代數(shù)變形常用的技巧

1、代數(shù)變形中常用的技巧代數(shù)變形是為了達(dá)到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉(zhuǎn)化和 聯(lián)想的準(zhǔn)備階段，它屬于技能性的知識(shí)， 當(dāng)然存在著技巧和方法， 也就需要人們 在學(xué)習(xí)代數(shù)的實(shí)踐中反復(fù)操練才能把握， 乃至靈活應(yīng)用。 代數(shù)變形技巧是學(xué)習(xí)掌 握代數(shù)的重要基礎(chǔ)， 這種變形能力的強(qiáng)弱直接關(guān)系到解題能力的發(fā)展。 本文就初 等代數(shù)變形中的解題技巧，作一些論述。兩個(gè)代數(shù)式A、B，如果對(duì)于其中所含字母的一切允許值它們對(duì)應(yīng)的值都相 等，則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式恒等，記作 A -B或A=B，把一個(gè)代數(shù)式換成另一個(gè)和它 恒等的代數(shù)式，叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等變形是代數(shù)的最基本知識(shí)， 是學(xué)好 中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，恒等變形的理論

2、依據(jù)是運(yùn)算律和運(yùn)算法則，所以， 恒等變形必 須遵循各運(yùn)算法則，并按各運(yùn)算法則在其定義域內(nèi)進(jìn)行變形。代數(shù)恒等變形技巧是學(xué)習(xí)與掌握代數(shù)的重要基礎(chǔ) ,這種變形能力的強(qiáng)弱直接 關(guān)系到解題能力的發(fā)展。 代數(shù)恒等變形實(shí)質(zhì)上是為了達(dá)到某種目的或需要而采取 的一種手段，是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段，它屬于技能性的知識(shí)，當(dāng)然存在 著技巧和方法， 也就需要人們?cè)趯W(xué)習(xí)代數(shù)的實(shí)踐中反復(fù)操練才能把握， 乃至靈活 與綜合應(yīng)用。 中學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中不善于積累和總結(jié)變形經(jīng)驗(yàn)， 在稍復(fù)雜的問(wèn) 題面前常因變形方向不清，而導(dǎo)致常規(guī)的化歸、轉(zhuǎn)化工作難以實(shí)施，甚至失敗， 其后果直接影響著應(yīng)試的能力及效率。代數(shù)的恒等變形包括的內(nèi)容較多

3、， 本文著重闡述代數(shù)運(yùn)算和解題中常見(jiàn)的變 形技巧及應(yīng)用。一、整式變形整式變形包括整式的加減、乘除、因式分解等知識(shí)。這些知識(shí)都是代數(shù)中的 最基礎(chǔ)的知識(shí)。有關(guān)整式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，常用到整式的變形。例 1 ：化簡(jiǎn)(y+z-2x) 2+(z+x-2y) 2+(x+y-2z) 2-3(y-z) 2-3(z-x) 2-3(x-y) 2分析：此題若按常規(guī)方法先去括號(hào)，再合并類(lèi)項(xiàng)來(lái)進(jìn)行恒等變形的話(huà)，計(jì)算會(huì)繁雜。而通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)此題是一個(gè)輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，就其特點(diǎn)而言，若用換元法會(huì)使變形簡(jiǎn)單，從而也說(shuō)明了換元法是變形的一種重要方法。解：設(shè) y-z=a, z-x=b, x-y=c,貝U a+b+c=0 ，y+z-2

4、x=b-c,x+z-2y=c-a,x+y-2z=a-b 。于是原式=(b-c) 2+(c-a) 2+(a-b) 2-3a 2-3b 2-3c2=b 2-2ac+c 2+c2-2ac+a 2+a2-2ab+b 2-3a 2-3b 2-3c2=-a 2 -b 2-c2-2ac-2ab-2bc=-(a+b+c) 2=0例2:分解因式 (1-x2)(1-y 2)-4xy x4+y 4+ x 2y2分析：本題的兩個(gè)小題，若按通則變形，則困難重重，不知從何下手，但從 其含平方的項(xiàng)來(lái)研究，考慮應(yīng)用配方法會(huì)使變形迎刃而解。題先將括號(hào)展開(kāi)， 并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分組就可以配成完全平方式。題用添

5、項(xiàng)、減項(xiàng) 法加上x(chóng)2y2再減去x2y2，即可配方，然后再進(jìn)行變形分解。解：原式=1-y 2-x2+x 2y2-2xy-2xy=(1-2xy+x 2y2)-( x 2+2xy+ y 2)=(1-xy) 2-(x+y) 2=(1-xy+x+y)(1-xy-x-y)原式=x 4+y 4+ x 2y2+x 2y2-x 2y2=(x 2+y 2)2-x2y2=(x 2+y 2+xy) ( x 2+y 2-xy)以上兩例充分說(shuō)明了，配方法、因式分解法、換元法都是恒等變形的方法與 基礎(chǔ)，它們都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有力工具，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的武器。因此，這些變形 技巧必須熟練掌握。二、分式變形眾所周知，對(duì)學(xué)生而言，分式

6、的變形較為復(fù)雜，也很講究技巧。通分化簡(jiǎn)是 常規(guī)方法，但很多涉及分式的問(wèn)題僅此而已是不夠的，還需按既定的目標(biāo)逆向變通，這時(shí)將分式分解成部分分式、分離常數(shù)、分子變位等便成了特殊的技巧，靈 活應(yīng)用這些變形技巧便會(huì)使問(wèn)題迎刃而解。有關(guān)分式的計(jì)算、化簡(jiǎn)、求值、證明，常常采用分式的變形技巧。(一) 將已知條件變形，再直接代入例： 已知一=a, =b, =c, 且 x+y+z 工 0, 試求 y zz xx y旦+旦+旦的值。1 a 1 b 1 c分析：此題若按常規(guī)方法，把已知條件直接代入所求進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算會(huì)很復(fù) 雜，也不容易求得正確答案。通過(guò)觀(guān)察已知和未知的式子，考慮將已知條件進(jìn)行 變形，再整改代入未知中

7、去，計(jì)算起來(lái)比較簡(jiǎn)單。因此，對(duì)已知條件進(jìn)行變形也 是非常必要的。解：由已知得1+a=1 +所以a =1 ax，同理zb yczx y1 bxy z1 cxy z所以原式=x+ y+zxyz =1x yz x yzx yz xyz（二）應(yīng)用比例的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變形例:“ a b已知一=3b 2a5b226a 15b + 4a5ab 6b，求 22a2ab 3b的值解：由已知條件知a0 ,b卻，把已知條件中的等式變形并利用等比性質(zhì)消去b，得25a =15b= 6a 15b = 25a15b(6a 15b)二 31a =75b30a75b a 75b(30a75b) a 31aa=3b4(3b)2

8、 5 3b b 6b2(3b)2 2 3b b 3b2227b96b22（三）利用倒數(shù)知識(shí)進(jìn)行恒等變形例:已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且abca-，求一c a 5 ababcbc ca的值解:顯然a、b、c均不為零，故將三個(gè)條件分式兩邊分別取倒數(shù)，得:a Iabbe b c c a=3，再逆用分式加法法則變形得:三式相加，得abc 1 ab bc ca 6 1 1.-=6， b c1原式二-61c 門(mén)11,+=3，+ =4，a b b c 再通分變形得ab bc caabc丄+丄=5 c a=6，兩邊取倒數(shù)得本題多次應(yīng)用了通分，逆用通分，取倒數(shù)等恒等變形，使問(wèn)題得到了解決,說(shuō)明這些方法都是代數(shù)變形的

9、重要方法，這些技巧應(yīng)理解掌握。（四）利用常值代換進(jìn)行恒等變形例：已知abc=1,求ab aa 1+b?A+H的值。解：abc=1原式二-+ab a abcbc b 1= =1bc b 1b+bc b 1bcbc b 1本題的解法很巧，若將所求通分化簡(jiǎn),再代入已知或?qū)⒁阎冃卧俅胨蠖疾灰浊蟪鼋Y(jié)果。習(xí)慣上是將字母代換成數(shù),而此題是將數(shù)代換成字母，反而收效較好。因此，常值代換也是恒等變形的重要技巧。（五）利用設(shè)比例系數(shù)進(jìn)行恒等變形例：已知=匚二丄，求3 -的值。a b b c c a 2003a 2004b 2005cx v z解：設(shè) = =k（k 卻）,則 x=（a-b）k ，y=（b-c）k

10、 ，z=（c-a）ka b b c c a原式=0 此變形是解有關(guān)等比問(wèn)題的重要技巧。（六）利用添項(xiàng)拆項(xiàng)進(jìn)行恒等變形111111例：已知 abc 工0，a+b+c=0，求 a(+)+b(+)+c(+)的值。b cc aa babc解：由 abc MO，知-+- + -=3，故1 1 1原式=a(+)+b(abc1+1 + 1)+c(l+1 +abc a b)-3=(a+b+c)(1 )-3=-3 c（七）利用運(yùn)算定律進(jìn)行恒等變形例：求值(1+1+1 + + 丄)+(?+? +2 34603422、“3333、+ -+)+(+ + + -+ )+56045660“5859、+( + )=5960

11、1 / 21、/ 321、/ 5958321、2 3344460606060601 2359 1= + + + + =(1+2+3+ -+59 )2 22 22159(1 59)=X=8852 2（八）利用整體代換思想進(jìn)行變形例：已知 x2-3x+1=0，求 x3+1/x 3 =3 的值。分析：此題若用常規(guī)方法先求出x的值，再代入x3+1/x 3 =3中進(jìn)行計(jì)算是很繁的，如果注意到運(yùn)用立方和公式及整體代換進(jìn)行變形，問(wèn)題就很簡(jiǎn)單了。1解：由 x2-3x+1=0 ，可知 x+ =3，故 x11原式=(x+ )( x+ )2-3=3(3 2-3)=18xx本題還運(yùn)用了配方，等式兩邊除以同一個(gè)不為零的

12、數(shù)的變形技巧， 這樣做的 目的是使已知條件與所求式之間的關(guān)系更加明朗化，便于代入，使運(yùn)算更簡(jiǎn)便。（九）利用逆用通分進(jìn)行恒等變形1例：化簡(jiǎn) R+(x 1)(x 2) + +(x 2004)(x2005)分析：這類(lèi)問(wèn)題在通常情況下是整體通分，但本題這樣做顯然很繁，若在每1解：原式=-x1 1+x 1 x 1個(gè)分式中逆用通分進(jìn)行“裂項(xiàng)”的恒等變形，則十分簡(jiǎn)捷。1 1+ + x 2 x 2004 x 20052005x 2005 x(x 2005)（十）利用分離常數(shù)的方法進(jìn)行恒等變形例：解方程乂衛(wèi)+注二乙衛(wèi)+5x 10 x 6 x 7 x 9分析：如果按照常規(guī)思路整體去分母，顯然運(yùn)算很繁雜，若采用分段

13、化簡(jiǎn),分離常數(shù)，可化繁為簡(jiǎn)解：原方程可化為4x 10+1 +4F6=1+1+ 上-x 7 x 91即- +x 10再進(jìn)行變形得1_ 1 = 1x 10 x 9 x 71 = 1x2 19x 90= x2 13x 422 2x 19x90= x 13x 42x=8（十一）利用換元再約簡(jiǎn)的方法進(jìn)行恒等變形約分是分式化簡(jiǎn)的重要手段之一。這種變形技巧貫穿整個(gè)分式的學(xué)習(xí)過(guò)程 中。2 2 ac , c c a21 _例:化簡(jiǎn)LLa b3 (a b)(b 旦)1 c 3a b (a b)解:c設(shè)0=x 則2 2 23b(1x)(1 x )b(1x)(1x)(1x x2)b原式=a(1 x )(1 x x )

14、 _ a(1x)(1x)(1 x x ) _ 旦（十二）利用主元代入及消元思想進(jìn)行恒等變形例：若 4x-3y-6z=0, x+2y-7z=0, 則5x2x2y23y22z10z3等于（1 19(A) -( B)19(C) -15(D) -132 24x-3y=6zx+2y=7z解：以x、y為主元，由已知得利用消元變形求得x=3z , y=2z原式=A2r22 4z N = 13 故選(D)2 9z 3 4z 10z由以上的論述可知：分式的變形一般有三種思路，先變形條件，以便運(yùn)用； 先化簡(jiǎn)待求式，這是為了利用條件； 將條件和待求式同時(shí)變形，容易看出二者的 關(guān)系。也就更容易找到變形技巧，使變形簡(jiǎn)單

15、明了，更具可操作性。三、根式變形有關(guān)根式的計(jì)算、比較大小、化簡(jiǎn)、求值等，經(jīng)常應(yīng)用到根式的變形技巧， 特別是二次根式的運(yùn)算，它是中學(xué)代數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)，不少題目用常規(guī)方法去解 比較繁瑣，所以解題中要根據(jù)題目的特點(diǎn)，巧用一些運(yùn)算技巧，才能達(dá)到事半功倍的效果。(一) 巧用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形例：計(jì)算(恵 + 45)2004-扁)2004( J6 -75)分析：逆用運(yùn)算性質(zhì)，再用平方差公式解：原式=(.6 + .5 )2004 ( . 6 - . 5 ) 2004 C- 6 - . 5 )=(6 +，5 )(，6 - - 5)2004 ( 6 -，5)=(6-5) 2004 ( 6 - 5 )=叮6 -

16、 - 5(二) 巧用因式分解進(jìn)行恒等變形例：計(jì)算( 3 +5 + 2 -2)(3.5 + 5、3-2.30)解：原式=(3 + 5 + 2 2) 15 ( 3 + “5-22)=15 ( 2+ -3)2-8= -15 2.15 =30(三) 利用分母有理化進(jìn)行恒等變形例：計(jì)算11113.3533.57,55、749 、4747、49解：原式335.33.57、55、749 47 47、4932(.3)2(5 3)2(3.5)2(7.5)2(5.7)2(49 47)2(47、49)2 3. 35.3:3空57 / 55： 749 . 4747、493 25 327 524947 2J .3=(一

17、2 6）吋5510)(10-7)14(47(944998)=1 U49 = 11 = 32982 147(四) 巧用平方進(jìn)行恒等變形例：化簡(jiǎn)2.3,23解：(.2、32. 3 )2= 23 2 (23)(2.3)23=2. 322、3 =2又2323 0二 Y2 1314. 1315. 14 1413 01514 -1413有很大的以上所述的這些二次根式的變形技巧， 在解決二次根式的問(wèn)題時(shí),用處，因此，它作為一種代數(shù)變形技巧應(yīng)被很好的掌握。四、指數(shù)變形有關(guān)指數(shù)的變形，一般都是利用幕運(yùn)算法則進(jìn)行較簡(jiǎn)便，而對(duì)一些比較大小的題目，就更講究變形的技巧，主要是將底數(shù)變了相同，或?qū)⒅笖?shù)變了相同。(一) 放

18、縮變形例：設(shè) a=19 91,b=(999991) 19,則 a-b 是( )(A)不大于-1的數(shù)(B)不小于1的數(shù)(C)絕對(duì)值大于0且小于1的數(shù)(D)07657解：Tb=(999991) 1919 76(1915-257) 19 76(16 15-2 57)= 19 76(260-2 57)=19 76 260(8-1)1故選(B)(二) 利用開(kāi)方進(jìn)行變形例：350，440，530的大小關(guān)系為()(A) 3 50 4 405 30( B) 5 30 3 50 4 40(C) 5 30 4 40 3 50(D) 4405 30 3 50解：10350 =3 5=243，10440 =4 4=2

19、56，10530 =5 3=125.騙30 10 3 50 10 4405303 50 4 40故選(B)(三) 利用乘方進(jìn)行變形1 1 1的大小關(guān)系是（例：設(shè) m=( 1)5, n=(丄)3, p=( 1)4，則 m、n、p3 45(A) mvnvp(B)mpn(C) np p 20 mp又卩12=（丄）3=丄5125二 p12 n12 pn mp n（四）利用求商進(jìn)行變形例：已知a=2255b=3344 , c=55 33, d=66 22，則a、b、c、d的大小關(guān)系是（）(A)abcd(B) abdc(C) bacd(D) adbc解: a=f44=(253打=(簧F1. 8144b 3

20、3/二二(33 c 554311、11 / 891、11 3 ) =( ) 15125c 5533, 531 1、11 “ 1375、11 ,=22 =( 2 ) =( ) 1 d 662636故選（A）上述四例充分說(shuō)明了，指數(shù)變形技巧在解題中的作用和地位， 離開(kāi)了這些變 形技巧，解題思路就會(huì)受阻，解題無(wú)從下手，因此變形技巧在解題中起著無(wú)足輕 重的作用。五、對(duì)數(shù)變形在對(duì)數(shù)式的恒等變形中，應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)間的相互關(guān)系，靈活利用運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算。對(duì)數(shù)的變形主要考慮換底和底數(shù)的選擇。例：討論函數(shù)f(x)=log ax(bx)(ba0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的結(jié) 論。分析：直接利用單調(diào)性的定義進(jìn)行探索，變形極易受阻，所以，利用對(duì)數(shù)換 底公式進(jìn)行變形，可供選擇的底數(shù)有 a、b和10,但a、b未完全具備對(duì)數(shù)底數(shù) 的資格，故選擇以10為底進(jìn)行變形。lg x lg b , Ig b Ig a解：f(x)=1 +Ig x Ig a Ig x Ig a1據(jù)Igb-Iga0 及復(fù)合函數(shù)的“同增異減”法則知，原函數(shù)在區(qū)間 (0，丄)和a1區(qū)間(-，+ X)上均為減函數(shù)。由此便可知本例的答案。a六、復(fù)數(shù)變形復(fù)數(shù)的