圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用

1、.圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用尹建堂一、圓錐曲線的光學性質(zhì)圓錐曲線的光學性質(zhì)源于它的切線和法線的性質(zhì)，因而為正確理解與掌握其光學性質(zhì)，就要掌握其切線、法線方程的求法及性質(zhì)。設(shè) P（）為圓錐曲線（A 、B、C 不同時為零）上一定點，則在該點處的切線方程為：。（該方程與已知曲線方程本身相比，得到的規(guī)律就是通常所說的“替換法則”，可直接用此法則寫出切線方程）。該方程的推導，原則上用“法”求出在點P 處的切線斜率，進而用點斜式寫出切線方程，則在點P處的法線方程為。1、拋物線的切線、法線性質(zhì)經(jīng)過拋物線上一點作一條直線平行于拋物線的軸，那么經(jīng)過這一點的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。如圖1 中。事實

2、上，設(shè)為拋物線上一點，則切線MT 的方程可由替換法則，得，即，斜率為，于是得在點M 處的法線方程為令，得法線與x 軸的交點N 的坐標為，.所以又焦半徑所以，從而得即當點 M 與頂點 O 重合時，法線為x 軸，結(jié)論仍成立。所以過 M 的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。也可以利用點M 處的切線方程求出，則，又故，從而得也可以利用到角公式來證明拋物線的這個性質(zhì)的光學意義是：“從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸”。2、橢圓的切線、法線性質(zhì)經(jīng)過橢圓上一點的法線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角。如圖2 中證明也不難，分別求出，然后用到角公式即可獲證。橢圓的這個性質(zhì)

3、的光學意義是：“從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上”。3、雙曲線的切線、法線性質(zhì)經(jīng)過雙曲線上一點的切線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角，如圖3中。仍可利用到角公式獲證。.這個性質(zhì)的光學意義是： “從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣”。二、圓錐曲線光學性質(zhì)的應用光學性質(zhì)在生產(chǎn)和科學技術(shù)上有著廣泛地應用。這里僅舉例說明這些光學性質(zhì)在解圓錐曲線的有關(guān)問題中的應用。應用圓錐曲線光學性質(zhì)解題，特別是切線問題是十分方便的。其間要注意一個基本關(guān)系式的應用，即“過投射點的曲線的切線與入射線、反射線成等角”

4、。如圖4，MN 切曲線 C 于點 P，則 APM BPN。這是很容易由物理學的“入射角等于反射角”及平面幾何中“等角的余角相等來證明的。例 1 求證：橢圓和雙曲線在交點處的切線互相垂直。分析：如圖5，用圓錐曲線光學性質(zhì)證明1 3 90即可。證明：如圖5，兩曲線的公共焦點，設(shè) P 為兩曲線的一個交點，PQ、PR 分別為橢圓、雙曲線的切線，連，并延長，由橢圓光學性質(zhì)，推得12；由雙曲線光學性質(zhì)，得3 4。.又 2 5， 4 6（對頂角相等），所以 1 5， 3 6（等量代換）。又 1 3 5 6180，所以 1 3 90，即 PQ PR，命題得證。評注：（ 1）本題也可采用代數(shù)運算證出的方法來證明

5、，但比較復雜。這里采用光學性質(zhì)證明法則直觀簡捷。（2）由本題得到一個一般性命題：焦點相同的一個橢圓與一雙曲線在交點處的切線互相垂直，于是有定義： 兩圓錐曲線在交點處的兩條切線互相垂直，叫做這兩曲直交。例 2 如圖 6，已知是橢圓的焦點，分別是在橢圓任一切線 CD 上的射影。（ 1）求證：為定值；（2）求的軌跡方程。分析：（ 1）欲證為定值，即證為定值（由光學性質(zhì)推得），從而知應用余弦定理于即可獲證。）（2）求出分別為定值即知其軌跡，易得軌跡方程。證明：（ 1）設(shè) Q 為切線，由橢圓光學性質(zhì)推知設(shè)為，則所以又，則在中，.則所以為常數(shù)，即定值。（ 2）設(shè)點 O 在 CD 上的射影為M，則 OM 是

6、直角梯形的中位線，于是有。在中，同理所以的軌跡是以O(shè) 為圓心， a 為半徑的圓，其方程為例 3 設(shè)拋物線的焦點為F，以 F 與 A （ 4， 4）為焦點作橢圓，使其與已知拋物線有公共點（如圖7），當長軸最短時，求橢圓方程。分析：求解的關(guān)鍵是光線FP 的反射線PA 平行于 x 軸。解：設(shè)以點A （ 4， 4）、 F（ 4，0）為焦點的橢圓為（ a 為長半軸長）。再設(shè) P 為拋物線與橢圓的公共點，由橢圓第一定義知：.即長軸長2a 等于拋物線上一點P 到兩定點A 、 F 距離之和，若2a 最小，當且僅當橢圓與拋物線相切。此時，由圓錐曲線的光學性質(zhì)知，光線FP 的反射線PA 平行于 x 軸。所以 P（1， 4）。由知所以所求的橢圓方程為例 4 如圖 8，已知探照燈的軸截面是拋物線，平行于對稱軸的光線于此拋物線上的入射點、反射點分別為P、 Q，設(shè)點P 的縱坐標為，當 a 為何值時，從入射點 P 到反射點Q 的路程 PQ 最短？分析：設(shè)，由拋物線光學性質(zhì)知PQ 過焦點，故可用弦長公式建立目標函數(shù)，求出最小值條件a 即可。解：由拋物線光