電磁場理論習(xí)地的題目

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔電磁場理論習(xí)題一=xy+z-xyz 在點（ 1， 1， 2）處沿方向角=4 ，3 的方向的方1、求函數(shù)3 ，向?qū)?shù) .解：由于xM =y yz M =-1y M =2xy xz (1,1,2) =0z M =2zxy (1,1,2) =31cos2cos1cos222 ，所以Mcoscoscos1lxyz2、 求函數(shù)xyz 在點（ 5, 1, 2）處沿著點（ 5,1, 2）到點（ 9, 4, 19）的方向的方向?qū)?shù)。解：指定方向l 的方向矢量為l (9 5) ex+(4 1)e y+(19 2)e z 4ex+3ey+17ez其單位矢量lcos ex cosey4ex37cos e

2、zeyez314314314Myz ( 5,1,2)2,M xz M 10,Mxy M5xyz所求方向?qū)?shù)lMcoscoscos123lxyz3143、 已知=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求在點（ 0， 0， 0）和點（ 1， 1， 1）處的梯度。解：由于= (2x+y+3)ex+(4y+x-2)ey+(6z-6)e z所以，(0,0,0)=3e -2ey-6ez(1,1,1)=6e +3exxy4、運用散度定理計算下列積分：I= xz2ex ( x2 y z3) ey(2 xy y2 z)ez dssS 是 z=0 和 z=(a 2-x 2-y 2) 1/2 所圍成的半球區(qū)

3、域的外表面。解：設(shè)： A=xz2ex +(x 2y-z 3)e y+(2xy+y 2z)e zA ds=Adv則由散度定理s精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔IAdv(z 2 +x2 +y2 )dvr 2dv可得2a42000 r sin drd d5、試求· A 和× A:22a42a50 dsin d0 r dr50(1) A=xy2z3ex +x3zey+x2y2ez(2)A(, z)2 cose2 sinez(3 )A( r ,)r siner1 sine12coserr解：（ 1）· A=y2z3+0+0= y 2z3exeyez(2 x2 yx3 ) e(2xy23

4、xy3 z2 )exyzxy× A= xy 2z3x3z x2y 21(A )A( Az )(2)· A=z1(3 cos)(3 sin)= 3coseeezeeez1z1z× A=AAAz=2 cos02sin=cose2sinesinez1( r2Ar)(sinA )Asinrr(3)· A= r 2 sinr1(r 3 sin)(sin 2)(cos)sinrrr 2= r 2 sinrr= r2 13r 2 sin 22sincos3sin22 cossinrerrersineerr ersine11r2sinrr 2 sinrrsinsin1c

5、osArr ArsinAsin× A=r=精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔cos2ercose cos e= r3sinr3習(xí)題二1、總量為 q 的電荷均勻分布于球體中，分別求球內(nèi)，外的電場強度。解 : 設(shè)球體的半徑為 a，用高斯定理計算球內(nèi)，外的電場。由電荷分布可知，電場強度是球?qū)ΨQ的， 在距離球心為 r 的球面上，電場強度大小相等， 方向沿半徑方向。在球外， r>a ，取半徑為 r 的球面作為高斯面，利用高斯定理計算：D dS0 Er 4 r 2qsErq0 r 24對球內(nèi)， r<a ，也取球面作為高斯面，同樣利用高斯定理計算：DdS0 Er 4 r 2q'sq'

6、4r 34r 3qr 3 q334a3a 33Errq40 a32、半徑分別為 a,b(a>b), 球心距為 c（ c<a-b ）的兩球面之間有密度為的均勻體電荷分布，如圖所示，求半徑為 b 的球面內(nèi)任一點的電場強度。解：為了使用高斯定理，在半徑為 b 的空腔內(nèi)分別加上密度為 +和的體電荷，這樣，任一點的電場就相當(dāng)于帶正電的大球體和一個帶負電的小球體共同產(chǎn)生，正負帶電體所產(chǎn)生的場分別由高斯定理計算。正電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場為E1r 1er 130精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔負電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場為E 2r 2er 230單位向量 er 1 ， er 2 分別以大、小球體的球心為球面坐標(biāo)的

7、原點?？紤]到r 1er1 r 2er 2cexc最后得到空腔內(nèi)的電場為E c ex 3 03、一個半徑為 a 的均勻帶電圓柱體（無限長）的電荷密度是，求圓柱體內(nèi) , 外的電場強度。解：因為電荷分布是柱對稱的， 因而選取圓柱坐標(biāo)系求解。 在半徑為 r 的柱面上，電場強度大小相等，方向沿半徑方向。計算柱內(nèi)電場時，取半徑為 r ，高度為 1 的圓柱面為高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有D dS0 E 2 rl q, qr 2 l , Ers20計算柱外電場時，取通過柱外待計算點的半徑為r ，高度為 1 的圓柱面為高斯面。對此柱面使用高斯定理，有D dS0 E 2 rl q, q2l , Ea2a2

8、rs04、一個半徑為 a 的均勻帶電圓盤， 電荷面密度是 s0, 求軸線上任一點的電場強度。解：由電荷的電荷強度計算公式1s(r ' )(r r ' )E(r )3 dS'40 sr r '及其電荷的對稱關(guān)系，可知電場僅有z 的分量。代入場點源點rzexr 'exr ' coseyr ' sindSr ' dr ' d電場的 z 向分量為精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔Es02dazr 'dr 's01z40 00 (z2r '2 )3 / 22 0(a 2z2 )1/ 2上述結(jié)果適用于場點位于z>0 時

9、。但場點位于z<0 時，電場的 z 向量為Es0z)(1(a 2z2 )1 / 2205、已知半徑為a 的球內(nèi) , 外電場分布為a2E0rrEr2E0rar a r a求電荷密度 .解: 從電場分布計算計算電荷分布, 應(yīng)使用高斯定理的微分形式:D用球坐標(biāo)中的散度公式, 并注意電場僅僅有半徑方向的分量, 得出ra時:1r23E002rarrra時:1r2r00 r 2r6、求習(xí)題2-1 的電位分布解：均勻帶電球體在球外的電場為Er=球內(nèi)電場為q / 40 r 2Errq / 40 a3球外電位 ( r > a) 為rEdrq / 40r 2drq / 40 rr球內(nèi)電位 ( ra )

10、 為arq / 40 a3 drq/ 40r 2 drrEdrraq / 40a 3 a2 / 2 r 2 / 2 q / 40 aq / 80 a3 (3a 2r 2 )3ql 27、 電荷分布如圖所示。試證明，在r>>l處的電場為 E= 20 r 41q2qq證明 : 用點電荷電場強度的公式及疊加原理,有 E=40 ( (rl ) 2r 2+ (rl ) 2)當(dāng) r>>l時 ,1111ll2r2l ) 2(r l )2(12(1 232)=rrrr精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔11112(1 2 l3 l2r2l ) 2)(r l )2(12=rrrr3ql 2將以上結(jié)果帶入

11、電場強度表達式并忽略高階小量, 得出 E= 20 r 48、 真空中有兩個點電荷，一個電荷 q 位于原點，另一個電荷 q/2 位于（ a， 0， 0）處，求電位為零的等位面方程。解：由點電荷產(chǎn)生的電位公式得電位為零的等位面為qq204 0r4 0 r1其中11r ( x2y 2z2 ) 2 ， r1 ( x a)2y 2z 2 2等位面方程簡化為2r1r即4( xa) 2y 2z2 x2y 2z2此方程可以改寫為22x4ay 2z22a33( 4a ,0,0)2a這是球心在 3, 半徑為3 的球面。9、一個圓柱形極化介質(zhì)的極化強度沿其軸方向，介質(zhì)柱的高度為 L，半徑為 a，且均勻極化，求束縛體

12、電荷分布及束縛面電荷分布。精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔解：選取圓柱坐標(biāo)系計算，并假設(shè)極化強度沿其軸向方向，PP0 ex 如圖示，由于均勻極化，束縛體電荷為P0 。ner , 極化強度在 z 方向，故在圓柱的側(cè)面，注意介質(zhì)的外法向沿半徑方向Pe0x在頂面，外法向為nex ，故spPexP0在底面，外法向為ne ，故xspP(ex)P010、假設(shè) x<0 的區(qū)域為空氣， x>0 的區(qū)域為電解質(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為3o，如果空氣中的電場強度 E ex 4ey5ez （V/m），求電介質(zhì)中的電場強度 E 2 。解：在電介質(zhì)與空氣的界面上沒有自由電荷，因而電場強度的切向分量連續(xù)，電位移矢量的法向分量

13、連續(xù)。在空氣中，由電場強度的切向分量E1t 4ey 5ex ，可以得出介質(zhì)中電場強度的切向分量E2t4ey 5ex ；對于法向分量，用 D 1n D 2n ，即 0 E1xE 2 x ，并注意 E1x 3,30 ，得出 E2 x 1 。將所得到的切向分量相疊加，得介質(zhì)中的電場為E2ex4ey5ez （ V/m）11、一個半徑為 a 的導(dǎo)體球面套一層厚度為 b-a 的電解質(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為，假設(shè)導(dǎo)體球帶電 q，求任意點的電位。解：在導(dǎo)體球的內(nèi)部，電場強度為 0。對于電介質(zhì)和空氣中的電場分布，用高斯定理計算。在電介質(zhì)或空氣中的電場取球面為高斯面，由D dS4 r 2 D rqqD r2s得出4

14、 rErqr 2在介質(zhì)中（ a<r<b）電場為4Erq40 r 2在空氣中（ r>b ）Edrqdrbqdrqq( 11 )b 4r 4電位為r0 r 2r 240b4rb （ a<r<b ）Edrq2 drqrr4040r(r>b)r精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔12、真空中有兩個導(dǎo)體球的半徑都為 a，兩球心之間距離為 d，且 d>>a, 試計算兩個導(dǎo)體之間的電容。解：因為球心間距遠大于導(dǎo)體的球的半徑， 球面的電荷可以看作是均勻分布。由電位系數(shù)的定義，可得11p12 p22p12 p214 0 a ，4 0d讓第一個導(dǎo)體帶電q,第二個導(dǎo)體帶電 -q ，則

15、qqqq1p11q p12q2p21q p22q4 0 a 40d ，4 0d 40 aqqC由U12C20ad化簡得da習(xí)題三1、球形電容器內(nèi), 外極板的半徑分別為a,b ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，當(dāng)外加電壓為 U 0 時，計算功率損耗并求電阻。解：設(shè)內(nèi) , 外極板之間的總電流為 I 0 ，由對稱性，可以得到極板間的電流密度為IJ = 2errIerE = 4r2aI11U 0 = bEdr = 4ab4 U 0U 0er1111r2I = ab， J =ab從而2U 0p =J 211r2=ab單位體積內(nèi)功率損耗為4U 02b drbr 2dr112a r 2總功率耗損為P=p4aba=4U

16、0211=ab精彩文案U 0實用標(biāo)準(zhǔn)文檔2由P= R，得I11R=4ab2、一個半徑為 a 的導(dǎo)體球作為作為電極深埋地下，土壤的電導(dǎo)率為 。略去地面的影響，求電極的接地電阻。解：當(dāng)不考慮地面影響時，這個問題就相當(dāng)于計算位于無限大均勻點媒質(zhì)中的導(dǎo)體球的恒定電流問題。設(shè)導(dǎo)體球的電流為I , 則任意點的電流密度為IIJ = 4 r 2 er，E=4r 2er導(dǎo)體球面的電位為（去無窮遠處為電位零點）I2 drIU =a 4a= 4接地電阻為UIR = I= 4a3、如圖，平板電容器間由兩種媒質(zhì)完全填充，厚度分別為 d1 和 d 2 ，介電常數(shù)分別為1 和2 ，電導(dǎo)率分別為1 和2 ，當(dāng)外加電壓U0 時

17、，求分界面上的自由電荷面密度。解：設(shè)電容器極板之間的電流密度為J，則J1E12 E2E1J,E2J于是U 0即12Jd1Jd212U 0Jd1d212分界面上的自由面電荷密度為sD2n D1n2 E21E121 J2121U 021d1d212精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔d11 ,1U 0d22 , 24、 內(nèi) , 外導(dǎo)體半徑分別為 a,c 的同軸線，其間填充兩種漏電媒質(zhì)，電導(dǎo)率分別為1 （ a<r<b ）和 2 （ b<r<c ），求單位長度的漏電電阻。解：設(shè)單位長度從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流I，則電流密度為IerJ = 2r各區(qū)域的電場為E1 = erI21r （ a<

18、r<b ）E2 = erI22r (b<r<c)內(nèi), 外導(dǎo)體間的電壓為cbIdrcIdrIln bIln ca 21 r + b2 2r = 2U 0 = a E dr =1a + 2 2b因而，單位長度的漏電電阻為UIln bIlncR=I =21a + 22b5、一個半徑為 10 cm 的半球形接地導(dǎo)體電極，電極平面與地面重合，如圖，若土壤的電導(dǎo)率為 0.01S/m ，求當(dāng)電極通過的電流為 100A 時，土壤損耗的功率。解：半球形接地器的電導(dǎo)為G2a接地電阻為R11G2 a土壤損耗的功率為P I2RI 210021.59 1062a 20.01 0.1W精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文

19、檔Ia6、 內(nèi) , 外半徑分別為a,b 的無限長空心圓柱中均勻分布著軸向電流I ，求柱內(nèi) ,外的磁感應(yīng)強度。解：使用圓柱坐標(biāo)系。電流密度沿軸線方向為0,raIb2a2a rbJ =0,b r由電流的對稱性，可以知道磁場只有圓周分量。用安培環(huán)路定律計算不同區(qū)域的磁場。當(dāng) r<a 時，磁場為 0。當(dāng) a<r<b 時，選取安培回路為半徑等于 r 且與導(dǎo)電圓柱的軸線同心的圓。該回路包圍的電流為I'=Jr 2a2Ir 2a2=b2a2由B dl = 2 rB = 0 I ' ，得o Ir 2a2B = 2rb2a20 I當(dāng) r<b 時，回路內(nèi)包圍的總電流為I,于是

20、B=2r。7、半徑為 a 的長圓柱面上有密度為J s0 的面電流，電流方向分別為沿圓周方向和沿軸線方向，分別求兩種情況下柱內(nèi),外的B。解：（1）當(dāng)面電流沿圓周方向時，由問題的對稱性可以知道，磁感應(yīng)強度僅僅是半徑r 的函數(shù)，而且只有軸向方向的分量，即B = ezBzr精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔由于電流僅僅分布在圓柱面上，所以，在柱內(nèi)或柱外，B =0。將 B = ez Bzr代入B =0，得BzB = 一er =0即磁場是與r 無關(guān)的常量。在離面無窮遠處的觀察點， 由于電流可以看成是一系列流向相反而強度相同的電流元只和，所以磁場為零。由于B 與 r 無關(guān)，所以，在柱外的任一點處，磁場恒為0。為了計算柱內(nèi)

21、的磁場，選取安培回路為圖3-12 所示的矩形回路。l B dl = hB = h 0 Js因而柱內(nèi)任一點處，B =ez 0 Js 。圖 3-12（ 2）當(dāng)面電流沿軸線方向時候，由對稱性可知，空間的磁場僅僅有圓分量，且只是半徑的函數(shù)。 在柱內(nèi)， 選取安培回路為圓心在軸線并且為于圓周方向的圓?？梢缘贸觯鶅?nèi)任一點的磁場為零。在柱外，選取圓形回路，B dl =0 I ，與該回路交鏈的電流為2 aJs ，B dl = 2 rB ，所以B =e0 Jsar8、 一對無限長平行導(dǎo)線，相距 2 a ，線上載有大小相等， 方向相反的電流I ，求磁矢位 A ，并求 B。解：將兩根導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位看作是單個導(dǎo)線產(chǎn)

22、生的磁矢位的疊加。對單個導(dǎo)線， 先計算有限長度產(chǎn)生的磁矢位。設(shè)導(dǎo)線的長度為1，導(dǎo)線 1 的磁矢位為（場點選在xoy 平面）l221 20 Idz0 Il 2 ( l 2)r1 A12l21ln42r12(r1z2 ) 2當(dāng) l時，有精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔A10 I lnl2r1同理，導(dǎo)線2 產(chǎn)生的磁矢位為A20 Il2lnr2由兩個導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位為0 Ill0 Ir20 Ix aA ez A1 A2 ezlnlnezlnezln2r1r22r14x a相應(yīng)的磁場為2 y 22 y 2BAAzeyAzexyy0 Iyy0Ixaxaex 2x a 2y 2x a 2y2 ey 2x a 2y2x

23、a 2y 2yr2r1aaxII9、 已知內(nèi)，外半徑分別為a, b 的無限長鐵質(zhì)圓柱殼（磁道率為）沿軸向有恒定的傳導(dǎo)電流 I ，求磁感應(yīng)強度和磁化電流。解：考慮到問題的對稱性，用安培環(huán)路定律可以得出各個區(qū)域的磁感應(yīng)強度。當(dāng) ra時，B 0當(dāng) a rb時，22BI (r2a2) er2r ba當(dāng) rb 時，B0 I er2 r當(dāng) arb時，精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔M ( r1) H ( r1) 1 B ( r1) I (r 2 2a 2 )2e2r (ba)JmMe1rMe( r1) Izrrz(b 2a2 )當(dāng) rb 時，Jm0在 ra處，磁化強度M0 ，所以J mSMnM(er )0M( r1)

24、Ie在 rb 處，磁化強度2b，所以JmSM n M er( r1)I ez2 b10、已知在半徑為a 的無限長圓柱導(dǎo)體內(nèi)有恒定電流I 沿軸方向。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為1 ，其外充滿磁導(dǎo)率為2 的均勻磁介質(zhì)，求導(dǎo)體內(nèi), 外的磁場強度 , 磁感應(yīng)強度 , 磁化電流分布。解：考慮到問題的對稱性，在導(dǎo)體內(nèi), 外分別選取與導(dǎo)體圓柱同軸的圓環(huán)作為安培回路，并注意電流在導(dǎo)體內(nèi)是均勻分布的?？梢郧蟪龃艌鰪姸热缦拢簉 a 時，IrH = e 2 a2r > a時，eIH =2 r磁感應(yīng)強度如下：r a 時，e1IrB =a22r > a時，e2 IB =r2為了計算磁化電流，要求磁化強度：r a 時，M

25、 = er > a時，11Irez11I02 a2 ， Jm =M =0a2eM =2 I102r ，Jm =M =0在 r=a 的界面上計算磁化面電流時，可以理解為在兩個磁介質(zhì)之間有一個很薄的真空層。這樣，其磁化面電流就是兩個磁介質(zhì)的磁化面電流只和，即Jms = M 1n1 + M 2n2這里的 n1 和 n2 分別是從磁介質(zhì)到真空中的單位法向。如果去從介質(zhì)1 到介質(zhì)2 的單位法向是 n,則有精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔Jms = M 1n 一 M 2n代入界面兩側(cè)的磁化強度，并注意n = er，得ez1Iez1I11Jms =02a +02 aez21I0 2a=011、 空氣絕緣的同軸線，

26、內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b，通過的電流為I 。設(shè)外導(dǎo)體殼的厚度很薄， 因而其儲蓄的能量可以忽略不計。計算同軸線單位長度的儲能，并有此求單位長度的自感。解： 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電流均勻分布，用安培環(huán)路定律可求出磁場。r < a時，IrH = 2a2a < r < b 時，IH = 2r單位長度的磁場能量為a 1b 10 H22rdrWm = 0 20H 2 2 rdr + a 2=0 I 20 I 2ln b16+ 4a故得單位長度的自感為00 ln bL=8 +2a其中的第一項是內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。12、 一個長直導(dǎo)線和一個圓環(huán)（半徑為a ）在同一平面內(nèi)，圓心與導(dǎo)線的距離是d ，

27、證明它們之間互感為M0 (dd 2a 2 )證明：設(shè)直導(dǎo)線位于z 軸上，由其產(chǎn)生的磁場B0 I0 I2 x2(d r cos )其中各量的含義如圖所示。磁通量為0 Ia2Bdsrdrd2 (d00r cos )上式先對積分，并用公式2d20 da cosd 2a 2得精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔0 Irdr0 I (dd 2a 2 )a0d 2r 2所以互感為M0 ( dd 2a2 )Ird習(xí)題四1 、 在 兩 導(dǎo) 體 平 板 (z=0和z=d) 之 間 的 空 氣 中 傳 播 的 電 磁 波 其 電 場 強 度 矢 量Eey E0 sin(/ d ) zcos( wtkx )其中 kx 為常數(shù) .

28、試求(1) 磁場強度矢量 H(2) 兩導(dǎo)體表面上的面電流密度 J s解:(1)由麥克斯未方程組得Eex ( Ey /z)ez (Ey /x)B / tBexE0 cos(z)sin( wtkxx)ezE0kx sin(z)cos( wtkx x)對上式積分得dwdwdH ex E0cos(z)sin( wtkx x) exE0 kxsin(z)cos( wt kxx)即dw 0dw0d(2)導(dǎo)體表面上得電流存在于兩導(dǎo)體相向的一面, 故在 z=0 表面上 , 法線 n =ezJsezH |z 0eyE0 sin(wtkx x)面電流密度w 0 dJ sezH |z deyE0 sin( wtkx

29、x)在 z=0 表面上 , 法線 n =- ez , 面電流密度w0d2、 在理想導(dǎo)電壁（）限定的區(qū)域（0 x）內(nèi)存在一個如下的電磁場：精彩文案實用標(biāo)準(zhǔn)文檔E yH0asin(ax )sin(kzt )HxH0 kasin(a x )sin(kzt )HzH0 cos(ax )cos( kzt )這個電磁場滿足的邊界條件如何？導(dǎo)電壁上得電流密度的值如何？e）Ey0,H x 0,H x H0cos(kzt)解：在邊界 x=0 處有（ n x所以，導(dǎo)電壁上的電流密度河電荷密度的值為Jsn(HH)Js0nH x 0eyH0 cos(kzt),s0n D x 00在x0處電磁場滿足的邊界條件為nHye c Ho s ( k z ) ,tnE0nB0,nD0同理，在 xa （ nex ）有Jsan H x aexezH z x aeyH 0cos(kzt), sa n Dn HeyH0 cos(kzt),nE0,n B0,n D03、 一段由理想導(dǎo)體構(gòu)成的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b ，長度為 L ，同軸線兩端用理想導(dǎo)體板短路。已知在a rb,0 zL 區(qū)域內(nèi)的電磁場為E e