用三重積分推導(dǎo)抽水做功的計算公式課件

1、 June 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.3 定積分的物理應(yīng)用 1 抽水作功問題抽水作功問題 June 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.3 定積分的物理應(yīng)用 2 作為定積分的物理應(yīng)用，抽水所做作為定積分的物理應(yīng)用，抽水所做的功一般是用定積分來計算。的功一般是用定積分來計算。 本課件用三重積分的元素法來推導(dǎo)本課件用三重積分的元素法來推導(dǎo)抽水做功的三重積分計算公式。抽水做功的三重積分計算公式。 用三重積分來計算抽水所做的功，用三重積分來計算抽水所做的功，有時更方便。有時更方便。 最后，舉例加以說明。最后，舉例加以說明。 June 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6

2、.3 定積分的物理應(yīng)用 3水面水面問題：問題：欲將瓶中的水從瓶口抽出，欲將瓶中的水從瓶口抽出，求抽水所做的功求抽水所做的功W。 June 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.3 定積分的物理應(yīng)用 4先用定積分來計算功先用定積分來計算功 June 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.3 定積分的物理應(yīng)用 5如圖建立如圖建立 x 軸：軸：設(shè)瓶高為設(shè)瓶高為H，水面高為，水面高為 h，在在 x (0 xh)的高度取厚度的高度取厚度為為 dx 的很薄的一層水。的很薄的一層水。假設(shè)已知這層水的橫截面假設(shè)已知這層水的橫截面面積為面積為 A(x) (0 xPI*(2*x/3)2:dw:=x-(

3、15-x)*mu*g*A(x):Integrate(dw(x),x=0.15)=integrate(dw(x),x=0.15);d01513676.44445 ()15x x2x0.5769750002 108Maple check： June 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.3 定積分的物理應(yīng)用 19再用三重積分計算再用三重積分計算 June 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.3 定積分的物理應(yīng)用 20O如圖建立坐標(biāo)系。如圖建立坐標(biāo)系。圓錐面是直線圓錐面是直線 z=3y/2 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而成的，其方軸旋轉(zhuǎn)而成的，其方程為：程為：15x20zy2232zxy2232z

4、xy15()dwgdvzdv( , , )x y z在水中在水中(x,y,z)處取體積處取體積元素元素 dv則功的元素：則功的元素： June 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.3 定積分的物理應(yīng)用 21抽水的功：抽水的功：(1)5zWdvdWg為圓錐體22222153210210153002(15)(15)xyxyrgdxdyz dzgdrdrz dz57697500(J)57697.5(kJ)轉(zhuǎn)化為柱面坐標(biāo)計算轉(zhuǎn)化為柱面坐標(biāo)計算注：如果用注：如果用“先二后一先二后一”積分法計算以上三重積分積分法計算以上三重積分，則相當(dāng)于前面的定積分，則相當(dāng)于前面的定積分計算過程。計算過程。 Ju

5、ne 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.3 定積分的物理應(yīng)用 22Maple check：mu:=1000:g:=9.8:PI:=3.14:f:=(x,y,z)-mu*g*(15-z);Int(Int(Int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2.15),r=0.10),theta=0.2*PI)=int(int(int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=3*r/2.15),r=0.10),theta=0.2*PI); June 17, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.3 定積分的物理應(yīng)用 23 不能說用三重積分計算抽水的功一不能說用三重積分計算抽水的功一定就比定積分更方便，定就比定積分更方便， 但是三重