切線長定理弦切角定理切割線定理相交弦定理37508

1、實用標準文案切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關的比例線段學習目標1. 切線長概念“切線長”是切線上（PA 長）切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。2. 切線長定理（2）若已知兩條對于切線長定理，應明確（1 ）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3 ）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；（4 ）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾 角互補；（5 ）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引

2、的兩條切線所夾的角。文檔3.弦切角:直線AB切O O于P, PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。5.弄清和圓有關的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6.遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理。7與圓有關的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交弦定理O O 中，AB、CD 為弦，PAPB = PC PD.連結(jié) AC、BD ,證：APC交于 P.S/DPB.用相交弦定理O 0 中，AB 為直徑，CD PC2= PA PB. 丄AB于P切割線定理推論圓幕定理切割線定QDFB0AO 0 中，PT 切O 0 于 T,

3、 PT2 = PA PB割線PB交O 0于A連結(jié) TA、TB,證：APTBs/PATPB、PD 為O 0 的兩條割 PAPB = PCPD線，交O 0于A、CO 0 中，割線 PB 交O 0 P'C P'D = r2 0P'2 于 A , CD 為弦PA PB = 0P2 r2r為O O的半徑過P作PT切O 0于T, 用兩次切割線定理（記憶的方法方法）延長P'O交O O于M , 延長0P'交O O于N，用 相交弦定理證；過P作切 線用切割線定理勾股定理證（特殊情況）| （ R為圓半徑），因為丄叫做點對于O 0的幕，所以將上述定理統(tǒng)稱8.圓幕定理：過一定點

4、P向O 0作任一直線，交O 0于兩點，則自定點 P到兩交點的兩條線段之 積為常數(shù)| -'上' 為圓幕定理?！镜湫屠}】例1.如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓 0,過A作半圓切線, 切點為F,交CD于E,求DE : AE的值。圖1解：由切線長定理知： AF = AB = 1 , EF= CECE=解：由相交弦定理，得AE BE= CE DE-AE = 6cm , BE = 2cm , CD = 7cm ,DE=CD-CE =1-CE , 即工二 J'CE= 3cm 或 CE= 4cm。故應填3或4。點撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩

5、種情況的取舍。例3已知PA是圓的切線,解：zP=/PPCB是圓的割線，則設CE為x，在Rt AADE中，由勾股定理(1 +羞嚴=(1 不卩+ 1 7T =A13DE = 1-=-AE= 1 + -=-44 ?4 4CE3.皿貝E =三-3： 544例2. O O 中的兩條弦 AB與 CD 相交于 E,若 AE = 6cm , BE= 2cm , CD = 7cm，那么cm。ZPAC = ZB, ACs/pba ,AB _ PB.，二AB2 _ P或 o又TPA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得加n pcAB2 _ PB1 _ PB PB PC PC故應填PC。點撥：利用相似得出比例

6、關系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。例4如圖3, P是O O外一點，PC切O O于點果 PA: PB = 1 : 4 , PC= 12cm , O O 的半徑為C, PAB是O O的割線，交O O于A、B兩點，如 10cm，則圓心O到AB的距離是cm。解：VPC是O O的切線，PAB是O O的割線，且 PA : PB = 1 : 4.PB = 4PA又 vPC= 12cm由切割線定理，得-PC、_ Djrf + Di?.pB = 4 X6 = 24 (cm )AB = 24 6 = 18 (cm )設圓心O到AB距離為d cm , 由勾股定理，得故應填'。例5.如圖4 , AB為O O的

7、直徑，過 B點作O O的切線BC, OC交O O于點E, AE的延長線交 BC于點 D , （1 ）求證：=CD* CB ；（2）若 ab = bc= 2厘米，求 CE、CD 的長。圖4點悟：要證證明：（1）連結(jié)BE月（7是® 御切線=>Zj4= Z.CBEOA = OE = £A= £QRA，即要證厶CED s©be。亠=一 => CE =CB * CD CD CEBC= 22 =二 1!二 CC = J50E= 1=CE =厲-1。又-> -又，,. I - :/ 厘米。點撥：有切線，并需尋找角的關系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)

8、造條件。例6如圖5，AB為O O的直徑，弦E。求證："證明：連結(jié)BD,AE 切O O 于 A ,zEAD = ZABDAE 丄 AB，又 AB /CD ,AE 丄 CDAB為O O的直徑/zADB = 90 °zE=ZADB = 90 ° ADE s/baDAD _ DE.丄-一丄：.AD1 = AB* DECD /ABc nAD=SCAD = BC,.BC7 = AB DS例7.如圖6 , PA、PC切O O于A、C, PDB為割線。求證： AD BC= CD AB圖6點悟：由結(jié)論 AD BC = CD AB得-,顯然要證/ PAD s/pba和APCD s/p

9、bc證明：TPA切O O于A , /PAD = ZPBA又ZAPD =/BPA, ZPAD s/pbaAD FD I I'/同理可證/ PCD s/pbcPA、PC分別切O O于A、C'PA = PCAL!L-AD BC = DC AB例8.如圖7,在直角三角形 ABC中，/A = 90 °，以AB邊為直徑作O 0 ,交斜邊BC于點D，過D 點作O 0的切線交AC于E。圖7求證：BC = 20E。點悟：由要證結(jié)論易想到應證 0E是ABC的中位線。而 0A = 0B，只須證AE= CE。證明：連結(jié)0D。AC丄AB , AB為直徑AC為O 0的切線，又DE切O 0于DEA

10、 = ED, 0D 丄 DEOB = 0D , aZB=Z0DB在 RtABC 中，/ C= 90。一啟/0DE = 90 °.厶M 二 90° -厶ODE zC =ZEDCED = ECAE = ECQE是ABC的中位線BC = 20EC例9.如圖8，在正方形ABCD中，AB = 1，皿是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點nE是邊AD上的任意一點（點 E與點A、D不重合），過E作丄°所在圓的切線，交邊 DC于點F, G為切點。當ZDEF = 45。時，求證點G為線段EF的中點;圖8解:由ZDEF = 45 °，得ZDFE = $0°

11、- ZDEF = 45°JDFE = ZDEFDE = DF又TAD = DCAE = FC因為AB是圓B的半徑，AD丄AB，所以AD切圓B于點A;同理，CD切圓B于點C。 又因為EF切圓B于點G,所以AE = EG, FC= FG。因此EG= FG,即點G為線段EF的中點?！灸M試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題1. 已知：PA、PB切O O于點A、B,連結(jié)AB，若AB = 8，弦AB的弦心距3，則PA =（）2025A. -B. -C. 5D. 82. 下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形3. 已知：如圖1直線MN與O O相切于C, AB為直徑，

12、/ CAB = 40。，則JMCA的度數(shù)（）A. 50B. 40C. 60D. 554. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長 8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1 : 4，則另一弦長為（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5. 在ABC中，D是BC邊上的點，AD -' 宀，BD = 3cm , DC = 4cm，如果E是AD的延長線與 ABC的外接圓的交點，那么A 2/2 幡DE長等于B.C.6. PT切O O于T, CT為直徑，D為OC上一點，直線 PD交O O于B和A , B在線段PD 上,若 CD = 2 , AD = 3, BD = 4，貝U PB 等于（）C. 5A.

13、 20B. 10二、填空題7. AB、CD是O O切線，AB /CD , EF是O O的切線，它和 AB、CD分別交于 E、F,則/EOF=度。8. 已知：O O和不在O O上的一點P,過P的直線交O O于A、B兩點，若PAPB = 24 , OP =5，則O O的半徑長為。_9. 若PA為O O的切線，A為切點，PBC割線交O O于B、C,若BC = 20 ,刊二，則PC的長為10. 正ABC內(nèi)接于O O , M、N分別為AB、AC中點，延長 MN交O O于點D，連結(jié)BD交PC _AC于P,則尸山 三、解答題11. 如圖2 , AABC中，AC = 2cm，周長為8cm , F、K、N是AA

14、BC與內(nèi)切圓的切點， DE切OO于點 M，且DE /AC，求DE的長。圖212. 如圖3，已知P為O O的直徑 AB延長線上一點，PC BO O于C, CD丄AB于D，求證:CB 平分 /DCP _P13. 如圖4,已知AD為O O的直徑，AB是O O的切線，過B的割線BMN 交AD的延長線于 C,且 BM = MN = NC，若 AB'圖4【試題答案】-、選擇題1. A2. C3. A4. B5. B6. A、填空題M+1I7. 908. 19. 3010.三、解答題：11. 由切線長定理得厶BDE周長為4，由 BDE s/BAC，得DE = 1cm12. 證明：連結(jié)AC,貝U AC丄CBCD 丄 AB XCB sCDB , aZA = Z1PC 為O