程序（具體程序見附錄五），得出結(jié)果為：總利潤(rùn)為億元,具體投資情況如下表：表七：5年內(nèi)對(duì)各項(xiàng)目的投資情況 項(xiàng)目年份項(xiàng)目一項(xiàng)目二項(xiàng)目三項(xiàng)目四項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目七項(xiàng)目八第一年35353.5460000350003000004000000第二年033267.2407389.954040000300000第三年003500030000040000030000第四年04318435000300000000第五

26、年60000600000000009.3 結(jié)果分析因項(xiàng)目3、4不但單獨(dú)投資時(shí)風(fēng)險(xiǎn)小并且同時(shí)投資風(fēng)險(xiǎn)也較小，故在問(wèn)題三的基礎(chǔ)上，我們加大了對(duì)這兩個(gè)項(xiàng)目的投資，其他投資情況沒(méi)有很大的變動(dòng)?？傊?，結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)和利潤(rùn)，我們的結(jié)果符合要求。10 問(wèn)題五的解答10.1模型的建立10.1.1 目標(biāo)函數(shù)的確立在問(wèn)題四的基礎(chǔ)上，總利潤(rùn)為第五年年末本息和減去成本與貸款利息，即目標(biāo)函數(shù)1為： 因投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，當(dāng)用這筆資金投資若干種項(xiàng)目時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量，故第年的投資風(fēng)險(xiǎn)為：我們要使風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，故目標(biāo)函數(shù)2為：10.1.2約束條件的確立根據(jù)題目中8個(gè)項(xiàng)目的投資上限約束與項(xiàng)目5

27、的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資的約束。不同情況下的利潤(rùn)率如下：假設(shè)未來(lái)五年市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)率不會(huì)發(fā)生變化，由于項(xiàng)目在獨(dú)立投資和項(xiàng)目之間相互影響下的風(fēng)險(xiǎn)率不同，因此我們?cè)O(shè)各項(xiàng)目各時(shí)間段的投資風(fēng)險(xiǎn)率為，則不同情況下的風(fēng)險(xiǎn)率如下：因該公司若在項(xiàng)目1中投資超過(guò)20000萬(wàn)，則同時(shí)可獲得該筆投資金額的1%的捐贈(zèng)，用于當(dāng)年對(duì)各項(xiàng)目的投資：由于貸款、存款不能同時(shí)進(jìn)行，故：10.1.3綜上所述，最優(yōu)化模型為10.2 模型的求解因多目標(biāo)函數(shù)在實(shí)際求解時(shí)有困難，故我們將其簡(jiǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)。投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合。因此對(duì)風(fēng)險(xiǎn)、收益分別賦予權(quán)重和稱為投資偏好系數(shù)。故簡(jiǎn)

28、化模型為：考慮投資風(fēng)險(xiǎn)與貸款利息后，我們基于問(wèn)題四的基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入LINGO軟件，編寫程序，得出結(jié)果為：總利潤(rùn)為億元,其投資情況具體如下表：表八：5年內(nèi)對(duì)各項(xiàng)目的投資情況 項(xiàng)目年份項(xiàng)目一項(xiàng)目二項(xiàng)目三項(xiàng)目四項(xiàng)目五項(xiàng)目六項(xiàng)目七項(xiàng)目八第一年6000060000350003000004000000第二年5269.87460000030000040000300000第三年037240.823500030000040000030000第四年600006000035000300000000第五年600006000000000010.3 結(jié)果分析由上表可以看出：在考慮風(fēng)險(xiǎn)和貸款利息后，相比于問(wèn)題四的結(jié)果，

29、項(xiàng)目1、2的投資力度加大了；由于項(xiàng)目4、6、7、8的利潤(rùn)較高，故在不超過(guò)上限的條件下可盡量投資，而上表顯示均以上限投資，符合實(shí)際，故該模型具有合理性和可行性。11模型的評(píng)價(jià)11.1 模型的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)一：針對(duì)不同的情況，分別建立了不同的數(shù)學(xué)模型，給出了合理的答案，較好的解決了問(wèn)題。優(yōu)點(diǎn)二：采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，具有很強(qiáng)的非線性擬合能力，可以映射任意復(fù)雜的非線性關(guān)系，而且學(xué)習(xí)規(guī)則簡(jiǎn)單，便于計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)。優(yōu)點(diǎn)三：在處理項(xiàng)目之間的相互影響時(shí)，同時(shí)考慮了獨(dú)立投資和組合投資，使得投資方案到達(dá)最優(yōu)化。11.2 模型的缺點(diǎn)缺點(diǎn)一：?jiǎn)栴}二中，由于所給數(shù)據(jù)較少，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)得到的結(jié)果每次都變化較大，帶有一定的經(jīng)驗(yàn)

30、性，導(dǎo)致預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)存在誤差。缺點(diǎn)二：在建模過(guò)程中，沒(méi)有考慮市場(chǎng)和人為的因素，對(duì)結(jié)果有一定的影響。12模型的改進(jìn)可以搜集更多相關(guān)數(shù)據(jù)，如了解該公司的規(guī)模大小、國(guó)家對(duì)各個(gè)項(xiàng)目支持程度以及增加相應(yīng)項(xiàng)目投資時(shí)公司的財(cái)政支出情況等等，考慮其他因素對(duì)利潤(rùn)率的影響，可以使模型的實(shí)用性更強(qiáng)。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的結(jié)果準(zhǔn)確率可能不是很理想，可以嘗試?yán)脮r(shí)間序列模型，找到更準(zhǔn)確的結(jié)果。對(duì)模型的結(jié)果可以考慮進(jìn)行靈敏度分析，以檢驗(yàn)結(jié)果的可信度。13 模型的推廣本文所建立的優(yōu)化模型不僅可以應(yīng)用于公司投資問(wèn)題還可以應(yīng)用于其他資源的投資，如某個(gè)城市GDP的最優(yōu)規(guī)劃，公司對(duì)各個(gè)市場(chǎng)份額占有的規(guī)劃。同時(shí)也可以利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)多年

31、的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)短期內(nèi)各項(xiàng)目的情況。參考文獻(xiàn)1 宋來(lái)忠 王志明 主編數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn) ，科學(xué)出版社 20052 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的百度鏈接為：附錄附錄一：表1.  投資項(xiàng)目預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率及投資上限項(xiàng)目12345678預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率0.10.110.250.270.450.50.80.55上限（萬(wàn)元）6000030000400003000030000200004000030000注：到期利潤(rùn)率是指對(duì)某項(xiàng)目的一次投資中，到期回收利潤(rùn)與本金的比值。表2. 各投資項(xiàng)目獨(dú)立投資時(shí)歷年的投資額及到期利潤(rùn)（萬(wàn)元）項(xiàng)目123456781990投資額3003574143075755435230156977

32、4993到期利潤(rùn)4791261338910-795555862259189871991投資額72326886507079297480546330414830到期利潤(rùn)1211164221015395044-1158638693981992投資額33455659666575135978455850554501到期利潤(rùn)50762925401233-3608-611236832103551993投資額53086272633367494034739264424092到期利潤(rùn)78760283616168081494616834-72661994投資額4597529451485384622060686095

33、5270到期利潤(rùn)71136527651099223008319-19618-26971995投資額43785095597372946916627677636335到期利潤(rùn)756621254915595130-90282223027331996投資額64867821444955865812657762765848到期利潤(rùn)8469351078100693581318-59901247091997投資額69743393426854145589447268633570到期利潤(rùn)1489593195517409207423738552145111998投資額411646185474647350736345

34、68663044到期利潤(rùn)353749204115487044-2291-3969145701999投資額74035033685967075377478352026355到期利潤(rùn)1117911139211687488146470314192452000投資額42374996560355975231418168305018到期利潤(rùn)5719643077188172095721-2156850752001投資額30515707487738447434422253705960到期利潤(rùn)449868113811315196317399069148642002投資額7574505254603681793677

35、4563913861到期利潤(rùn)139695813721221584910740-27334-46262003投資額35105870569757013898721651354218到期利潤(rùn)364108914561757-62910770-24878-57862004投資額68797396551656237471550131744210到期利潤(rùn)994155828641461776971518981218332005投資額35114780625569256598604348627988到期利潤(rùn)63811753230222380207916-46712213572006投資額36607741431543

36、797120613136615393到期利潤(rùn)5381527115514944616641164239-115382007投資額448647563871552958075576 3029到期利潤(rùn)4668621022204653956178 118192008投資額7280731264717760    到期利潤(rùn)1389131920603227    2009投資額30825083      到期利潤(rùn)403787  &#

37、160;    表3. 一些投資項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)歷年的投資額及到期利潤(rùn)（萬(wàn)元）項(xiàng)目同時(shí)投資項(xiàng)目1、2同時(shí)投資項(xiàng)目5、6同時(shí)投資項(xiàng)目5、6、834565681990投資額4307575543523015435230154993到期利潤(rùn)102626861442263466782542-31451991投資額5070792974805463748054634830到期利潤(rùn)2188355830092935-386115120132701992投資額6665751359784558597845584501到期利潤(rùn)327232224431440047941884-33

38、561993投資額6333674940347392403473924092到期利潤(rùn)20502778344447330021549108201994投資額5148538462206068622060685270到期利6448-852-4651-15931995投資額5973729469166276691662766335到期利潤(rùn)2733354210300921720610559572831996投資額4449558658126577581265775848到期利潤(rùn)3005244831810874750-179140001997投資額4268541455894472558

39、944723570到期利潤(rùn)201526095168-29303170-235144601998投資額5474647350736345507363453044到期利潤(rùn)17822969-981241373041909070651999投資額6859670753774783537747836355到期利潤(rùn)3701263666955237952029105102000投資額5603559752314181523141815018到期利潤(rùn)35811809952844-26716334129702001投資額4877384474344222743442225960到期利潤(rùn)15101724-1248984-

40、42993307101702002投資額5460368179367745793677453861到期利潤(rùn)399614507717280380626753100502003投資額5697570138987216389872164218到期利潤(rùn)320424887598-4722-96814900-22942004投資額5516562374715501747155014210到期利潤(rùn)145421997518932165802131100602005投資額6255692565986043659860437988到期利潤(rùn)325826468671-655111460-4521-80392006投資額431

41、5437971206131712061315393到期利潤(rùn)266119842029203004379103544562007投資額3871552958075576580755763029到期利潤(rùn)180024437424863912680511221542008投資額64717760     到期利潤(rùn)30473682     2009投資額       到期利潤(rùn)     

42、0; 表4.  各投資項(xiàng)目的投資上限項(xiàng)目12345678上限（萬(wàn)元）6000060000350003000030000400003000030000附錄二：?jiǎn)栴}一的LINGO程序?yàn)椋篞1=20*108-(x11+x12+x13+x14+x15+x16)+x11*(1+0.1)+x12*(1+0.11);x11+x12+x13+x14+x15+x16<=20*108;x11<=6*108;x12<=3*108;x13<=4*108;x14<=3*108;x15<=3*108;x16<=2*108;Q2=Q1-(x21+x22+x23+

43、x24+x25+x26+x27)+x13*(1+0.25)+x14*(1+0.27)+x21*(1+0.1)+x22*(1+0.11);x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27<=Q1;x21<=6*108;x22<=3*108;x23<=4*108;x24<=3*108;x25<=3*108;x26<=2*108;x27<=4*108;Q3=Q2-(x31+x32+x33+x34+x35+x36+x38)+x31*(1+0.1)+x32*(1+0.11)+x15*(1+0.45)+x16*(1+0.5)+x23*(1+0.25)+

44、x24*(1+0.27);x31+x32+x33+x34+x35+x36+x38<=Q2;x31<=6*108;x32<=3*108;x33<=4*108;x34<=3*108;x35<=3*108;x36<=2*108;x38<=3*108;Q4=Q3-(x41+x42+x43+x44)+x41*(1+0.1)+x42*(1+0.11)+x25*(1+0.45)+x26*(1+0.5)+x33*(1+0.25)+x34*(1+0.27);x41+x42+x43+x44<=Q3;x41<=6*108;x42<=3*108;x43

45、<=4*108;x44<=3*108;Q5=Q4-(x51+x52)+x51*(1+0.1)+x52*(1+0.11)+x27*(1+0.8)+x35*(1+0.45)+x36*(1+0.5)+x38*(1+0.55)+x43*(1+0.25)+x44*(1+0.27);x51+x52<=Q4;x51<=6*108; x52<=3*108;max=Q5-20*108;附錄三：?jiǎn)栴}二的第一問(wèn)的MATLAB程序：clear;clca=importdata('touzi.txt');b=importdata('lirun.txt');fo

46、r k=1:2c1=b(:,k)./a(:,k);%利潤(rùn)率c2=cumsum(c1);%累加求和c2=c2'for j=1:19 B(j,1)=(-1/2)*(c2(j)+c2(j+1);endB(:,2)=1;c1(1)=;%沒(méi)有第一項(xiàng)的利潤(rùn)率U=inv(B'*B)*B'*c1;y=(x)(c2(1)-U(2)/U(1)*exp(-U(1)*(x-1)+U(2)/U(1);y=feval(y,2:25);%新的累加和t(1)=c2(1);t(2)=y(1)-t(1);for i=3:25 t(i)=y(i-1)-y(i-2);endw(1:5,k)=t(21:25)&

47、#39;m=b(:,k)./a(:,k);%利潤(rùn)率m=m't=t(1:20);s=m-t;%殘差h=s/m;w(6,k)=h;endwclear;a=importdata('touzi.txt');b=importdata('lirun.txt');for k=3:4c1=b(1:19,k)./a(1:19,k);%利潤(rùn)率c2=cumsum(c1);%累加求和c2=c2'for j=1:18 B(j,1)=(-1/2)*(c2(j)+c2(j+1);endB(:,2)=1;c1(1)=;%沒(méi)有第一項(xiàng)的利潤(rùn)率U=inv(B'*B)*B

48、9;*c1;y=(x)(c2(1)-U(2)/U(1)*exp(-U(1)*(x-1)+U(2)/U(1);y=feval(y,2:25);%新的累加和t(1)=c2(1);t(2)=y(1)-t(1);for i=3:25 t(i)=y(i-1)-y(i-2);endw(1:5,k-2)=t(21:25)'m=b(1:19,k)./a(1:19,k);%利潤(rùn)率m=m't=t(1:19);s=m-t;%殘差h=s/m;w(6,k-2)=h;endwclear;a=importdata('touzi.txt');b=importdata('lirun.tx

49、t');for k=5:6c1=b(1:18,k)./a(1:18,k); c2=cumsum(c1); c2=c2'for j=1:17 B(j,1)=(-1/2)*(c2(j)+c2(j+1);endB(:,2)=1;c1(1)=; U=inv(B'*B)*B'*c1;y=(x)(c2(1)-U(2)/U(1)*exp(-U(1)*(x-1)+U(2)/U(1);y=feval(y,2:25); t(1)=c2(1);t(2)=y(1)-t(1);for i=3:25 t(i)=y(i-1)-y(i-2);endw(1:5,k-4)=t(21:25)'m=b(1:18,k)./a(1:18,k); m=m't=t(1:18);s=m-t;h=s/m;w(6,k-4)=h;endwclear;a=importdata('touzi.txt');b=importdata('lirun.txt');for k=7c1=b(1:17,k)./a(1:17,k);c2=cumsum(c1);c2=c2'for j=1:16 B(j,1)=(-1/2)*(c2