第二章第五節(jié) 曲線與曲面

1、5.1 曲線曲線第五節(jié)第五節(jié) 曲線和曲面曲線和曲面一、曲線的形成一、曲線的形成曲線可以看做是點(diǎn)運(yùn)動的軌跡。曲線可以看做是點(diǎn)運(yùn)動的軌跡。平面曲線：平面曲線：點(diǎn)在一個平面內(nèi)運(yùn)動所形成的曲線點(diǎn)在一個平面內(nèi)運(yùn)動所形成的曲線叫做平面曲線，如圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫做平面曲線，如圓、橢圓、雙曲線和拋物線等；等；空間曲線：空間曲線：點(diǎn)不在一個平面內(nèi)運(yùn)動所形成的曲點(diǎn)不在一個平面內(nèi)運(yùn)動所形成的曲線叫做空間曲線，如圓柱螺旋線。線叫做空間曲線，如圓柱螺旋線。二、曲線的投影二、曲線的投影1.平面曲線的投影平面曲線的投影 與平面曲線與平面曲線對投影面的相對位置有關(guān)對投影面的相對位置有關(guān)。 圖示中平面內(nèi)的的一個圓，由于

2、它所在的平圖示中平面內(nèi)的的一個圓，由于它所在的平面與投影面的位置不同，其投影也不同。面與投影面的位置不同，其投影也不同。（1） 圓所在的平面平行于投影面，則圓的投影圓所在的平面平行于投影面，則圓的投影反映實(shí)形反映實(shí)形（成為同樣大小的圓）。（成為同樣大小的圓）。（2） 圓所在的平面傾斜于投影面，則圓的投影圓所在的平面傾斜于投影面，則圓的投影不反映實(shí)形不反映實(shí)形（變?yōu)闄E圓）。（變?yōu)闄E圓）。（3） 圓所在的平面垂直于投影面，則圓的投影圓所在的平面垂直于投影面，則圓的投影積聚成一直線積聚成一直線（其長度等于直徑）。（其長度等于直徑）。二、曲線的投影二、曲線的投影 例題例題 ：求作一個位于正垂面：求作一

3、個位于正垂面P P上的圓周的投影，已知上的圓周的投影，已知圓心圓心O O的投影及直徑的投影及直徑D D的長度。的長度。分析：分析：所給平面所給平面P P垂直于垂直于V V面面，對對H H面傾斜成面傾斜成角，所角，所以以P P面內(nèi)的圓，在面內(nèi)的圓，在V V面上面上的投影積聚成一直線并的投影積聚成一直線并重合在重合在PvPv上，長度等于上，長度等于D D；在；在H H面上投影變形成面上投影變形成為橢圓為橢圓。此橢圓的長軸。此橢圓的長軸是圓內(nèi)一條垂直于是圓內(nèi)一條垂直于V V面面的直徑的投影，長度等的直徑的投影，長度等于直徑于直徑D D；短軸；短軸是該平是該平面內(nèi)的最大斜度線面內(nèi)的最大斜度線PVoab

4、dcca(o、b)d作圖步驟作圖步驟1.1.過過oo在在PvPv上截取上截取ococ=od=D/2=od=D/2，得，得cdcd，即為所作圓周的正面投影即為所作圓周的正面投影2.2.再過再過o o作作鉛垂線鉛垂線，并截取，并截取oa=ob=D/2oa=ob=D/2，得長軸得長軸abab；3.3.過過o o作水平線與過作水平線與過cc和和dd向下引向下引的鉛垂聯(lián)系線相交，得短軸的鉛垂聯(lián)系線相交，得短軸cdcd；4.4.最后用最后用“四四心圓心圓法法”作橢圓，作橢圓，即為所求圓周的水平投影即為所求圓周的水平投影D/2D/22.空間曲線的投影空間曲線的投影 在任何情況下都不會有直線，而在任何情況下都

5、不會有直線，而是曲線是曲線，不能反映實(shí)際形狀。不能反映實(shí)際形狀。H HA AB Ba12345b二、曲線的投影二、曲線的投影 無論平面曲線或空間曲線，若直線和曲線無論平面曲線或空間曲線，若直線和曲線相切，則此直線的投影仍舊與該曲線的同面投相切，則此直線的投影仍舊與該曲線的同面投影相切。影相切。二、曲線的投影二、曲線的投影 繪制曲線的投影，一般是先畫出曲線上一繪制曲線的投影，一般是先畫出曲線上一系列點(diǎn)的投影，特別是首先畫出控制曲線形狀系列點(diǎn)的投影，特別是首先畫出控制曲線形狀和范圍的特殊點(diǎn)的投影，然后把這些點(diǎn)的投影和范圍的特殊點(diǎn)的投影，然后把這些點(diǎn)的投影光滑連接起來。光滑連接起來。二、曲線的投影二

6、、曲線的投影5.2 曲曲 面面第五節(jié)第五節(jié) 曲線和曲面曲線和曲面1 1、曲面、曲面的形成的形成母線母線導(dǎo)線導(dǎo)線導(dǎo)線導(dǎo)線素線素線定點(diǎn)定點(diǎn)形成曲面的動線（直線或曲線）稱為形成曲面的動線（直線或曲線）稱為。直線或曲線連續(xù)運(yùn)動形成曲面直線或曲線連續(xù)運(yùn)動形成曲面母線在曲面上的每一個位置稱為母線在曲面上的每一個位置稱為母線母線柱面柱面錐面錐面控制母線運(yùn)動規(guī)律的線、面，稱為控制母線運(yùn)動規(guī)律的線、面，稱為、直線直線L沿著曲線沿著曲線M移動，移動過程中直線移動，移動過程中直線L始終平行于始終平行于Y軸。軸。其中運(yùn)動的直線其中運(yùn)動的直線L即是母線，母線在移動過程中的任意稱為素線。即是母線，母線在移動過程中的任意稱

7、為素線。圖中曲線圖中曲線M即是導(dǎo)線。即是導(dǎo)線。 2 2、曲面、曲面的分類的分類直線面直線面曲線面曲線面由直線運(yùn)動由直線運(yùn)動而成而成的曲面，的曲面，如柱面、錐面等。如柱面、錐面等。由曲線運(yùn)動由曲線運(yùn)動而成而成的曲面，的曲面，如球面、圓弧旋轉(zhuǎn)面等。如球面、圓弧旋轉(zhuǎn)面等。圓柱面圓柱面直母線直母線繞與繞與之之平行的平行的導(dǎo)線旋導(dǎo)線旋轉(zhuǎn)而成轉(zhuǎn)而成圓錐面圓錐面直母線繞與之相交直母線繞與之相交的直導(dǎo)線旋轉(zhuǎn)而成的直導(dǎo)線旋轉(zhuǎn)而成交點(diǎn)即為定點(diǎn)交點(diǎn)即為定點(diǎn)圓柱面、圓錐面均為直線面圓柱面、圓錐面均為直線面S母線繞一定軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動所母線繞一定軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動所形成的形成的曲面曲面叫做。叫做。固定的直線叫做回轉(zhuǎn)軸。固定的直線

8、叫做回轉(zhuǎn)軸。母線和軸是確定回轉(zhuǎn)面的要素。母線和軸是確定回轉(zhuǎn)面的要素。一、曲面的形成和表示法一、曲面的形成和表示法回轉(zhuǎn)曲面回轉(zhuǎn)曲面母線按一定規(guī)律運(yùn)動，但并非回轉(zhuǎn)母線按一定規(guī)律運(yùn)動，但并非回轉(zhuǎn)非回轉(zhuǎn)曲面非回轉(zhuǎn)曲面回轉(zhuǎn)曲面回轉(zhuǎn)曲面5.3 回轉(zhuǎn)曲面的投影回轉(zhuǎn)曲面的投影第五節(jié)第五節(jié) 曲線和曲面曲線和曲面XZY圓柱的三面投影圖HVWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”1 1、圓柱的投影、圓柱的投影 圓柱表面由圓柱表面由圓柱面圓柱面和和頂面、底面頂面、底面所組成。圓柱面是所組成。圓柱面是由一直母線繞與之平行的軸線回轉(zhuǎn)而成。由一直母線繞與之平行的軸線回轉(zhuǎn)而成。 如圖所示，圓柱的如

9、圖所示，圓柱的軸線垂直于軸線垂直于H H面，其上面，其上下底圓為下底圓為水平面水平面，水，水平投影反映實(shí)形，其平投影反映實(shí)形，其正面和側(cè)面投影重合正面和側(cè)面投影重合為一直線。而圓柱面為一直線。而圓柱面則用曲面投影的則用曲面投影的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向輪廓線輪廓線表示。表示。 一個投影為圓，其余二投影一個投影為圓，其余二投影均為矩形。規(guī)定：回轉(zhuǎn)體對均為矩形。規(guī)定：回轉(zhuǎn)體對某投影面的某投影面的轉(zhuǎn)向輪廓線轉(zhuǎn)向輪廓線，只，只能在該投影面上畫出，而在能在該投影面上畫出，而在其它投影面上則不再畫出。其它投影面上則不再畫出。XZYHWaabcdcdacdbAACDBCd”c”d”c”a”b”a”b”Vabaabba”(b

10、”)a”(b”)c(d)c(d)cdddcc圓柱的投影圓柱投影圖的繪制：圓柱投影圖的繪制： （1） 先繪出圓柱的對稱線、回轉(zhuǎn)軸線。（2）繪出圓柱的頂面和底面。（3）畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。正面轉(zhuǎn)向輪廓線側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線在圓柱表面上取點(diǎn)在圓柱表面上取點(diǎn)已知已知圓柱表面上的圓柱表面上的點(diǎn)點(diǎn)A,B,MA,B,M及及N N的正面投影的正面投影a a、 b b、mm和和nn，求它們的其余兩投影。，求它們的其余兩投影。2 2、圓柱表面上取點(diǎn)、圓柱表面上取點(diǎn) a a” a b (b”) bXZY圖3-11 圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)1 1、 圓錐的投影

11、圓錐的投影 圓錐表面由圓錐表面由圓錐面圓錐面和和底圓底圓組成。它是一母線繞與它相交組成。它是一母線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。的軸線回轉(zhuǎn)而成。 如圖所示，圓錐軸如圖所示，圓錐軸線垂直線垂直H H面，面，底面底面為水平為水平面，它的水平投影反映面，它的水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影實(shí)形，正面和側(cè)面投影重影為一直線。重影為一直線。 對于對于圓錐面圓錐面，要，要分別畫出正面和側(cè)分別畫出正面和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線面轉(zhuǎn)向輪廓線正面轉(zhuǎn)向輪廓線側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線圓錐投影圖的繪制圓錐投影圖的繪制：sabsabcdc”d”c(d)s”a(b) （1） 先繪出圓錐的對稱線、回轉(zhuǎn)軸線。（2）在水平投影面上繪出圓錐底圓，正面投

12、影和側(cè)面投影積聚為直線。 (3) 作出錐頂?shù)恼嫱队昂蛡?cè)面投影并畫出正面轉(zhuǎn)向輪廓線和側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。圓錐的投影XZYHVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)在在圓錐表面上求點(diǎn)，有兩種方法：一種是素線法，一圓錐表面上求點(diǎn)，有兩種方法：一種是素線法，一種是輔助圓法。種是輔助圓法。方法一：素線法方法一：素線法 過過M M點(diǎn)及錐頂點(diǎn)及錐頂S S作作一條素線一條素線S,S,先求先求出素線出素線SS的投影的投影, ,再求出素線上的再求出素線上的M M點(diǎn)。點(diǎn)。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)mmm”M 已知圓錐表面的點(diǎn)M的正面投影m,求出M點(diǎn)的其

13、它投影。 過ms作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1。111”mm”a(b)圖3-14 圓錐的投影及表面上的點(diǎn)ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素線的水平投影s1及側(cè)面投影s”1”。 求出M點(diǎn)的水平投影和側(cè)面投影。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS 過過M M點(diǎn)作一平行與底點(diǎn)作一平行與底面的水平輔助圓，該圓面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過的正面投影為過m m且且平平行于行于a a b b 的的直線直線2 2 3 3 ，它們的水平投影為一直它們的水平投影為一直徑等于徑等于2 2 3 3 的的圓，圓，m m在在圓周上，由此求出圓周上，由此求出m

14、 m及及m m。mMmm”m圓錐的投影及表面上的點(diǎn)sss”aabbc”d”mm” 以s為中心，以sm為半徑畫圓， 已知圓錐面上M點(diǎn)的水平投影m，求出其m和m”。 作出輔助圓的正面投影23。2323 求出m及m”的投影。m mm mm mn nn n( () )n n( () ) 已知圓錐表面上點(diǎn)已知圓錐表面上點(diǎn)M M及及N N的正面投影的正面投影mm和和nn，求它們的其余兩投影。，求它們的其余兩投影。 e e (e)sababff球球的表面是球面。球的表面是球面。球面是一條園母線繞過面是一條園母線繞過圓心且在同一平面上圓心且在同一平面上的軸線回轉(zhuǎn)而形成的。的軸線回轉(zhuǎn)而形成的。1、 圓球的形成圓

15、球的形成 球的三個投影均球的三個投影均為圓，其直徑與球直為圓，其直徑與球直徑相等，但三個投影徑相等，但三個投影面上的圓是不同的轉(zhuǎn)面上的圓是不同的轉(zhuǎn)向輪廓線。向輪廓線。2 2、球的投影、球的投影 已知M點(diǎn)的水平投影，求出其它兩個投影。121mm” 過m作平行于V面的正平圓12。 求正平圓的正面投影。 在輔助正平圓上求出m和m”。oo”o球的投影及表面上的點(diǎn)mR3 3、球面上取點(diǎn)、球面上取點(diǎn)nnn5.4 幾種常用的非回轉(zhuǎn)曲面幾種常用的非回轉(zhuǎn)曲面第五節(jié)第五節(jié) 曲線和曲面曲線和曲面1柱面柱面：直直母母線沿曲線沿曲導(dǎo)導(dǎo)線線移動移動，并始終平行于另并始終平行于另一一導(dǎo)線時，導(dǎo)線時，所形成的曲面叫所形成的曲

16、面叫做做柱面。柱面。 圖示柱面的導(dǎo)線是一個水平圓。母線的方向平行于圖中給出的正平線L的方向，柱面的各素線是互相平行的。由于母線為定長，所以此柱面的上底也是一個水平圓。 柱面在建筑工程中，有著廣泛的應(yīng)用。下圖表示了柱面在建筑工程中，有著廣泛的應(yīng)用。下圖表示了一個用柱面構(gòu)成的完體建筑。一個用柱面構(gòu)成的完體建筑。錐面錐面。一直線沿著一曲線。一直線沿著一曲線活動，活動， 并始終通過一固并始終通過一固定的點(diǎn)，定的點(diǎn)， 所形成的曲面所形成的曲面叫做錐面。叫做錐面。 圖示錐面的導(dǎo)線是一個水平圓。錐頂就是那個固定的點(diǎn)，可見錐面各素線是相交于一點(diǎn)的。如果把錐頂移到無阻遠(yuǎn)處，則錐面就轉(zhuǎn)化成柱面；可見柱面是錐面的特

17、殊情況。 錐面在建筑工程中，錐面在建筑工程中，也有著廣泛的應(yīng)用。右圖也有著廣泛的應(yīng)用。右圖表示了一個用錐面構(gòu)成的表示了一個用錐面構(gòu)成的完體建筑。完體建筑。 一直一直母線母線沿著沿著兩兩條條交叉直導(dǎo)線移動，交叉直導(dǎo)線移動，并并始終平行始終平行于于導(dǎo)平面時導(dǎo)平面時，形成，形成的曲面稱為的曲面稱為雙雙曲拋物曲拋物。 以交錯二直線以交錯二直線AB和和CD為導(dǎo)為導(dǎo)線，以線，以AD直線直線(或或BC直線直線)為母為母線，線， 平面平面P為導(dǎo)面為導(dǎo)面(ADP)，即可形成雙曲拋物面。雙曲拋即可形成雙曲拋物面。雙曲拋物面也象單葉回轉(zhuǎn)雙曲面那樣，物面也象單葉回轉(zhuǎn)雙曲面那樣，有兩族素線，而且第一族的每有兩族素線，而

18、且第一族的每條素線必同第二族的所有素線條素線必同第二族的所有素線相交，而同一族的任何兩條素相交，而同一族的任何兩條素線必定交錯。線必定交錯。畫法：畫法：（1）首先畫出母線、導(dǎo)線和導(dǎo)面的投影首先畫出母線、導(dǎo)線和導(dǎo)面的投影；（2）畫出曲面曲正面畫出曲面曲正面投影投影和側(cè)面和側(cè)面投影投影的輪廓線的輪廓線；PHQHdcabm) ( db a cm)( cadbm一直一直母母線沿著線沿著不在同一不在同一平面上的直導(dǎo)線和一條平面上的直導(dǎo)線和一條曲導(dǎo)線移動，曲導(dǎo)線移動，并并始終平始終平行于行于一一導(dǎo)導(dǎo)平面，形成平面，形成的曲面叫做錐狀面。的曲面叫做錐狀面。 圖示的圖示的錐錐狀面，直導(dǎo)線狀面，直導(dǎo)線AB垂直于

19、正立面，曲導(dǎo)線垂直于正立面，曲導(dǎo)線為為一個一個水平圓，而導(dǎo)平面為正平面。水平圓，而導(dǎo)平面為正平面。表現(xiàn)在投影圖上，表現(xiàn)在投影圖上， 所有素線的所有素線的水平投影均平行于水平投影均平行于OX軸，軸， 而而正面投影集中于一點(diǎn)正面投影集中于一點(diǎn)a(b)。直導(dǎo)線直導(dǎo)線曲導(dǎo)線曲導(dǎo)線母線母線 下圖下圖是錐狀面作為廠房屋頂?shù)囊粋€實(shí)例。屋面上的是錐狀面作為廠房屋頂?shù)囊粋€實(shí)例。屋面上的素線都平行于山墻。素線都平行于山墻。一直導(dǎo)線沿著不在同一一直導(dǎo)線沿著不在同一平面上的兩條曲導(dǎo)線移平面上的兩條曲導(dǎo)線移動，并始終平行于一導(dǎo)動，并始終平行于一導(dǎo)平面，平面，這樣這樣形成的曲面形成的曲面叫做柱叫做柱狀面。狀面。 圖示的柱

20、狀面，母線是圖示的柱狀面，母線是AD，曲導(dǎo)線是，曲導(dǎo)線是ABC和和DEF，導(dǎo)平面是鉛垂面導(dǎo)平面是鉛垂面P 。柱狀面柱狀面的所有的所有素線素線AD、BE、CF都平行于導(dǎo)平面都平行于導(dǎo)平面P， 所以各素線的水平投影所以各素線的水平投影ad、be、cf 都平行于都平行于PH。曲導(dǎo)線曲導(dǎo)線導(dǎo)平面導(dǎo)平面母線母線 右圖所示的是右圖所示的是柱狀柱狀面應(yīng)用于拱門上的實(shí)例。面應(yīng)用于拱門上的實(shí)例?？梢钥闯觯簩?dǎo)線應(yīng)為拱可以看出：導(dǎo)線應(yīng)為拱口曲線口曲線(一為半圓一為半圓，為半為半橢圓橢圓)，導(dǎo)面應(yīng)為水平面。，導(dǎo)面應(yīng)為水平面。5.5 螺旋線和螺旋面螺旋線和螺旋面第五節(jié)第五節(jié) 曲線和曲面曲線和曲面一、螺旋線一、螺旋線 一

21、動點(diǎn)沿著一圓柱的母線作等速運(yùn)動，而母線同時又繞圓柱的軸線一動點(diǎn)沿著一圓柱的母線作等速運(yùn)動，而母線同時又繞圓柱的軸線作等速旋轉(zhuǎn)，則該動點(diǎn)運(yùn)動的軌做作等速旋轉(zhuǎn)，則該動點(diǎn)運(yùn)動的軌做圓柱螺旋線圓柱螺旋線。此圓柱叫做。此圓柱叫做導(dǎo)圓柱導(dǎo)圓柱。圓柱螺旋線圓柱螺旋線分右旋和左旋兩種分右旋和左旋兩種：右旋：動右旋：動點(diǎn)上升時，母線對軸線作反時針方向旋轉(zhuǎn)點(diǎn)上升時，母線對軸線作反時針方向旋轉(zhuǎn)；左旋：動點(diǎn)上升時，母線對軸線作左旋：動點(diǎn)上升時，母線對軸線作順時針方向旋轉(zhuǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)。一、螺旋線一、螺旋線 母線旋轉(zhuǎn)一周時，動點(diǎn)沿母線旋轉(zhuǎn)一周時，動點(diǎn)沿母線移動的距離叫做螺距。母線移動的距離叫做螺距。螺螺距距h和導(dǎo)圓柱

22、的和導(dǎo)圓柱的半徑半徑R是確定螺是確定螺旋線的兩個參數(shù)。給出這兩個旋線的兩個參數(shù)。給出這兩個參數(shù)的大小，再根據(jù)螺旋線的參數(shù)的大小，再根據(jù)螺旋線的方向方向(譬如是右螺旋譬如是右螺旋)，就可以，就可以做出螺旋線的投影。做出螺旋線的投影。Rh螺旋線投影螺旋線投影（1）用半徑用半徑R作出導(dǎo)圓柱的投影；作出導(dǎo)圓柱的投影；作法：作法：（2）把導(dǎo)圓柱的底圓周把導(dǎo)圓柱的底圓周(在水平投影在水平投影上上)和和螺距螺距h(在正面投影上在正面投影上)分成同樣分成同樣多的等份多的等份(如如12等份等份)；（3）在水平投影上用數(shù)字沿螺旋線在水平投影上用數(shù)字沿螺旋線方向順次標(biāo)出各分點(diǎn)方向順次標(biāo)出各分點(diǎn)0、1、12；（4）從從0、1、12 向上作鉛垂聯(lián)向上作鉛垂聯(lián)系線，系線，得各分點(diǎn)的得各分點(diǎn)的正面投影；正面投影；（5）用曲線圓滑的連接用曲線圓滑的連接0、l、2 12各點(diǎn)，各點(diǎn)， 得一正弦曲線該曲線得一正弦曲線該曲線就是所作螺旋線的正面投影。就是所作螺旋線的正面投影。0678910111212345 0 1 2 3111210 9 8 7 6 5 4螺旋線投影螺旋線投影 當(dāng)把導(dǎo)圓柱展開成矩形之后，螺旋線應(yīng)該是這個當(dāng)把導(dǎo)圓柱展開成矩形之后，螺旋