1平面向量的概念及線性運算--教師.

1、第1講 平面向量的概念及線性運算【高考會這樣考】1. 考查平面向量的線性運算.2 考查平面向量的幾何意義及其共線條件.基礎(chǔ)梳理1 .向量的有關(guān)概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫向量：向量的大小叫做向量的模.(2) 零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的.(3) 單位向量：長度等于1個單位的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定： 0與任一向量 共線.(5) 相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6) 相反向量：長度相等且方她反的向量.2. 向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則fit平行四邊形法則(1)交換律： a+ b

2、= b+ a.(2)結(jié)合律： (a+ b) + c= a+ (b+ c)減法求a與b的相反向 量一b的和的運算 叫做a與b的差1JLI三角形法則f>a b= a+ ( b)3向量的數(shù)乘運算及其幾何意義(1)定義：實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作a它的長度與方向規(guī)定如下： 閃匸丨洞； 當(dāng)A>0時，la與a的方向相同;當(dāng) X 0時，2a與a的方向相反;當(dāng)k= 0時,也=0.(2)運算律：設(shè)入卩是兩個實數(shù)，則 X 困)=(X)(a:(入+ )a= 2a+ 冋 Xa+ b) =?b.4.共線向量定理向量a(a 0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù) X使得b=

3、X.一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量. 終點的向量.兩個防范(1)向量共線的充要條件中要注意 “a0”，否則X可能不存在，也可能有無數(shù)個. 證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的 區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量 平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.雙基自測1. D是厶ABC的邊AB上的中點，則向量CD等于() 1 A. 一 BC + qBA1 b.- bc-2bac.Bc-2bAD.BC + qBA解析如圖，cd = CB+ bD=CB+2§A= - BC

4、+|eba.2判斷下列四個命題：若 a/ b,則 a= b；若 |a| = |b|，則 a= b；若 |a| = |b|，則 a/ b；若 a= b，則|a匸|b|正確的個數(shù)是().A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析只有正確.3. 若O, E, F是不共線的任意二點，貝U以下各式中成立的是 ().A. EF = OF + OE B.EF= OF OEC.EF = -OF+ OE D.EF = -OF OE解析 eF=e6+oF=of OE.4. 如圖，正六邊形 ABCDEF 中，BA+ CD+ E>=().A. 0B.BECADD.CF解析 BA+ CD + EF = DE+ C

5、D + EF = CE+ EF = Cf.5. 設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量 a+ 1b與2a b共線，則 A解析由題意知:a+ 1= k(2a b)，則有:1 = 2k，=k，k= 1k 2，1= *考向一平面向量的概念【例1】？下列命題中正確的是().A. a與b共線，b與c共線，則a與c也共線B. 任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C. 向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D. 有相同起點的兩個非零向量不平行審題視點以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明其正確與否.解析 由于零向量與任一向量都共線，所以 A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量 是自由向量，所以兩個相等

6、的非零向量可以在同一直線上， 而此時就構(gòu)不成四邊 形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關(guān)， 所以D不正確；對于C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手 考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個是零向量，而由零向 量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共 線，則a與b都是非零向量，故選C.44 解決這類與平面向量的概念有關(guān)的命題真假的判定問題，其關(guān)鍵在于 透徹理解平面向量的概念，還應(yīng)注意零向量的特殊性，以及兩個向量相等必須滿 足：模相等；(2)方向相同.【訓(xùn)練1】 給出下列命題： 若A, B, C, D是不共線的四

7、點，貝U AB= DC是四邊形ABCD為平行四邊形的 充要條件； 若 a= b， b= c，貝U a= c； a= b的充要條件是|a匸|b且 a/ b； 若a與b均為非零向量，則|a+ b|與|a|+|b|定相等.其中正確命題的序號是.解析 正確，錯誤.考向二平面向量的線性運算【例2】？如圖，D，E，F(xiàn)分別是 ABC的邊AB，BC，CA的中點，則().A.AD+ BE+ CF= 0b.Bd-CF + DF = 0c.Ad + Ce- Cf= 0d.Bd - Be-FC = o審題視點利用平面向量的線性運算并結(jié)合圖形可求.解析 AB+ BC + CA= 0,二 2AD + 2BE+ 2CF=

8、0，即 AD+BE+ CF= 0.三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法，共起點的 向量，和用平行四邊形法則，差用三角形法則.【訓(xùn)練2】 在厶ABC中，AB = c，AC = b,若點D滿足BD = 2DC,則AD =a 21A3b+ 3cCfb- 3c12D3b+3c解析 BD= 2DC，二 AD- AB= 2(AC- ad), 3AD = 2AC + aB AD = |aC+ 3ab = |b+*c.考向三 共線向量定理及其應(yīng)用【例3】？設(shè)兩個非零向量a與b不共線.若= a+ b, BC = 2a+ 8b, CD = 3（a b）.求證：A, B, D三點共線；（2）試確定實數(shù)

9、k,使ka+ b和a+ kb共線.審題視點（i）先證明ab, bd共線，再說明它們有一個公共點；（2）利用共線向量 定理列出方程組求k.（1）證明 AB = a+ b, BC = 2a+ 8b, CD = 3（a b）.二 BD= BC+ CD = 2a + 8b+ 3（a b）= 5（a+ b） = 5AB. AB, BD共線，又它們有公共點， A, B, D三點共線.解 t ka+ b與a+ kb共線，存在實數(shù)入使ka+ b= ?（a+ kb）,即（k入 a=（入1）b.又a, b是兩不共線的非零向量， k A 入 k 1 = 0. k2 1 = 0. k= ±.1空耳活泊平行向

10、量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線， 也可以由向量共線求參數(shù)利用兩向量共線證明三點共線要強調(diào)有一個公共點.【訓(xùn)練3】（2011蘭州模擬）已知a,b是不共線的向量，AB=尬+ b,AC= a+ Q（入 直R），那么A, B, C三點共線的充要條件是（）.A. ?+尸 2B. ?尸 1C.入=一 1D.入話1解析 由AB= 2a+ b, AC = a+由（入氏R）及A, B, C三點共線得：AB = t AC,"x= t,所以2a+ b= t（a+（b）= ta +1 b 即可得所以入=1.故選D.t ,難點突破一一有關(guān)平面向量中新定義問題解題策略從近兩年課改區(qū)高考試題

11、可以看出高考以選擇題形式考查平面向量中新定義的問題，一般難度較大這類問題的特點是背景新穎，信息量大，通過它可考查學(xué) 生獲取信息、分析并解決問題的能力.解答這類問題，首先需要分析新定義的特 點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚， 然后應(yīng)用到具體的解題過程之中， 這 是破解新定義信息題難點的關(guān)鍵所在.a= (m， n)，b【示例1】定義平面向量之間的一種運算如下：對任意的=（p，q），令a©b= mq np，下面說法錯誤的是（）.A .若a與b共線，貝U a© b= 0B. a© b= b© aC.對任意的疋R,有(耳©b=Xa©b)D

12、.(a©b)2 + (ab)2=|af|bf*關(guān)鍵條件：心b=眄一呼”選的是錯i吳的)*逐一臉算aG b = ”巧一沖戶,b1a = 扭、如卄.只有當(dāng):啊-理=0時，0.0 b = Jj®扣敢E鐘課本題中的定必運算較易理解，但運算量較大. 注意細心認真【示例2】? （2011山東）設(shè)Ai, A2, A3, A是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，_鄉(xiāng)_鄉(xiāng)_鄉(xiāng)_鄉(xiāng)1 1若AA3= AA2（入 R）， AA4=小識2（卩 R），且）+匚=2，則稱 A3， A4調(diào)和分割A(yù)1, A2.已知平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B,則下列說法正確的是（）.A. C可能是線段AB的中點B. D可能

13、是線段AB的中點C. C、D可能同時在線段AB上D. C、D不可能同時在線段 AB的延長線上（4sJ）弁清仏岡和井割.,血的前提雖忤苦A逾立.則A = £, + = 0.不可能.同J3E也不可能，若匚戰(zhàn)立，則O<A<1-且 QU pV 1, AE,不感立：2P若D同時在賤段乜的延任線上時,A>1.且C篁故D星囲矗浜示匾至亟斤花亍麗;二蔓A-'r()一七四査共饗二哄-嗣練習(xí)題:a = b，則a = b;若A、B、C、D是不共線的四點，貝U AB = DC a =b, b=c，則a = c :a = b的充要條件是1出下列命題：若是四邊形為平行四邊形的充要條件；

14、若a = b且a / b ；若a / b , b / c，貝U a / c。其中，正確命題材的序2.化簡 7CAB得0號是3在四邊形 ABCD 中，AB =a+2b, BC= 4a b, CD =邊形ABCD為梯形4如圖，設(shè)點P、Q是線段AB的三等分點,若 OA = a, OB = b,則 OP = - a 1 b33 '1 2OQ = 3 a 3 b (用 a、b表示）5 已知任意四邊形 ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F,求證：AB， DC'=2EF 證明：如圖，連接 EB和EC，AB =EB 和 EF FB =EB 可得,由 ED DC = EC 和 EF FC =

15、 EC 可得,ED DC 二 EF FC(2)(1) + (2)得,EA ED AB DC= 2EF FB FC(3)T T T T T 呻/ E、F 分別為 AD 和 BC 的中點， EA ED = 0 , FB FC = 0 ,代入（3）式得,DC =2EF6已知OA, OB不共線,OP= aOA bOB，求證:A,P,B三點共線的充要條件是三點共線，則存在實數(shù)AB 即解：先證必要性：若A,P,BOP -OAOB -OA示OAOB, 使得OP 二 aOA bOBa =17., b = , a b =1.再證充分性：若T T Ta b =1.則 AP =OP -OA= a -1bOB =b

16、OB - OA =bABAP與AB共線， A,P,B三點共線.7.已知向量a和b反向，則下列等式成立的是(C)A. |a| -|b|=|a b|B.|a|-|b|=| a+b|C.|a|+|b|=|ab|D.|a|+|b|=| a+b|A.平行四邊形8設(shè)四邊形ABCD中，有B.矩形C.等腰梯形C)D.菱形9設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡: T T T AB BC CD ,t T T DB AC BDr t r t -OA-OC OB -CO。解析:原式=（AB BC）CD.Ao C.AD； 原式=(DB BD) AC J/AC ； 原式=(OB -OA) (-OC -CO) =AB -(OC CO) = AB 0 = AB。10.設(shè)x為未知向量，1a、b為已知向量，x滿足方程2 x -(5 a +3 x -4 b)+ a -3 b =0,29則x = a b (用a、b表示)211.在四面體O-ABC中，OA = a,OB =b,OC = C,D為BC的中點，E為AD的中點，則111OE = -