有限元計(jì)算原理與方法..

1、圖3.1 15節(jié)點(diǎn)楔形體單元節(jié)點(diǎn)和應(yīng)力點(diǎn)分布1.有限元計(jì)算原理與方法有限元是將一個(gè)連續(xù)體結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元體，這些單元體在節(jié)點(diǎn)處相互 鉸結(jié)，把荷載簡(jiǎn)化到節(jié)點(diǎn)上，計(jì)算在外荷載作用下各節(jié)點(diǎn)的位移， 進(jìn)而計(jì)算各單 元的應(yīng)力和應(yīng)變。用離散體的解答近似代替原連續(xù)體解答，當(dāng)單元?jiǎng)澐值米銐蛎?時(shí)，它與真實(shí)解是接近的。1.1. 有限元分析的基本理論有限元單元法的基本過(guò)程如下：連續(xù)體的離散化首先從幾何上將分析的工程結(jié)構(gòu)對(duì)象離散化為一系列有限個(gè)單元組成，相鄰 單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連接 而成為一個(gè)整體。單元可采用各種類(lèi) 型，對(duì)于三維有限元分析，可采用四 面體單元、五西體單元和六面體單元等。在 Plaxis

2、3D Foundation程序中，土體和樁體主要采用包 含6個(gè)高斯點(diǎn)的15節(jié)點(diǎn)二次楔 形體單元，該單元由水平面為 6 節(jié)點(diǎn)的三角形單元和豎直面為四 邊形8節(jié)點(diǎn)組成的，其局部坐標(biāo) 下的節(jié)點(diǎn)和應(yīng)力點(diǎn)分布見(jiàn)圖3.1， 界面單元采用包含9個(gè)高斯點(diǎn)的 8個(gè)成對(duì)節(jié)點(diǎn)四邊形單元在可能出現(xiàn)應(yīng)力集中或應(yīng)力梯度較大的地方，應(yīng)適當(dāng)將單元?jiǎng)澐值妹芗? 若連續(xù)體只在有限個(gè)點(diǎn)上被約束，則應(yīng)把約束點(diǎn)也取為節(jié)點(diǎn)：若有面約束，則應(yīng) 把面約束簡(jiǎn)化到節(jié)點(diǎn)上去，以便對(duì)單元組合體施加位移邊界條件，進(jìn)行約束處理； 若連續(xù)介質(zhì)體受有集中力和分布荷載， 除把集中力作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)外，應(yīng)把分布 荷載等效地移置到有關(guān)節(jié)點(diǎn)上去。最后，還應(yīng)建立一個(gè)

3、適合所有單元的總體坐標(biāo)系。由此看來(lái)，有限單元法中的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是同樣材料的由眾多單元以一定方式連接成的離散物體。因此，用有限元法計(jì)算獲得的結(jié)果只是近似的，單元?jiǎng)澐衷郊?xì)且又合理，計(jì)算結(jié)果精度就越高。與位移不同，應(yīng)力 和應(yīng)變是在Gauss積分點(diǎn)（或應(yīng)力點(diǎn)）而不是在節(jié)點(diǎn)上計(jì)算的，而樁的內(nèi)力則可通 過(guò)對(duì)樁截面進(jìn)行積分褥到。單元位移插值函數(shù)的選取在有限元法中，將連續(xù)體劃分成許多單元，取每個(gè)單元的若干節(jié)點(diǎn)的位移 作為未知量，即 e =Ui，Vi，Wi，.T，單元體內(nèi)任一點(diǎn)的位移為f二u,v,wT。引入位移函數(shù)N（x,y,3表示場(chǎng)變量在單元內(nèi)的分布形態(tài)和變化規(guī)律，以便用 場(chǎng)變量在節(jié)點(diǎn)上的

4、值來(lái)描述單元內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)變量。因此在單元內(nèi)建立的位移模式為：f=Ne（ 3-1）其中：NIN1,IN2,IN31N15，I 為單位矩陣。按等參元的特性，局部坐標(biāo)（，）到整體坐標(biāo)（x,y,z）的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換也采用 與位移插值類(lèi)似的表達(dá)式。經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變化后子單元與母單元（局部坐標(biāo)下的規(guī)則單元）之間建立一種映射關(guān)系。不管內(nèi)部單元或邊界附近的單元均可選擇相同的 位移函數(shù)，則為它們建立單元特性矩陣的方法是相同的。因此，對(duì)于15節(jié)點(diǎn)楔形體單元體內(nèi)各點(diǎn)位移在整體坐標(biāo)系（x, y, z）下一般?。?5u 二人Ni(,)uii =1S(3-2)15v 八 Ni(,i丄15w 八 Ni(, )Wii J上式中的（Ui，

5、Vi，wJ為整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)i處的位移值，Ni，）為在局部 坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的形函數(shù)。113單元特性分析利用幾何方程、本構(gòu)方程、虛功原理或位能變分方程求解單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié) 點(diǎn)位移關(guān)系的表達(dá)式，即單元?jiǎng)偠染仃嚒８鶕?jù)幾何方程可建立單元內(nèi)的應(yīng)變矩陣；=；z z y Y Y :x y Z xy yZ zx -(3-3)其中B1=B，BBJ,1岔M /點(diǎn)x00 10刑/ Ey000cNi / cz科/yENi /&x00cNi / czcNi /&y| 5Ni / &0cNi / ex JBi二(3-4)對(duì)于小變形線(xiàn)性彈性問(wèn)題，根據(jù)物理方程建立單元內(nèi)的應(yīng)力矩陣:；珂D ；珂DB、e(3-5)其中,B為幾何

6、矩陣，D為彈性矩陣，S為應(yīng)力矩陣,S=DBoFe.根據(jù)虛功原理求出單元中的節(jié)點(diǎn)力F_k e(3-6)其中 k為單元的勁度矩陣，k =BTDBdxdxdze對(duì)于整體結(jié)構(gòu)上的任一點(diǎn)i,建立平衡方程:(3-7) F二ReR為i節(jié)點(diǎn)上的外荷。上式表示R與圍繞i點(diǎn)的各單元在i點(diǎn)上的節(jié) 點(diǎn)力之和相平衡。1.1.4.總體特性分析對(duì)每一個(gè)位移未知的節(jié)點(diǎn)，都可寫(xiě)出3-7式的方程，利用結(jié)構(gòu)力的平 衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新聯(lián)接起來(lái)，形成分析對(duì)象 的整體有限元平衡方程組:(3-8)其中，k為整體勁度矩陣，Kij = kj . 為整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移矩陣， R為整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)荷載矩陣，是已知的。由式(3

7、-8)求出節(jié)點(diǎn)位移 由式(3-3)、式(3-5)求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。1.2. 非線(xiàn)性有限元分析非線(xiàn)性現(xiàn)象是在實(shí)際的結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。與線(xiàn)性分析相 比，非線(xiàn)性分析中荷載與位移之間的關(guān)系已不是直線(xiàn)關(guān)系，而是曲線(xiàn)關(guān)系土體的非線(xiàn)性分析一般來(lái)說(shuō)采用非線(xiàn)性的分析方法，選用適當(dāng)?shù)耐馏w本構(gòu) 系，進(jìn)行有限元計(jì)算。非線(xiàn)性問(wèn)題一般有材料非線(xiàn)性和幾何非線(xiàn)性?xún)煞N。幾何非線(xiàn)性即存在大變形，其變化的幾何形狀可能引起結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性響應(yīng)，即應(yīng)變與位移的關(guān)系不里線(xiàn)性，應(yīng)變不僅包括位移對(duì)坐標(biāo)的一階導(dǎo) 數(shù)，還要包括高階導(dǎo)數(shù)。在進(jìn)行小應(yīng)變或者小變形分析時(shí)，假定位移和變 形總是足夠?。ㄟ@種假定取決于特定分析要求中的精度等級(jí) ）

8、可以忽略結(jié) 構(gòu)變形對(duì)系統(tǒng)剛度的影響，即基于最初幾何形狀的結(jié)構(gòu)剛度的一次迭代足 以計(jì)算出分析結(jié)果。隨著變形位移增長(zhǎng)，一個(gè)有限單元的已移動(dòng)的坐標(biāo)可 以多種方式改變結(jié)構(gòu)的剛度，進(jìn)行多次迭代來(lái)獲得一個(gè)有效的解，這就是 幾何非線(xiàn)性。除了結(jié)構(gòu)大變形引起剮度變化以外。許多與材料有關(guān)的參數(shù)同樣可以改變結(jié)構(gòu)剛度。材料的非線(xiàn)性即是材料的應(yīng)力一應(yīng)交關(guān)系是非線(xiàn)性的。主要有彈性非線(xiàn)性模型和彈塑性模型兩大類(lèi)。彈性非線(xiàn)性理論是以彈性理論 為基礎(chǔ)，在微小的荷載增量范圍內(nèi)，把土看作彈性材料，從一個(gè)荷載增量 變化到另一個(gè)荷載增量，土體的彈性常數(shù)發(fā)生變化，以考慮非線(xiàn)性；彈塑 性模型理論認(rèn)為土體的變形包括彈性和塑性變形兩部分，把彈性

9、理論和塑 性理論結(jié)合起來(lái)建立的本構(gòu)模型。土體中的彈塑性本構(gòu)關(guān)系都是用增量形式表示的，因此，計(jì)算方法也宜用增量法。某級(jí)荷載增量PR作用下,各單元的應(yīng)力狀態(tài)不同。有些可能處于彈性區(qū)，則剛度矩陣要用彈性矩陣D，有些可能產(chǎn)生塑性屈服，則須運(yùn)用屈服準(zhǔn)則、硬化規(guī)律和流動(dòng)法則建立的彈塑性剛度矩陣Dep來(lái)代替D。反映到式（3-5），其中的矩陣D 不是常量其隨應(yīng)力或應(yīng)變改變，由此推導(dǎo)的勁度矩陣K也隨應(yīng)力或變形而變。對(duì)于相適應(yīng)流動(dòng)法則g = f，貝y：Cf 殲TDTD 式中A為塑性硬化模量，是硬化參數(shù)函數(shù)。因此，不管是材料非線(xiàn)性還是幾 何非線(xiàn)性，推出的勁度矩陣將隨位移而變。DepPD-(3-8)A TD因此，不管

10、是材料非線(xiàn)性還是幾何非線(xiàn)性，推出的勁度矩陣將隨位移而變。KC ） =R（3-10）這是位移的非線(xiàn)性方程組。直接解這樣的方程組是困難的，因此簡(jiǎn)化 為一系列的線(xiàn)性問(wèn)題的解逐步逼近非線(xiàn)性問(wèn)題的解，非線(xiàn)性問(wèn)題可以理解 為一些線(xiàn)性解進(jìn)行迭代的結(jié)果。1.3. 有限單元法解比奧固結(jié)方程對(duì)于土工問(wèn)題有限元分析可以采用有效應(yīng)力法、總應(yīng)力法和準(zhǔn)有效應(yīng)力法三種。有效應(yīng)力法嚴(yán)格區(qū)分土體中的有效應(yīng)力與孔隙水壓力。將土體 骨架變形與孔隙水的滲透同步考慮，因而比總應(yīng)力法更真實(shí)反映土體自身 特性，能更合理計(jì)算土體對(duì)荷載的響應(yīng)。有效應(yīng)力法有兩個(gè)未知量，即土 體骨架的變形和孔隙水壓力。對(duì)于非飽和土還需要增加一個(gè)孔隙氣壓力這 個(gè)變

11、量。有效應(yīng)力法基本上以Biot動(dòng)力固結(jié)方程為基礎(chǔ)，其計(jì)算較為復(fù)雜，計(jì)算工作量也較大。土體的總應(yīng)力有限元法實(shí)際上與其他結(jié)構(gòu)有限元分析在計(jì)算原理上 沒(méi)有大的區(qū)別，主要在材料的本構(gòu)模型的選擇上不同，其實(shí)質(zhì)認(rèn)為土體是 一種由土顆粒和孔隙水組成之間的相互關(guān)系，將之合成一個(gè)整體，共同一 個(gè)整體，共同研究其整體的應(yīng)力與變形狀態(tài)?？倯?yīng)力法不能反映土體固結(jié) 作用在有效應(yīng)力分析中，如果采用與總應(yīng)力法同樣的土性參數(shù)并令孔隙水 壓力為0,則有效應(yīng)力等于總應(yīng)力，相應(yīng)的有效應(yīng)力法轉(zhuǎn)變?yōu)榭倯?yīng)力法。因此，總應(yīng)力法是有效應(yīng)力法的一個(gè)特例。在土體材料采用不捧水指標(biāo)時(shí)，總應(yīng)力法計(jì)算出來(lái)的是加荷瞬間或短期應(yīng)力和變形，而采用排水指標(biāo)進(jìn)

12、行 的總應(yīng)力分析則得到的是有效應(yīng)力分析的最終結(jié)果，也就是孔壓消散完 畢，土體固結(jié)完成時(shí)的應(yīng)力和交形結(jié)果。在土工問(wèn)題分析中有時(shí)還用總應(yīng) 力和太沙基固結(jié)理論相結(jié)合的方法來(lái)進(jìn)行有效應(yīng)力分析（簡(jiǎn)稱(chēng)準(zhǔn)有效應(yīng)力法），該法是先用總應(yīng)力法求得應(yīng)力和變形，然后根據(jù)太沙基固結(jié)理論考 慮孔壓的消散以及有效應(yīng)力和變形隨時(shí)間的變化。這種分析法對(duì)于二維和 三維滲流而已是近似的，對(duì)于只有一個(gè)方向滲水的固結(jié)問(wèn)題是精確的。在Plaxis 3D Foundation程序中，進(jìn)行最終沉降分析時(shí)是材料類(lèi)型為排水指標(biāo)的總應(yīng)力法分析，而進(jìn)行固結(jié)有限元沉降分析時(shí)采用的是以 Biot固結(jié)理論為基礎(chǔ)的有效應(yīng)力法.采用有效應(yīng)力法可以較為全面地得

13、到 樁土的應(yīng)力、變形和孔壓變化的情況。.比奧固結(jié)理論太沙基固結(jié)理論只在一維情況下是精確的，對(duì)二維、三維問(wèn)題并不精 確。太沙基一倫杜立克理論（擴(kuò)散方程）將應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系視為常量（E=常數(shù)） 的同時(shí)，假設(shè)三個(gè)主應(yīng)力（總應(yīng)力）之和不變，不滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件。比奧理論從較嚴(yán)格的固結(jié)機(jī)理出發(fā)推導(dǎo)了準(zhǔn)確反映孔隙水壓力消散 與土骨架變形相互關(guān)系的三維固結(jié)方程。該理論將水流連續(xù)條件與彈性理 論結(jié)合求解了土體受力后的應(yīng)力、應(yīng)變、孔隙水壓力的生成和消散過(guò)程,兩理論均假設(shè)土骨架是線(xiàn)彈性體，變形為小變形，土顆粒與孔隙水均 不可壓縮，孔隙水滲流服從達(dá)西定律。在土工數(shù)值計(jì)算中，可使用非線(xiàn)性 彈塑性模型代替線(xiàn)彈性模型與比奧固結(jié)

14、理論耦合求解。比奧固結(jié)理論是嚴(yán)格按照彈性理論，使飽和粘土在固結(jié)過(guò)程中必須滿(mǎn) 足應(yīng)力平衡方程、幾何方程及虎克定律，因此對(duì)于三維固結(jié)問(wèn)題可導(dǎo)出如 下三個(gè)平衡方程：_G于wx+呂竺+竺+無(wú)）+冬=01 - 2v ex excyczex2 Gwx: w ：wzu/、+） +丁 = 0 （3-11）1 -2vGyexcycz&y_G，wz十旦讓?zhuān)檬适^）+竺一Y1 -2vczexcyczcz根據(jù)飽和土的連續(xù)性在一個(gè)元素體中，在一定的時(shí)間內(nèi)單元土體積的壓縮量等于流進(jìn)和流出該單元體的流量變化之和，并引進(jìn)達(dá)西定律，從而推導(dǎo)如下連續(xù)方程：:w k 2（3-12）z）2u z式（3 一 11）和式（3 一 1

15、2）聯(lián)立就是比奧固結(jié)方程式中W x、wy、wz 分別為在x,y和z三個(gè)軸向的位移;U 孔隙水壓力；G 剪切模量； v 泊松比;土的重度;；v 體應(yīng)變；k 滲透系數(shù)，假設(shè)土的各向滲透性相同；W 水的容重；-2-2-2ii2 -、2拉普拉斯算子，2 2ex cycz比奧固結(jié)方程中含有 wx、wy、Wz和U四個(gè)未知函數(shù)在一定的邊x y界條件和初始條件下，可以解出任何時(shí)間及任何一點(diǎn)的W X、Wy、Wz和U。但問(wèn)題遠(yuǎn)不這么簡(jiǎn)單，就是二維問(wèn)題也很難求得該未知函數(shù)的解析解。因此，該理論雖早在 1941年就提出來(lái)了，但未得到推廣使用，直到近年來(lái)由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，才有人幵始用有限元法，把上述理論運(yùn)用于解決固結(jié)問(wèn)題。.比奧固結(jié)有限元方程根據(jù)有效應(yīng)力原理，總應(yīng)力為有效應(yīng)力和孔隙水壓力之和，且孔隙水不承受剪應(yīng)力。 u(3-13 )U珥 N 丁(3-14 )=D；=DB e(3-15)其中：u為節(jié)點(diǎn)孔隙水壓力,N=N,N2,N5，護(hù)e為單元 的節(jié)點(diǎn)超靜水壓力。由虛位移原理可推導(dǎo)得出單元節(jié)點(diǎn)力與某一時(shí)刻已產(chǎn)生的位移所對(duì)應(yīng)的骨架應(yīng)力以及尚未消散的超靜水壓力兩部分相平衡。Fkfe k e（3-16 ）式中 k就是通常單元的勁度矩陣k 單元節(jié)點(diǎn)孔隙壓力所對(duì)應(yīng)的那部分節(jié)點(diǎn)力；對(duì)于所有位移未知的節(jié)點(diǎn)建立整體平衡方程，