理論力學課后習題答案第6章剛體的平面運動分析

1、第 6 章 剛體的平面運動分析6 1圖示半徑為 r 的齒輪由曲柄 oa 帶動，沿半徑為 r 的固定齒輪滾動。 曲柄 oa 以等角加速度繞軸 o 轉動，當運動開始時，角速度0 = 0，轉角0 = 0。試求動齒輪以圓心a 為基點的平面運動方程。解： x ay a( rr ) c o s ( rr ) sin（ 1）（ 2）為常數(shù)，當 t = 0 時， 0 =0 = 01t 22（ 3）起始位置， p 與 p0 重合，即起始位置ap 水平，記oap，則 ap 從起始水平位置至圖示ap 位置轉過a因動齒輪純滾，故有cp0cp ，即習題 6-1 圖rrrrrr，ar（ 4）將（ 3）代入（ 1）、（ 2

2、）、（ 4）得動齒輪以 a 為基點的平面運動方程為：xa( ry a(r 1a2r ) cost 22r ) sint 22rr2tr6 2桿 ab 斜靠于高為 h 的臺階角 c 處，一端 a 以勻速 v0 沿水平向右運動，如圖所示。試以桿與鉛垂線的夾角表示桿的角速度。解： 桿 ab 作平面運動， 點 c 的b速度 vc 沿桿 ab 如圖所示。作速度vc 和 v0 的垂線交于點 p，點 p 即為c桿 ab 的速度瞬心。則角速度桿ab為hbpcabvchv0v0abapcos acv cos2 h0習題 6 2 圖avoav0習題 6 2 解圖6 3圖示拖車的車輪 a 與墊滾 b 的半徑均為 r

3、 。試問當拖車以速度 v 前進時，輪 a 與墊滾 b 的角速度 a 與 b 有什么關系？設輪 a 和墊滾 b 與地面之間以及墊滾b 與拖車之間無滑動。解 ： avbbvavrrvvb = vbava = v2 r2ra2 b習題 6-3 圖習題 6-3 解圖6 4直徑為 60 3mm 的滾子在水平面上作純滾動，桿bc 一端與滾子鉸接，另一端與滑塊c 鉸接。設桿 bc 在水平位置時，滾子的角速度12 rad/s， 30 ， 60 ，bc270mm。試求該瞬時桿 bc 的角速度和點 c 的速度。解：桿 bc 的瞬心在點 p，滾子 o 的p瞬心在點 dbcvbbdv bbdvbcbcbbcbp126

4、0bpoo3 cos30vc270sin 308 rad/sdvcbcpc習題 6-4 圖習題 6-4 解圖80.27 cos301.87 m/s6 5 在下列機構中，那些構件做平面運動，畫出它們圖示位置的速度瞬心。dabcao1cob習題 6-5 圖oo1解： 圖（ a）中平面運動的瞬心在點o，桿 bc 的瞬心在點 c。圖（ b）中平面運動的桿bc 的瞬心在點 p，桿 ad 做瞬時平移。vaao1ovbvccbvaadvdvbbvcc習題 6-5 解圖oo1(a) (b)p6 6圖示的四連桿機械 oabo1 中，oa = o1b = 1 ab，曲柄 oa 的角速度= 3rad/s。試求當示。

5、= 90°2而曲柄 o1 b 重合于 oo1 的延長線上時，桿 ab 和曲柄 o1b 的角速度。aa解： 桿 ab 的瞬心在 oabv aab3 rad/soal2 lbv b3lbo1oo1bvbo b35.2 rad/s1l習題 6-6 圖習題 6-6 解圖6 7繞電話線的卷軸在水平地面上作純滾動，線上的點 a 有向右的速度va= 0.8m/s，試求卷軸中心o的速度與卷軸的角速度，并問此時卷軸是向左，還是向右方滾動？解： 如圖vao0.9v o0.9o0.30.90.80.6861.333 rad/s1.2 m/s卷軸向右滾動。68圖示兩齒條以速度習題 6-7 圖v1 和 v2

6、作同方向運動，在兩齒條間夾一齒輪，其半徑為r ，求齒輪的角速度及其中心 o 的速度。aa解： 如圖，以 o 為基點：v1voorv1v1o解得：v2vooroovovv1v2o2v2v2v1v2bbo2r習題 6 8 圖習題 68 解圖6 9曲柄滑塊機構中，如曲柄角速度= 20rad/s，試求當曲柄oa 在兩鉛垂位置和兩水平位置時配汽機構中氣閥推桿 de 的速度。已知 oa = 400mm ，ac = cb = 20037 mm。vaaocb90o vcvbd習題 69 圖解： oa 定軸轉動； ab 、cd 平面運動， de 平移。1當 = 90 °， 270°時， oa

7、 處于鉛垂位置，圖va（a）表示= 90 °情形， 此時 ab 瞬時平移， vc 水平，而 vd 只能沿鉛垂，d 為 cd 之 瞬心ovde = 0同理，= 270 °時， vde = 02 = 180°， 0°時，桿 ab 的瞬心在 b1e(a)vcbacvdvded= 0°時，圖（ b）， vcva2（）e此時 cd 桿瞬時平移vdevdvc1 v4 m/s（）a2(b) (b)同理= 180 °時， vde = 4m/s（）習題 6 9 解圖6 10 桿 ab 長為 l = 1.5 m ，一端鉸接在半徑為 r = 0.5 m 的

8、輪緣上， 另一端放在水平面上， 如圖所示。輪沿地面作純滾動， 已知輪心 o 速度的大小為 vo = 20 m/s 。試求圖示瞬時 （ oa 水平） b 點的速度以及輪和桿的角速度。解：輪 o 的速度瞬心為點 c ，桿 ab 的速度瞬心為點 povoaoovoavo20or0.540 rad/sabavabvbcvao2r202 m/sva20ab2 sin 45abap1.5 cos102 =14.1 rad/s習題 6 10 圖習題 6 10 解圖pvb cosv a cos(45)vb202(cos 45sin 45tan)12.9 m/s6 11圖示滑輪組中， 繩索以速度 vc = 0.

9、12m/s 下降，各輪半徑已知， 如圖示。 假設繩在輪上不打滑， 試求輪 b 的角速度與重物 d 的速度。解： 輪 b 瞬心在 f 點ve = vcv eb3602 10110.120.121 rad/sfv dv bv e2v c0.06 m/s2習題 611 圖6 12鏈桿式擺動傳動機構如圖所示，dcea 為一搖桿，且 ca de。曲柄 oa = 200mm ，co = ce =250mm，曲柄轉速 n = 70r/min ， co = 2003 mm 。試求當= 90°時（這時 oa 與 ca 成 60°角） f、g兩點的速度的大小和方向。fdfeadeacr 60o

10、gege習題 6 12 圖習題 6 12 解圖解： 動點： oa 上 a；動系： dcea ；絕對運動：圓周；相對運動：直線；牽連運動： 定軸轉動。v aoa0.2n 301.4 m/s31veva20.7m/s3ve0.7e7rad/svev d0.254e7m/sca30. 41248v gv e cos307 34820.397 m/s（）v fvg0.397 m/s（）6 13平面機構如圖所示。已知：oa = ab= 20 cm ，半徑r = 5 cm的圓輪可沿鉛垂面作純滾 動。在圖示位置時， oa 水平， 其角速度= 2 rad/s 、角加速度為零， 桿 ab 處于鉛垂。 試求該瞬時

11、：（ 1）圓輪的角速度和角加速度；（ 2 ）桿 ab 的角加速度。解：a（ 1） 圓輪的角速度和角加速度vaoa40 cm/stbcbbac桿 ab 瞬時平移，ab = 0aavbvav b40 cm/svb8 rad/sbnraabba0a bb0ro(a)aova習題 6 13 解圖aaa(b)（ 2 ）桿 ab 的角加速度。aatabaat0 ， baaaoaat2280 cm/s2abba4 rad/s ab6 14圖示機構由直角形曲桿abc ，等腰直角三角形板cef ，直桿 de 等三個剛體和二個鏈桿鉸接而成， de 桿繞 d 軸勻速轉動，角速度為0 ，求圖示瞬時（ ab 水平， d

12、e 鉛垂）點 a 的速度和三角板cef 的角加速度。解：（ 1）求點 a 的速度vctaofeanaefanafevede0a0tvef三角板 cef 的速度瞬心在v點 faeavcvea0曲桿 abc 的速度瞬心在點 o(a) (b)習題 6 14 解圖vavcoa oc2 a0（ 2） 求三角板 cef 的角加速度aaatnffetnaafefe將上式沿水平方向投影an fceft0 （因為 vf = 0 ）aafetfe0fe6 15 曲柄連桿機構在其連桿中點c 以鉸鏈與 cd 相連接， de 桿可以繞 e 點轉動。如曲柄的角速度 8 rad/s ， 且 oa25 cm， de100 c

13、m ，若當 b 、 e 兩點在同一鉛垂線上時，o 、 a 、 b 三點在同一水平線上，cde90 ，求桿 de 的角速度和桿 ab 的角加速度。解：（1）求桿 de 的角速度vactavbavaoa200 cm/saaaaa nabba桿 ab 的速度瞬心在點 bvdvcva1002c m / s對桿 cd 應用速度投影定理vdvc sin 3050 cm/sdevd0.5 rad/s de(a) (b)（2）求桿 ab 的角加速度習題 6 15 解圖aatnabaababa將上式沿鉛垂方向投影0taba ，taabab0ab6 16試求在圖示機構中， 當曲柄 oa 和搖桿 o1b 在鉛垂位置

14、時， b 點的速度和加速度 （切向和法向） 。曲柄 oa 以等角加速度0 = 5rad/s2 轉動，并在此瞬時其角速度為0 = 10rad/s，oa = r = 200mm， o1b =1000mm， ab = l = 1200mm 。解： 1 v： v ar0vavb/ vaab0vbv br00.2102 m/s（ 1）b2 a： antnttaaaabaabaaa上式沿 ab 方向投影得：ban s i nt c o san si nt c o sabtnaba a t a n即2tnaaaabt a nv2(a)aattabar00.1 6 9 r0bo1b0.1 6 9ntatn(0

15、.210222)10.20.1690.20.253.70 m/s2aaaaaaban b（ tann21.22 220.221.40. 169 ）(b) (b)a b4 m/s1an b4m/s 2習題 616 解圖abab ： a bt3.7m/s 2（方向如圖）6 17圖示四連桿機構中，長為r 的曲柄 oa 以等角速度0 轉動，連桿 ab 長 l = 4r。設某瞬時 o1oa =vbo1ba = 30°。試求在此瞬時曲柄o1b 的角速度和角加速度，并求連桿中點 p 的加速度。解： 1v： v ar0va由速度投影定理知： vb = 0o1b0v ar00ababl4(a)2 a：

16、 ab上式向 aa 投影baababataaatntabaabt cos60atb2(aaaabaaaa)nba0n2(r22lab )abaaatpa22 r04r (nr)00 252ba42aaan52pabo 1bt bao1bt ba5r 2cos302a t cos30 5r3r023205r2aa(b)習題 6 17 解圖aattbabcos30352r0225 32r04aannt2apaapapa2a ar0 ， a pa2rabr2t0 ， apa81t532abar0)2 2028a(a)n2)t2ap(aapapa(11)28(53 )28(r01.56r2618滑塊以

17、勻速度 vb=2m/s 沿鉛垂滑槽向下滑動，通過連桿ab 帶動輪子 a 沿水平面作純滾動。設連桿長 l =800mm ，輪子半徑 r =200mm。當 ab 與鉛垂線成角=30 時，求此時點 a 的加速度及連桿、輪子的角加速度。解： 1 v：點 o 為桿 ab 的速度瞬心rvaavbaboblan2 a： aaabvb sinat ab5 rad/slnaabat ababla2abn cot20 m/s2203 m/s2bovb(a)at aba203tabab43.3 rad/s2raaaalab0.8nnaa abasin40 m/s 2la a40ar0.22200 m/sb(b)習題

18、 6-18 解圖6-19 圖示曲柄搖塊機構中，曲柄oa 以角速度 0 繞 o 軸轉動，帶動連桿 ac 在搖塊 b 內滑動；搖塊及與其剛性連結的 bd 桿則繞 b 鉸轉動，桿 bd 長 l。求在圖示位置時，搖塊的角速度及d 點的速度。解：vaoa0vaavddv bavav a sin 300vbvb a搖塊acvdb2vba02oa40lova習題 6-19 解圖30bcd搖塊46-20 平面機構的曲柄 oa 長為 2a，以角速度 0 繞軸 o 轉動。在圖示位置時， ab bo 且oad = 90 。求此時套筒 d 相對于桿 bc 的速度。解： 1 分析滑塊 bvaava2a0 ， vb ea0vbe