證明平行四邊形復(fù)習(xí)講義

1、北師大版數(shù)學(xué)九年級上第三章、證明(三)-平行四邊形、梯形復(fù)習(xí)講義一、要點概況1、平行四邊形的定義：兩組對邊分別 其對稱中心是2、平行四邊形的特征(性質(zhì)定理及推論)(1)(2)(3)性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì)1:平行四邊形的 對邊平行且相等。2:平行四邊形的 鄰角互補，對角相等。3:平行四邊形的對角線互相平分。推論的四邊形叫做平行四邊形。 平行四邊形是對稱圖形,1:中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。(1)定義法：兩(2)判定1:(3)判定2:(4)判定3:(5)判定4:4、梯形的定義:(1)在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。(2)對角線相等的梯形是等腰梯形。(3)兩條腰相等的梯形是等腰梯形.推論

2、2:若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,且這條直線二等分四邊形的面積。(6)推論3：夾在兩條平行線間的 平行線段相等。3、平行四邊形的識別(判定定理及推論)兩組對邊分別平行 的四邊形是平行四邊形。 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。:一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形。5、等腰梯形的性質(zhì)定理：(1) 從角看：等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等;(2) 從邊看：等腰梯形兩腰相等；(3) 從對角線看：等腰梯形兩條對角線相等.6

3、、等腰梯形的判定定理：6、等腰梯形的推論：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰。7、梯形的中位線：(1) 定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做 梯形的中位線。(2)梯形中位線定理： 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 &梯形常見輔助線的作法：L= (a+b)吃S=LXhA、B、C、D二、典例精講及變式訓(xùn)練（一）平行四邊形中命題的判斷例1:下列說法中，錯誤的是（）一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 兩條對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形四個角都相等的四邊形是矩形鄰邊相等的矩形是正方形變式訓(xùn)練1:如圖，在平行四邊形 ABCD中（ABM BC），直線EF 經(jīng)過其

4、對角線的交點O,且分別交ad、BC于點M、N，交ba、DC的延長線于點 E、F,下列結(jié)論: AO=BO : OE=OF ；EAM sA eBN ;厶eAO CNO，其中正確的是A.B.C.D.D(二)平行四邊形性質(zhì)的運用與考查 例2：如圖，在平行四邊形 則平行四邊形ABCDABCD中，E是AD邊上的中點.若/ ABE= / EBC , AB=2 , 的周長是變式訓(xùn)練 2-1:如圖，在平行四邊形 ABCD中，已知 AD=5cm , AB=3cm , AE平分/ BAD交BC于點E,貝U EC 是多少長？D變式訓(xùn)練2-2 :A . 1組 變式訓(xùn)練3-1 : nA= n C, (6)A、4種B .

5、2組C. 3組已知四邊形ABCD，從下列條件中: n B= n D，任取其中兩個，B、9 種C、13 種可以得出D、(1) AB“四邊形15種D . 4組/ CD , (2) AD / BC , (3) AB=CD , (4) AD=BC , (5)ABCD是平行四邊形：這一結(jié)論的情況有()在口ABCD中，點E為AD的中點，連接 BE,交AC于點F，則AF : CF =(C. 2: 3 D. 2: 5(三)平行四邊形判定定理的運用與考查例3-1:四邊形ABCD中，對角線 AC、BD相交于點 0,給出下列四組條件： AB / CD, AD / BC ;AB=CD , AD=BC :A0=C0 ,

6、 BO=DO ; ® AB / CD , AD=BC .其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件有AE丄BD于E, CF丄BD于F，求證：四邊形 AECF為平行四邊形.變式訓(xùn)練3-2 :如圖，分別以Rt ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊 ACD、等邊 ABE，已知/ BAC= 30° ,EF丄AB，垂足為F,連結(jié)DFo(1) 試說明AC=EF ;(2) 求證：四邊形 ADFE是平行四邊形。EC(四)平行四邊形判定定理、性質(zhì)定理及推論的綜合運用與考查例4-1:如圖，E、F為平行四邊形 ABCD 一組對邊AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，BF與CE相交于點 H。求

7、證：四邊形 GEHF為平行四邊形。D變式訓(xùn)練4-1 :已知 DAB EAC, FBC都是等邊三角形，求證：四邊形ADFE為平行四邊形。例4-2 :如圖，已知平行四邊形 ABCD AD=a BE/ AC DE交AC的延長線于點 F,交BE于E點。(1) 求證：DF=FE(2) AC=2CF n ADE=60 , AC! DC 求 BE 的長；ABED勺面積。(3) 在(2)的條件下，求四邊形變式訓(xùn)練4-2:如圖，已知四邊形 ABCD的對角線AC、BD相交于點P,過點P作直線，交 AD于點E,交BC 于點F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF。證明：四邊形 ABCD為平行四邊形。（五）梯形中常

8、見輔助線的作法例5:延長兩腰，將梯形轉(zhuǎn)化成三角形如圖，梯形 ABCD 中，AD / BC, AD = 5, BC = 9,/ B = 80°,/ C= 50° .求 AB 的長.變式訓(xùn)練5-1 :如圖所示，四邊形 ABCD中，AD不平行于BC, AC = BD , AD = BC.判斷四邊形 ABCD的形狀, 并證明你的結(jié)論.B例5-2:平移一腰，梯形轉(zhuǎn)化成：平行四邊形和三角形A、把上下底之差、兩腰轉(zhuǎn)化到同一個三角形中。可利用三角形知識解決問題例 2 如圖，梯形 ADCB 中，AD / BC, BC = 8cm, AB = 7cm, AD = 6cm,求 DC 的取值范圍.

9、C變式訓(xùn)練5-2 :如圖所示，在直角梯形 ABCD中，/ A = 90 ° , AB / DC , AD = 15, AB = 16, BC = 17.求CD的 長.B例5-3:平移兩腰腰，梯形轉(zhuǎn)化成：平行四邊形和三角形B、平移兩腰，將兩腰轉(zhuǎn)化到同一個三角形中在梯形ABCD中，AD / BC , AD<BC , E、F分別為AD、BC的中點，且 EF丄BC ,梯形ABCD是等腰梯 形嗎？為什么？CBC的中點，且EF丄BC,試說明/ B= / Co例5-4:作梯形的高，梯形轉(zhuǎn)化成矩形與直角三角形如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB=DC=AD=5 , BC=11 ;求

10、梯形 ABCD的面積。變式訓(xùn)練 5-4:已知：梯形 ABCD 中，/ ABC=90 °，/ C=45 ° , BE 丄CD , AD=1 , CD=2 J2 求：BE例5-5：利用中點，割補三角形如圖梯形 ABCD中，AD / BC , E為AB的中點，DE丄CE, 試說明CD = BC + AD。變式訓(xùn)練5-5:如圖,在梯形ABCD中，AD / BC, E是DC的中點，EF丄AB于點F。求證：S梯形ABCD=AB X例5-6:案例說明：平移對角線，將梯形轉(zhuǎn)化成：平行四邊形、三角形A、 把上下底之和，兩對角線轉(zhuǎn)移到同一個三角形BDE中B、 ABD與 CDE面積相等S梯形 A

11、BCD = SA BDEC、BD丄AC推出BD丄DE得到直角三角形 BDE如圖所示，在梯形 ABCD中，上底 AD = 1cm，對角線BD丄AC ,且BD = 3cm, AC = 4cm.求下底BC以及 梯形的高。（六）等腰梯形的性質(zhì)與判定的綜合運用例 6：在梯形 ABCD 中，AD/BC, E 為 BC 中點，EF丄 A B，EG丄 CD，EF=EG。求證：梯形ABCD為等腰梯形。變式訓(xùn)練6-1 :在梯形ABCD中，AD/BC , / ACB= / DBC。求證：梯形 ABCD是等腰梯形。變式訓(xùn)練6-2 :如圖，在 ABC中，AD丄BC于點D, E、F、G分別是BC、AB、AC的中點。 求證：四邊形DEFG為等腰梯形。GBE DADCFEA（七）梯形中位線的運