《相似三角形判定定理的證明》知識講解(基礎(chǔ))

1、相似三角形判定定理的證明（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .熟記三個判定定理的內(nèi)容.2 .三個判定定理的證明過程 .3 .學(xué)選會用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明結(jié)論的成立性.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、兩角分別相等的兩個三角形相似已知：如圖，在4ABC和匕 A B' C'中，LA=L A' , Z B=Z B'.求證：4ABS A' B C證明：在 ABC的邊AB （或它的延長線）上截取 AD=A B',過點(diǎn)D作BC的平行線， 交AC于點(diǎn)E,則/ ADEh B, / AED至 C,AD AE任=至（平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例） AB AC過點(diǎn)D作A

2、C的平行線，交 BC與點(diǎn)F,則AD CFCD = CF （平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例）AB CBAE CF 二 AC CB DE/ BC,DF/ AC, 四邊形DFC比平行四邊形.DE=CF.AE:AC=DE:CBAD AE DE = .AB AC BC而 / ADEh B, / DAE之 BAC,Z AED4 C, . AD曰 ABC. . /A=/ A'，/ADE玄 B=Z B' ,AD=A' B', .AD曰 A B' C'. .AB6 A B' C'.要點(diǎn)詮釋：證明這個定理的正確性， 是把它

3、轉(zhuǎn)化為平行線分線段成比例來證明的，注意轉(zhuǎn)化時輔助線的做法.要點(diǎn)二、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似已知，在ABC、A B' C'中，LA=L AABACA'B'A'C'求證：ABSA B' C證明：在 ABC的邊AB （或它的延長線）上截取 AD=A B',過點(diǎn)D作BC的平行線, 交AC于點(diǎn)E,則/ B=Z ADE,/ C=Z AED,ABS ADE（兩角分別相等的兩個三角形相似）.ABADACAEABA'B'ACA'C',AD=A' B'AB ACAD - A'C

4、9;AC ACAE - A'C'.AE=A' C'.ABSXA B' C .要點(diǎn)詮釋：利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過添設(shè)輔助線，將未知的判定方法轉(zhuǎn)化為 已知兩組角對應(yīng)相等推得相似或已知平行推得相似的.AB _ BC _ ACA'B' - B'C' - A'C'要點(diǎn)三、三邊成比例的兩個三角形相似 已知：在 ABC和AA' B' C'中,求證： ABS、A B' C'.證明：在 ABC的邊AB, AC （或它們的延長線）上截取AD=A B' ,AE=A' C

5、,連接 DE.AB ACA'B' A'C'AB AC,AD=A B' ,AE=A' c ,AD AE而/ BAC4 DAE,ABS ADE（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似AB BC).AD又也A'B'ABADBCDEBCBC'' BCB'C'BCAD= A' B',DE B'C'DE=B C , . .AD珞 A' B' .ABS A' B'【典型例題】類型一、兩角分別相等的兩個三角形相似、在 ABC 中，/A=60°

6、, BDL AC 垂足為 D, CEL AB,垂足為E,求證：AAD曰AABC【思路點(diǎn)撥】由BDL AC, CEL AB得到 AE6 AADtB則 螞國,利用比例性質(zhì)得AD把判定方法即可得到結(jié)論.【答案與解析】證明： BDL AC CEL AB,/AECW ADB=90 ,而 / EACW DAB.AE6 AADB,AE AC而一而,AE AD/ AECW ADB=90 ,禾U 用/ EACW DAB 可判斷些血,加上/ EAD= CAB根據(jù)三角形相似的AC ABAC皿/ EADW CAB .AD曰 AABC【總結(jié)升華】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似；有兩組對應(yīng)邊

7、的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等.舉一反三【變式】如圖， ABC是等邊三角形，點(diǎn)D, E分別在BC、AC上，且/ ADE=60 ° , 求證：BD?CD=AC?CE.【答案】證明：. ABC是等邊三角形，/ B=/ C=60° , AB=AC, / B+Z BAD=Z ADE+Z CDE, / B=Z ADE=60 / BAD=Z CDE,即 BD?CD=AC?CE;S已知，RfABC-ACB=90，點(diǎn)H在AC上，且線段M AB于D, BC的延長線與DH的延長線交于點(diǎn) E,求證：AH8AEBD【思路點(diǎn)撥】 首先利用三角形的內(nèi)角和定理證明：/ A

8、=Z E,再有垂直彳#到90。的角,/ADH= ACB=90 ,從而證明： AH8 EBD【答案與解析】證明：: HDL AB于D,/ ADH=90 ,. A+/ AHD=90 , . /ACB=90 ,. E+/ AHD=90 , / A=Z E, /ADHW ACB=90 , .AHm AEBD【總結(jié)升華】 考查了垂直定義、 三角形內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定方法：兩角法：有 兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.類型二、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似、如圖，在正方形 ABCD43, E、F分別是邊 AD CD上的點(diǎn),AE=ED, DF=，DC，連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn) G.(1

9、)求證： ABm ADEF(2)若正方形的邊長為 4,求BG的長.【思路點(diǎn)撥】=,根據(jù)有兩邊對AB DE應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得 ABmADEF(2)根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得 BG的長.【答案與解析】(1)證明：.ABCD為正方形，AD=AB=DC=BC A=Z D=90 , .AE=EDAE_1ABE .DF= DC 4 史IE 1-2 d-d DFDEae-ae .ABm ADEF(2)解：.ABCD為正方形，ED/ BG二上CGFF'又.DF=1dC正方形的邊長為 4, 4ED=2 CG=6.BG=BC+CG=.10、正方【總結(jié)升華】 考查了相

10、似三角形的判定(有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似)形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.舉一反三【變式】(2015?隨州)如圖，在 4ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不 能判斷aABCsAED的是()B . / ADE= / Cc AD_ ACC =AE ABD.旭=擔(dān)AB AC【答案】D;提示：/ DAE= / CAB , 當(dāng)/ AED= / B 或/ ADE= / C 時，4ABCAED ;當(dāng) 包二氈時 ABCsAED.AC AB故選D.、（2014秋？揭西縣校級期末）如圖，F(xiàn)為平行四邊形 ABCD的邊AD的延長線上的【答案

11、與解析】 解：設(shè)BE=x,一點(diǎn)，BF 分別交于 CD、AC 于 G、E,若 EF=32, GE=8 ,求 BE .EF=32 , GE=8,FG=32 - 8=24,. AD / BC, AFEACBE,. BF-AF =,EB BC，則：=F二開BC BC . DG / AB , . DFGACBG ,=-代入BC 8+x32 24 d=+ix 8+x解得：x=±6 （負(fù)數(shù)舍去）， 故 BE=16 .【總結(jié)升華】此題主要考查了相似三角形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，得出 DFGscbg是解題關(guān)鍵.舉一反三【變式】如圖，在4X3的正方形方格中， ABC和 DEC的頂點(diǎn)都在邊長為 1的小正

12、方形的 頂點(diǎn)上.(1)填空：Z ABC=° , BC=;(2)判斷 ABC與 DEC是否相似，并證明你的結(jié)論.【答案】 解：(1) /ABC=135 , BC=2也(2)相似；衣=疹不二R5, ec=/i+i=V2；. AB 2 r- BC 2V2 r.，理黑CE DE又 / ABCW CED=135 ,.AB6 ADEC類型三、三邊成比例的兩個三角形相似/ 5、已知：正方形的邊長為1(1)如圖，可以算出正方形的對角線為 ,求兩個正方形并排拼成的矩形的對角線長, n個呢？0二(2)根據(jù)圖，求證 BC曰ABEDB C Da BCD(3)由圖，在下列所給的三個結(jié)論中，通過合情推理選出一個

13、正確的結(jié)論加以證明，1. / BEC廿 BDE=45 ; 2. / BEC廿 BED=45 ; 3. / BEC廿 DFE=45【思路點(diǎn)撥】(1)主要是根據(jù)勾股定理尋找規(guī)律，容易在數(shù)據(jù)中找到正確結(jié)論；(2)在每個三角形中，根據(jù)勾股定理易求出每條邊的長度，可利用三組邊對應(yīng)成比例，兩 三角形相似來判定；(3)欲證Z BEC+ DFE=45 ,在本題中等于 45°的角有兩個， 即/AEB和/BEF所以在證 明第三個結(jié)論時，需把這兩個角想法轉(zhuǎn)移到已知的一個角中去，利用等腰梯形的性質(zhì)求解即可.【答案與解析】解：(1)由勾股定理知，在第一個圖形中，對角線長=&二行:1,第二個圖形中，對角線長 =后標(biāo)飛，第三個圖形中，對角線長 =反二1呼+所以第