高一數(shù)學《平面向量》復習知識點

1、1向量有關概念：(1) 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？(向量可以平移)。如已知A (1,2), B (4,2),貝U把向量 AB按向量a =(- 1,3)平移后得到的向量是 (2) 零向量：長度為0的向量叫零向量，記作： 0,注意零向量的方向是任意的；(3) 單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是._AB )；_|AB|(4) 相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；(5) 平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：

2、 a / b，規(guī)定零向量 和任何向量平行。提醒： 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線 ，但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性！(因為有0)； 三點A B、C共線二AB、AC共線；(6) 相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。如下列命題：(1) 若 a=b，貝U a =b。(2) 兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。(3) 若AB =DC，則ABCD是平行四邊形。(4) 若ABCD是平行四邊形，則 AB = DC。(5) 若 a =b,b =c，則 a

3、 =c。(6) 若a/b,b/c，則a"/C。其中正確的是 2、向量的表示方法：(1) 幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點在前，終點在后；(2) 符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a , b , c等；(3) 坐標表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i , j為基底，則平面內(nèi) 的任一向量a可表示為a=xi yj = x, y，稱x,y為向量a的坐標，a = x, y叫做向量a的坐標表示。如果向量 的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。3. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平

4、面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù) 1、12，使 a= e1 + '2 e2°女口( 1)若 a =(1,1),b = (1,_1),c = (1,2)，則 c=(2) 下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A. 8 =(0,0), e2 =(1, -2) B. e =(-1,2),e2 =(5,7) C. 8 =(3,5), e2 =(6,10) D. e = (2,-3),倉=(,-)24(3) 已知AD,BE分別是 MBC的邊BC,AC上的中線,且 AD=a,BE=b，則BC可用向量a,b表示為(4)已知=ABC中，點D在BC邊上，且CD=2 DBCD = r AB

5、 sAC，貝U r s 的值是24、 實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作 a，它的長度和方向規(guī)定如下：(1杠a =卩a ,(2)當X>0時，九a的方向與a的方向相同，當 入<0時，九a的方向與a的方向相反，當 h = 0 時，九a = 0，注意：九a豐0。5、平面向量的數(shù)量積：(1)兩個向量的夾角：對于非零向量a , b，作OA = a,OB = b，乙AOB =-0 -二稱為向量a, b的夾角，當二=0時,a , b同向，當二=二時，a, b反向，當二=時，a , b垂直。2(2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a, b，它們的夾角為v ,我們把數(shù)量|a|b|co

6、sv叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積)，記作：a *b，即a.b = a b cos日。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。女口( 1 ) ABC 中，|忌|=3, |AC|=4, |BCh5，則 AB B=(2) 已知 a =(1,l),b =(0,-l),c = a - kb,d =a-b , c與 d 的夾角為一，則 k 等于2- - 2- -4(3) 已知 a=2, b=5,a蟲=3，貝y a +b 等于(4) 已知a,b是兩個非零向量，且 a = b = a b，則a與a + b的夾角為(3) b在a上的投影為|b|cosr，它是一個實數(shù)，但不一

7、定大于 0。如已知|孑=3 , |命=5，且= 12，則向量；在向量b上的投影為 (4) ab的幾何意義：數(shù)量積 a b等于a的模|a|與b在a上的投影的積。(5 )向量數(shù)量積的性質(zhì)：設兩個非零向量a , b，其夾角為二，則： a _ b= a =0； 當a , b同向時，a b = a b，特別地，a =aa = a, , a = J了 ；當a與b反向時，a b =- a b ； 當n為銳角時，a * b > 0,且a、b不同向，a b 0是二為銳角的必要非充分條件； 當二為鈍角時，ab < 0，且a、b 不反向，a b : 0是二為鈍角的必要非充分條件；非零向量a, b夾角的計

8、算公式:COSTa *ba b |a *b|a|b|。如(1)已知a =(九,2k) , b =(3扎2)，如果a與b的夾角為銳角，貝U丸的取值范圍是 1 . 3丿(2)已知AOFQ的面積為S，且OF FQ =1 ,若一<S £二，則OF,FQ夾角日的取值范圍是(答:2 2n n(42)；_.一(3)已知a =(cosx,sinx), b =(cosy,siny), a與 b之間有關系式ka +b =kb,其中 k >0，用 k 表示 a b；2求a b的最小值，并求此時a與b的夾角皿大小(答：a° ；最小值為寸i = 60 )6、向量的運算：(1)幾何運算：

9、向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加_L法還可利用“三角形法則”：設AB二a,BC二b，那么向量 AC叫做a與b的和，即a b二AB BC二AC ；'直I 向量的減法：用“三角形法則”：設AB二a,AC二b,那么a-b = AB-AC=CA，由減向量的終點指向被減向 量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。女口( 1 )化簡： AB+BC+CD=: ABADDC=； (AB CD) (AC BD)=(2) 若正方形 ABCD 的邊長為 1, AB 二 a,BC 二 b, AC 二 c，則 |a b c| =(3) 若O

10、是琴ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足 OB OC = OB +OC 2OA，則琴ABC的形狀為| ap |(4) 若D為 ABC的邊BC的中點， "BC所在平面內(nèi)有一點 P，滿足PA BP CP = 0,設JLAPJ = ,|PD|則入的值為(5) 若點O是厶ABC的外心，且 OA+OB+CO= 0,則厶ABC的內(nèi)角C為(2)坐標運算：設 a =(捲，yj,b 二(x2, y2)，則： 向量的加減法運算：a±b=(xi 士x2, % _ y2)。女口( 1)已知點A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若Ah = AB+扎疋他 R)，則當九=時，點P在第一、三象限的角

11、平分線上1 雹 雹(2) 已知 A(2,3), B(1,4),且一AB=(sinx,cosy)，x,yN=, = )，則 x + y=2 2 2(3) 已知作用在點A(1,1)的三個力吒=(3,4),F2=(2,_5),F3=(3,1)，則合力 F1F2F3的終點坐標是 (答:( 9,1) 實數(shù)與向量的積：N,% =x1, y1 ° 若A(x-), y1), B(x?, y2)，則AB = (x2 -xi, y2 - y1)，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐A i=-» 標減去起點坐標。如設 A(2,3), B(_1,5)，且AC =AB，AD =3AB，

12、貝U C、D的坐標分別是 3 平面向量數(shù)量積：a b = NX2 + %y2。如已知向量 a =( sinx，cosx) , b =( sinx，sinx) , c =( - 1， 0)。31(1)若x=，求向量a、c的夾角；(2)若x ,，函數(shù)f (x) =，a b的最大值為一，求，的值384一2 向量的模：|a|=.、x2y2,a =|a|2 = x2，y2。如已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么| a 3b| =兩點間的距離：若A(x1y1 B x 2y 2 )，則| AB |=x2 為(十(y2 % )2。如如圖，在平面斜坐標系xOy中， .xOy =60，平面上任一點P關于

13、斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若 OP = xq ，其中0,分別為與x軸、y 軸同方向的單位向量，貝U P點斜坐標為(x, y)。(1) 若點P的斜坐標為(2，- 2)，求P到O的距離丨PO |；(2) 求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系 xOy中的方程。；7、向量的運算律：(1) 交換律：a b a，咒：；：.La = J a， ab=ba ;(2) 結(jié)合律： a b c 二 a b c, a -b -c 二 a -b c ， = a *b = a *b = a * b ;(3) 分配律：ij. " a = - a Ja a b = a 一 /，b， a b *c b*c。如下列

14、命題中： ' ' 2-2|a| |b|b| ；2 ； 2 a(b c)=ab ac : a(bc)=(ab) c : (ab) =|a|2 2若 a b = 0，貝y a=0 或 b=0 ；若 a b 二 c b,則 a = c ； ® a 二 a :2 2 2 - - _2(a b) =a b :(a -b) =a -2a b b。其中正確的是 提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以 一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向 量不能相除(相約)

15、；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b *cp" (a «b)c，為什么？8、向量平行(共線)的充要條件：如若向量a =(x,1),b =(4,x)，當x =(2)(3)已知 a =(1,1),b =(4,x)，fcnr-|設 PA =(k,12),PB =(4,5), PC =(10,k)，則 k =向2 2a/b= a = b u (a b) (|a |b|)xy _ y1x2 = 0°時a與b共線且方向相同u=a+2b， v=2a+b，且 u/v，貝U x=時，A,B,C共線ACAC條件：a_b=ab二 0= | a b |=|a -b |二 X1X2

16、y2 =0特5如(1)已知 OA =(-1,2), OB =(3,m)，若 OA _OB，貝U m = (2)以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，- B =90，則點B的坐標是6(3)已知n = (a,b),向量n丄m，且n = m，貝U m的坐標是x x21 力y2，1 - x1x2特別地，當 = 1時，就得到線段p,p2的中點公式x2y1 y2。在使用定比分點的坐標公式時，應明確(X, y),10.線段的定比分點：(1) 定比分點的概念：設點 P是直線P1 P2上異于P1、P2的任意一點，若存在一個實數(shù)，使RP = PP2，則 人叫做點P分有向線段RP；所成的比，P點叫

17、做有向線段 RP；的以定比為人的定比分點；(2) ，的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段P1 P2上時 >0;當P點在線段P1 P2的延長線上時：= <- 1;當P點在線段P2 P1的延長線上時二_1：一 ：0 ;若點P分有向線段pp2所成的比為 九，則點P分有向線段F2P所成的比為-。如若點P分AB所成的比為3，則A分BP所成的比為4-x =(3)線段的定比分點公式： 設Rgy)、F2(x2,y2) , P(x,y)分有向線段PP2所成的比為九，則7(3)已知n = (a,b),向量n丄m，且n = m，貝U m的坐標是#(3)已知n = (a,b),向量n丄m，且n =

18、 m，貝U m的坐標是(捲畀)、(X2,y2)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據(jù)題設條件，靈活地確定起點，分 點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比 o如(1 )若 M (-3,-2),1 jN (6, -1)，且 MP= MN3，則點P的坐標為#(3)已知n = (a,b),向量n丄m，且n = m，貝U m的坐標是1(2)已知A(a,0), B(3,2 a)，直線yax與線段AB交于M，且AM =2MB，則a等于211.平移公式：如果點P(x, y)按向量a=h,k平移至P(x, y )，則x二x h ；曲線f(x,y)=o按向量a=h,k y=y k平移得曲線f(x

19、-h, y-k)=0.注意：(1)函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了??！女口( 1)按向量a把(2,3)平移到(1,-2)，則按向量a把點(7,2)平移到點 >T(2)函數(shù)y=sin2x的圖象按向量 a平移后，所得函數(shù)的解析式是y=cos2x + 1，則a =12、向量中一些常用的結(jié)論：(1) 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；(2) |a |-|b|_|a b|_|a | |b|，特別地，當 ab 同向或有 0 二 |ab|=|a|b|X|a|b|=|ab| ;當 a、b 反 向或有 0= |a b|=|a 廣 眩&qu

20、ot;|口 =冷+2 當 a、b 不共線 | a 4 b| ：冷-小：a (這些和實數(shù)比較類似)(3 )在 ABC中，若A X1,y, ,B x?, y? ,C 沁乂，則其重心的坐標為 G人乂2 x3, % y2 y3 。如 k 33/若"ABC的三邊的中點分別為(2, 1)、(-3 , 4)、(-1 , -1 ),則"ABC的重心的坐標為 """fc _!MWte PG=1(PA PB PC) = G為 ABC的重心，特別地 PA PB PC = 0= P為 ABC的重心； PA 卩B =PB PC =PC PA= P 為 ABC 的垂心；向

21、量-AC) -0)所在直線過 ABC的內(nèi)心(是.BAC的角平分線所在直線)；|AB| |AC|8 | AB|PC |BC| PA |CA|PB =0二 P ABC 的內(nèi)心;(3)若P分有向線段RP2所成的比為九，點M為平面內(nèi)的任一點，貝U MP_MPl +' MF2，特別地P為RF2的中1+丸占八、MP 二MP1 MP2 ；;2(4)向量PA PB、PC中三終點A、B、C共線二存在實數(shù)八:使得PA= PBPC且:-=1 .如平面直9#角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1) , B(_1,3),若點C滿足0C二 1 O 2 OB ,其中，七.R且人+九2 =1,則點C的軌跡是 (答：直線AB1 已知O,A, B是平面上的三個點，直線 AB上有一點C，滿足2AC C 0，貝U 0C =()A A "J.A. 2OAOBB.-0A 20B C. -0A 0B D. -0A -OB33332設 a =(1, -2)