考研數(shù)學(xué)三-243_真題(含答案與解析)-交互

1、考研數(shù)學(xué)三 -243( 總分 150,做題時(shí)間 90 分鐘)一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè) f(x)在 x=1 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且則 x=1 是 f(x) 的?a. 不可導(dǎo)點(diǎn)?b. 可導(dǎo)點(diǎn)但不是駐點(diǎn)?c. 駐點(diǎn)且是極大值點(diǎn)?d. 駐點(diǎn)且是極小值點(diǎn)sss_simple_sinabcd分值: 4答案:c 考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)、駐點(diǎn)、極值的定義與未定式的極限 解析先利用等價(jià)無窮小代換及四則運(yùn)算簡(jiǎn)化未定式極限，再利用導(dǎo)數(shù)、駐點(diǎn)及極值的定義判定得結(jié)果22解：因?yàn)?f(x)在 x=1 連續(xù)，所以，由知，即f(1)=0 則當(dāng) x0， lnf(x+1)+1+3sin推得于是所以 x

2、=0 是 f(x)的駐點(diǎn) 又由，以及極限的保號(hào)性知x f(x+1)+3sinx，當(dāng)時(shí)，即 f(x)0，也就是 f(x) f(1) 所以 f(1) 是極大值 x=1 是極大值點(diǎn)故應(yīng)選 c2.設(shè)在區(qū)間 a ，b 上， f(x)0，f'(x) 0， f"(x)0，令則?* s2 s3?* s1 s3?* s1 s2* s3 s1sss_simple_sinabcd分值: 4答案:b 考點(diǎn)定積分的不等式性質(zhì)及幾何意義，曲線單調(diào)性及凹凸性的判定 解析首先判定函數(shù)的單調(diào)性及凹凸性，然后用定積分的不等式性質(zhì)或幾何意義即得結(jié)果解法一：由 f'(x)0，f"(x) 0 知曲線

3、 y=f(x) 在a ， b 上單調(diào)減少且是凹的，于是有于是而所以， s2 s1 s3 故應(yīng)選 b解法二：利用定積分的幾何意義因曲線 y=f(x) 在a ， b 單調(diào)減少且是凹的，如下圖所示，由定積分的幾何意義知曲 線 梯 形 abcd 的 面 積 ， s2=f(b)(b-a)=矩形 abce的面積，s3=f(a)+f(b)(b-a)=直邊梯形 abcd的面積，又因矩形 abce曲邊梯形 abcd直邊梯形 abcd，所以 s2s1 s3故應(yīng)選 b3.設(shè)函數(shù) z=z(x ，y) 由方程確定，其中 f 為可微函數(shù)，且 f' z0，則 ?*?*?*sss_simple_sinabcd分值:

4、4答案:c 考點(diǎn)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 解析利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法即可求得解：方程兩邊關(guān)于 x 求偏導(dǎo)數(shù)，注意 z 是 x，y 的函數(shù)，得解得方程兩邊關(guān)于 y 求偏導(dǎo)數(shù)，得解得于是， 故應(yīng)選 c4.3設(shè) d是由直線 x=-1 ，y=1 與曲線 y=x 所圍成的平面區(qū)域， d1 是 d在第一象限的部分，則 i=a. bcd 0sss_simple_sinabcd分值: 4答案:b 考點(diǎn)二重積分的對(duì)稱性質(zhì) 解析根據(jù)二重積分的可加性和對(duì)稱性結(jié)論可得解：積分區(qū)域 d如下圖所示，被分割成 d1， d2， d3 ，d4 四個(gè)小區(qū)域，其中 d1， d2 關(guān)于 y 軸對(duì)稱， d3，d4 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，從而由于

5、xy 關(guān)于 x 或 y 都是奇函數(shù)，則x2而 e siny 關(guān)于 x 是偶函數(shù)，關(guān)于 y 是奇函數(shù)，則所以故應(yīng)選 b5.*設(shè) 1 ， 2， 3 ， 4 是四維非零列向量， a=( 1， 2， 3， 4) ， a 為 a 的伴t*隨矩陣，又知方程組 ax=0 的基礎(chǔ)解系為 (1 ，0，2，0)系為?a. 1， 2， 3?b. 1+ 2 ， 2+ 3 ， 3+ 1?c. 2， 3， 4 或 1， 2， 4?d. 1+ 2 ， 2+ 3 ， 3+ 4， 4+ 1sss_simple_sinabcd分值: 4，則方程組 ax=0 基礎(chǔ)解答案:c 考點(diǎn)方程組的基礎(chǔ)解系理論 解析首先確定 a 秩，進(jìn)而確定

6、 a* 的秩；利用 a 與 a* 的關(guān)系及已知條件即可判別*解：由 ax=0 的基礎(chǔ)解系僅含有一個(gè)解向量知， r(a)=3 ，從而 r(a是方程組 a x=0 的基礎(chǔ)解系中含有 3 個(gè)解向量* )=1 ，于*又 a a=a( 1 ， 2， 3 ， 4)=|a|e=0 ，所以向量 1 ， 2， 3 ， 4 是方程組 ax=0 的解t因?yàn)?1 ，0，2， 0) 是 ax=0的解，故有 1+23 =0，即 1 ， 3 線性相關(guān)從而，向量組 1 ， 2， 3 與向量組 1， 2， 3， 4 均線性相關(guān)，故排除 a、b、d 選項(xiàng)事實(shí)上，由 1+2 3=0，得 1=0x2- 2 3+0 4，即 1 可由

7、2， 3， 4線性表示，又 r( 1， 2， 3， 4)=3 ，所以 2， 3， 4 線性無關(guān)，即 2，* 3， 4 為 a x=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 故應(yīng)選 c6.設(shè) a，b 為 n 階矩陣，下列命題成立的是?* 與 b 均不可逆的充要條件是ab不可逆?*(a) n 與 r(b) n 均成立的充要條件是r(ab) n?*=0 與 bx=0同解的充要條件是 a與 b等價(jià)* 與 b 相似的充要條件是 e-a 與 e-b 相似sss_simple_sinabcd分值: 4答案:d 考點(diǎn)矩陣可逆、同解、相似矩陣的基本結(jié)論 解析通過舉反例排除 a、b、c解： a與 b類似，故均錯(cuò)誤，而 c僅是必要而非充

8、分條件，故應(yīng)選d 事實(shí)上，若 ab，則由相似矩陣的性質(zhì)知 e-ae-b；反之，若 e-ae-b，則 e-(e-a) e-(e-b) ，即 a b對(duì)于選項(xiàng) a，若 a與 b均不可逆，則 |a|=|b|=0 ，從而|ab|=|a|b|=0 ，即ab不可逆，但若 ab不可逆，推出 a與 b均不可逆，如 a=e，b=，則 ab=b不可逆，但 a 可逆對(duì)于選項(xiàng) b，與選項(xiàng) a相近，由于 r(ab) minr(a) ， r(b)，故若 r(a)n 與 r(b) n 均成立，則 r(ab) n但反之，若 r(ab) n，推不出 r(a) n 或 r(b) n，如 a=e， b=，則 r(ab)=r(b)=1

9、2，但 r(a)=2 對(duì)于選項(xiàng) c，由同型矩陣 a與 b等價(jià) r(a)=r(b)可知，若 ax=0 與 bx=0 同解，則 a 與 b 等價(jià)；但反之不然，如a=，b=，則 a，b 等價(jià)，但 ax=0與 bx=0顯然不同解故應(yīng)選 d7.22設(shè)隨機(jī)變量 xn(， 4 ) ，y=n(， 5 ) ，記 p1=px -4 ，p2=py +5，則?a. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，有p1=p2?b. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，有p1p2?c. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，有p1p2?d. 對(duì) 的個(gè)別值，有 p1=p2sss_simple_sinabcd分值: 4答案:a 考點(diǎn)考查正態(tài)分布 解析化標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算解：由于，所以故 p1=p2，而且與

10、 的取值無關(guān) 故應(yīng)選 a8.設(shè)隨機(jī)變量 x 的概率密度為y表示對(duì) x的 3 次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)中事件發(fā)生的次數(shù)，則 py2=a. bcdsss_simple_sinabcd分值: 4答案:c 考點(diǎn)考查伯努利概型與二項(xiàng)分布 解析利用 f(x)求，然后利用二項(xiàng)分布求 py2) 解：故 py2=1 -py=3=1-故應(yīng)選 c二、填空題1.=sss_fill分值: 4答案: 考點(diǎn)未定式的極限 解析首先將“· 0”型未定式恒等變形指數(shù)化即化為以e 為底的指數(shù)函數(shù)，再對(duì)指數(shù)上面的未定式“ - ”型求極限即可解： 而所以，故應(yīng)填2.設(shè)，為連續(xù)函數(shù)，則 a=， b=sss_fill分值: 4答案: 考點(diǎn)

11、分段函數(shù)的連續(xù) 解析根據(jù)分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性即可求得a，b解：因?yàn)?f(x)為分段函數(shù)，且為連續(xù)函數(shù)，則f(x)在分段點(diǎn) x=0，x=1 均連續(xù)，即而則f(1)=a+b ，則 a+b=1解得故應(yīng)填3.函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù)為sss_fill分值: 4答案: 考點(diǎn)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 解析將函數(shù)表達(dá)式分解為常用函數(shù)的代數(shù)形式，利用常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開即可解：其中-1 x1 且-1 1，解得收斂域?yàn)?-1 x1 故應(yīng)填4.設(shè)某商品需求量 q是價(jià)格 p 的單減函數(shù) q=q(p)，其需求彈性，則總收益 r對(duì)價(jià)格 p 的彈性函數(shù)為sss_fill分值: 4答案: 考點(diǎn)彈性函數(shù) 解析先求出收益函數(shù)表達(dá)式

12、，再根據(jù)彈性函數(shù)定義求收益的彈性函數(shù)解： r=pq=pq(p，) 則 r'(p)=q(p)+pq'(p) ，由題意知，需求彈性，則收益對(duì)價(jià)格 p 的彈性函數(shù)為5.2設(shè) n 階方陣 a 與 b 相似， a=2e，則|ab+a-b-e|=sss_fill分值: 4答案:1 考點(diǎn)抽象行列式的計(jì)算2 解析將所求矩陣進(jìn)行整理，再利用條件求解 解： ab+a-b-e=(a-e)b+a-e=(a-e)(b+e) 又 a =2e，得(a-e)(a+e)=e 再由 a，b 相似，得 a+e和 b+e相似，從而 |a+e|=|b+e| 于是|ab+a-b-e|=|a- e| ·|b+e|

13、=|a - e| ·|a+e|=|e|=1 故應(yīng)填 16.2設(shè) x1，x2， x5 是取自正態(tài)總體 n(0， ) 的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若服從t 分布，則 a=sss_fill分值: 4答案:2 考點(diǎn)考查抽樣分布 解析利用 分布與 t 分布的定義得出結(jié)論 解：因?yàn)橄嗷オ?dú)立，由 t 分布定義，有三、解答題1.已知，且 f(0)=g(0)=0，試求答案:sss_text_qusti分值: 10解：由知，又 f(0)=0 ，代入 f(x)表達(dá)式得 c=0，故由，則又 g(0)=0 得 c1=0，知 g(x)=ln(1+x)于是因?yàn)楣十?dāng) x0時(shí)，所以， 考點(diǎn)“ - ”型未定式的極限與不定積分

14、解析首先利用不定積分確定函數(shù) f(x)與 g(x) ，然后求未定式的極限即可若沒有注意到 x0時(shí)， x，并用等價(jià)無窮小 x 代替時(shí)，而繼續(xù)用洛必達(dá)法則，則問題將變得非常煩瑣，導(dǎo)致不能給出正確結(jié)果2.計(jì)算不定積分答案:sss_text_qusti分值: 10解法一：設(shè) x=tant ，則又移 項(xiàng) 得 因此， 解法二：移項(xiàng)整理得 考點(diǎn)不定積分的計(jì)算 解析利用不定積分的換元積分法和分部積分法計(jì)算即可3.設(shè) f(x)在0 ，1 連續(xù)，在 (0 ， 1) 可導(dǎo)， f(0)=0 ，0f'(x) 1，x(0 ， 1) 證明：答案:sss_text_qusti分值: 10證：令易知 f(0)=0 ，且

15、 f(x) 在0 ，1 可導(dǎo)，則記，則 g(x) 在(0 ，1) 可導(dǎo)，即 g'(x)=2f(x)=2f(x)f'(x)=2f(x)1- f'(x)，由于 0f'(x)<1，x(0 ， 1) ，則 f(x)在0 ，1 內(nèi)遞增則當(dāng) 0x1時(shí)， f(x)f(0)=0 ，于是 g'(x)0，x(0 ， 1) ，則 g(x) 在0 ， 1 遞增， 即當(dāng) 0x1時(shí)， g(x) g(0)=0 ，所以，當(dāng) 0x1時(shí)， f'(x)=f(x)g(x)0，即 f(x) 在 0x1時(shí)遞增，故當(dāng) 0x1時(shí)， f(x) f(0)=0 ， 特別地，有 f(1) 0，即

16、所以 考點(diǎn)積分不等式證明 解析構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性理論證明f(x) 0，x(0 ， 1 即可 有些同學(xué)沒有想到構(gòu)造變上限積分作輔助函數(shù)，只是一心想著用定積分的計(jì)算方法和不等式性質(zhì)去證明，可能就陷于困局，證不出結(jié)論4.設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)，又因?yàn)?，且，?dāng) x0，求 f(x) 答案:sss_text_qusti分值: 10解：由， f 二階連續(xù)可導(dǎo)，知而由對(duì)稱性知?jiǎng)t令于是即， c1，c2 為常數(shù)由 f(1)=0 ，f'(1)=2，知故 考點(diǎn)二階微分方程與偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算及導(dǎo)數(shù)定義 解析首先通過計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)確定二階微分方程，根據(jù)極限及導(dǎo)數(shù)定義確定初始條件，最后化為二階微分方程求特解即得結(jié)果5.求冪級(jí)數(shù)

17、的收斂域及和函數(shù)答案:sss_text_qusti分值: 10解：，收斂半徑當(dāng) x=-1 時(shí)，原級(jí)數(shù)為收斂，當(dāng)x=1 時(shí)，原級(jí)數(shù)為收斂，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1 ，1 令，則于是則當(dāng) x0時(shí)，所以當(dāng) x=0 時(shí)， s(0)=0 ，當(dāng) x=1 時(shí)，原級(jí)數(shù)為 ( 用收斂的定義 ) ， 當(dāng) x=-1 時(shí)，原級(jí)數(shù)為故的和函數(shù)為 考點(diǎn)冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù) 解析利用公式求收斂半徑，確定收斂域，利用冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)求和函數(shù)常見錯(cuò)誤有以下情形：部分同學(xué)分不清“收斂域”和“收斂區(qū)間”，沒有討論端點(diǎn)的斂散性使用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) ( 逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo) ) 時(shí)，計(jì)算不仔細(xì)，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果有誤6.t設(shè) 1 ， 2， 3 ，

18、4， 為 4 維列向量， a=( 1， 2， 3， 4) ，若 ax= 的通解為 (-1 ， 1， 0，2)t+k(1 ，-1 ， 2， 0) ，則( ) 能否由 1， 2 ， 3 線性表示 ?為什么? ( ) 求 1， 2， 3， 4， 的一個(gè)極大無關(guān)組答案:sss_text_qusti分值: 11tttt解：( ) 假設(shè)可以，即 =k1 1+k22+k3 3，則(k 1，k2， k3 ，0) 是 ax= 的解從而(k 1，k2，k3， 0)解-(-1 ，1，0，2)=(k 1+1，k2-1 ，k3， -2)就是 ax=0的tt但是顯然 (k 1+1，k2-1 ， k3，-2)和(1 ，-1

19、 ，2，0) 線性無關(guān)所以 不可以由 1， 2， 3 線性表示( ) 因?yàn)?(-1 ，1，0，2) t 是 ax= 的解，則 =- 1+2+2 4t又因?yàn)?(1 ，-1 ， 2， 0) 是 ax=0的解，則 1- 2 + 3=0 所以， 和 3 都可由 1， 2， 4 線性表示又由 r( 1 ， 2， 3， 4， )=r( 1， 2， 3， 4)=3 ，所以， 1， 2， 4 是極大無關(guān)組 考點(diǎn)方程組的解與向量組的線性關(guān)系之間的聯(lián)系 解析 ( ) 利用反證法；( ) 由條件所給方程組的解，來確定向量之間的線性關(guān)系7.設(shè)二次型的正負(fù)慣性指數(shù)都是 1 ( ) 計(jì)算 a 的值；( ) 用正交變換將二

20、次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；( ) 當(dāng) x 滿足 xtx=2 時(shí)，求 f 的最大值與最小值答案:sss_text_qusti分值: 11解：( ) 二次型的矩陣為，則二次型的正負(fù)慣性指數(shù)都是1，可知， r(a)=2 ，所以 a=-2，或 a-1 ，又 a=1 時(shí)，顯然 r(a)=1 ，故只取 a=-2 ( ) 此時(shí)| e- a|=( +3)( -3) ，所以 a 的特征值是 3，-3 ，0t當(dāng) 1=3 時(shí)，解方程組 (3e-a)x=0 ，得基礎(chǔ)解系為 1=(1 ， 0， 1) ；t當(dāng) 2=-3 時(shí)，解方程組 (-3e-a)x=0 ，得基礎(chǔ)解系為 2=(1 ，-2 ， -1) ；t當(dāng) 3=0 時(shí)，解方程組 (0e-a)x=0 ，得基礎(chǔ)解系為 3=(1 ， 1， -1) 將 1， 2， 3 單位化得故有正交陣 考點(diǎn)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 解析先根據(jù)慣性指數(shù)求得 a，再求特征值及單位化的特征向量，將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，最后借助標(biāo)準(zhǔn)形求得f 的最值8.設(shè)箱中有 5 件產(chǎn)品，其中 3 件是優(yōu)質(zhì)品從該箱中任取 2 件，以 x 表示所取的2 件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)， y 表示箱中 3 件剩余產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品