動(dòng)量守恒定律的典型例題

1、動(dòng)量守恒定律的典型例題【例1】把一支槍固定在小車上，小車放在光滑的水平桌面上槍發(fā)射出一顆子 彈.對(duì)于此過(guò)程，下列說(shuō)法中正確的有哪些？A .槍和子彈組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒B. 槍和車組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒C. 車、槍和子彈組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒D. 車、槍和子彈組成的系統(tǒng)近似動(dòng)量守恒，因?yàn)樽訌椇蜆屚仓g有摩擦力.且 摩擦力的沖量甚小【分析】本題涉及如何選擇系統(tǒng)，并判斷系統(tǒng)是否動(dòng)量守恒.物體間存在相互作 用力是構(gòu)成系統(tǒng)的必要條件，據(jù)此，本題中所涉及的桌子、小車、槍和子彈符合 構(gòu)成系統(tǒng)的條件.不僅如此，這些物體都跟地球有相互作用力. 如果僅依據(jù)有相 互作用就該納入系統(tǒng)，那么推延下去只有把整個(gè)宇宙包括進(jìn)去才能算是

2、一個(gè)完整 的體系，顯然這對(duì)于分析、解決一些具體問(wèn)題是沒(méi)有意義的. 選擇體系的目的在 于應(yīng)用動(dòng)量守恒定律去分析和解決問(wèn)題， 這樣在選擇物體構(gòu)成體系的時(shí)候，除了 物體間有相互作用之外，還必須考慮“由于物體的相互作用而改變了物體的動(dòng) 量”的條件.桌子和小車之間雖有相互作用力，但桌子的動(dòng)量并沒(méi)有發(fā)生變化.不 應(yīng)納入系統(tǒng)內(nèi)，小車、槍和子彈由于相互作用而改變了各自的動(dòng)量， 所以這三者 構(gòu)成了系統(tǒng).分析系統(tǒng)是否動(dòng)量守恒，則應(yīng)區(qū)分內(nèi)力和外力.對(duì)于選定的系統(tǒng)來(lái) 說(shuō)，重力和桌面的彈力是外力，由于其合力為零所以系統(tǒng)動(dòng)量守恒.子彈與槍筒 之間的摩擦力是系統(tǒng)的內(nèi)力，只能影響子彈和槍各自的動(dòng)量，不能改變系統(tǒng)的總 動(dòng)量.所

3、以D的因果論述是錯(cuò)誤的.【解】正確的是C.【例2】一個(gè)質(zhì)量M=1kg的鳥在空中vo=6m/s沿水平方向飛行，離地面高度 h=20m，忽被一顆質(zhì)量m=20g沿水平方向同向飛來(lái)的子彈擊中，子彈速度v=300m/s,擊中后子彈留在鳥體內(nèi)，鳥立即死去，g=10m/s2.求：鳥被擊中后經(jīng) 多少時(shí)間落地；鳥落地處離被擊中處的水平距離.【分析】子彈擊中鳥的過(guò)程，水平方向動(dòng)量守恒，接著兩者一起作平拋運(yùn)動(dòng)?！窘狻堪炎訌椇网B作為一個(gè)系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒.設(shè)擊中后的共同速度為u, 取vo的方向?yàn)檎较?，則由Mvo + mv = (m + M)u，in / s 1176m / s.擊中后，鳥帶著子彈作平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)

4、時(shí)間為鳥落地處離擊中處水平距離為S= ut= 11.76X 2m = 23.52m.【例3】一列車沿平直軌道以速度vo勻速前進(jìn)，途中最后一節(jié)質(zhì)量為 m的車廂 突然脫鉤，若前部列車的質(zhì)量為 M，脫鉤后牽引力不變，且每一部分所受摩擦 力均正比于它的重力，則當(dāng)最后一節(jié)車廂滑行停止的時(shí)刻，前部列車的速度為A.M tnB.D.【分析】列車原來(lái)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，牽引力F等于摩擦力f，f=k（m + M）g（k為比 例系數(shù)），因此，整個(gè)列車所受的合外力等于零.尾部車廂脫鉤后，每一部分所 受摩擦力仍正比于它們的重力.因此，如果把整個(gè)列車作為研究對(duì)象，脫鉤前后 所受合外力始終為零，在尾部車廂停止前的任何一個(gè)瞬間，

5、整個(gè)列車（前部+尾部） 的動(dòng)量應(yīng)該守恒.考慮剛脫鉤和尾部車廂剛停止這兩個(gè)瞬間，由(m+M)v 0=0+Mv得此時(shí)前部列車的速度為【答】B 【說(shuō)明】上述求解是根據(jù)列車受力的特點(diǎn)， 恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象，巧妙地運(yùn)用了 動(dòng)量守恒定律，顯得非常簡(jiǎn)單.如果把每一部分作為研究對(duì)象， 就需用牛頓第二 定律等規(guī)律求解有興趣的同學(xué)，請(qǐng)自行研究比較.【例4】質(zhì)量mi=10g的小球在光滑的水平桌面上以 v仁30cm/s的速率向右運(yùn)動(dòng)， 恰好遇上在同一條直線上向左運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)小球. 第二個(gè)小球的質(zhì)量為 m2=50g， 速率v2=10cm/s.碰撞后，小球m2恰好停止.那么，碰撞后小球 mi的速度是多 大，方向如何？【分

6、析】取相互作用的兩個(gè)小球?yàn)檠芯康南到y(tǒng)。 由于桌面光滑，在水平方向上系 統(tǒng)不受外力.在豎直方向上，系統(tǒng)受重力和桌面的彈力，其合力為零.故兩球碰 撞的過(guò)程動(dòng)量守恒.【解】設(shè)向右的方向?yàn)檎较颍瑒t各速度的正、負(fù)號(hào)分別為v1=30cm/s，v2=10cm/s，v'2=0.據(jù)動(dòng)量守恒定律有mi vi +m2v2=m1v'1+m2v'2.貝IJ10X30-50x10 =i + O,解得 v'1=-20cm/s.即碰撞后球m1的速度大小為20cm/s，方向向左.【說(shuō)明】通過(guò)此例總結(jié)運(yùn)用動(dòng)量守恒定律解題的要點(diǎn)如下.(1) 確定研究對(duì)象.對(duì)象應(yīng)是相互作用的物體系.(2) 分析系統(tǒng)

7、所受的內(nèi)力和外力，著重確認(rèn)系統(tǒng)所受到的合外力是否為零，或合 外力的沖量是否可以忽略不計(jì).選取正方向，并將系統(tǒng)內(nèi)的物體始、末狀態(tài)的動(dòng)量冠以正、負(fù)號(hào)，以表示動(dòng) 量的方向.(4)分別列出系統(tǒng)內(nèi)各物體運(yùn)動(dòng)變化前 (始狀態(tài) )和運(yùn)動(dòng)變化后 (末狀態(tài) )的動(dòng)量之 和(5)根據(jù)動(dòng)量守恒定律建立方程，解方程求得未知量【例 5】甲、乙兩小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲甲和他的冰車的總質(zhì)量 共為M=30kg，乙和他的冰車的總質(zhì)量也是 30kg.游戲時(shí)，甲推著一質(zhì)量為 m=15km的箱子，和他一起以大小為vo=2m/s的速度滑行.乙以同樣大小的速度 迎面滑來(lái). 為了避免相撞， 甲突然將箱子沿冰面推給乙， 箱子到乙處

8、時(shí)乙迅速把 它抓住.若不計(jì)冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度 (相對(duì)于地面 )將箱子推 出，才能避免和乙相碰.【解】設(shè)甲推出的箱子速度為v,推出后甲的速度變?yōu)関i，取vo方向?yàn)檎较? 據(jù)動(dòng)量守恒有(M + m)vo= Mvi + mv. (1)乙抓住箱子的過(guò)程，動(dòng)量守恒，則Mv mv0=(M m)v2.(2)甲、乙兩冰車避免相撞的條件是 V2vi,取v2=vi(3)聯(lián)立 (i)、 (2)、 (3)式，并代入數(shù)據(jù)解得v=5.2m/s【說(shuō)明】本題僅依據(jù)兩個(gè)動(dòng)量守恒的過(guò)程建立的方程還能求解， 關(guān)鍵是正確找出 臨界條件，并據(jù)此建立第三個(gè)等式才能求解【例6】?jī)奢v質(zhì)量相同的小車A和B，置于光滑水平面上

9、，一人站在 A車上， 兩車均靜止若這個(gè)人從 A 車跳到 B 車上，接著又跳回 A 車，仍與 A 車保持相 對(duì)靜止，則此時(shí) A 車的速率 A 等于零B 小于B車的速率C.大于B車的速率D .等于B車的速率【分析】設(shè)人的質(zhì)量為mo,車的質(zhì)量為m.取A、B兩車和人這一系統(tǒng)為研究 對(duì)象，人在兩車間往返跳躍的過(guò)程中，整個(gè)系統(tǒng)水平方向不受外力作用， 動(dòng)量守 恒.取開始時(shí)人站在A車上和后來(lái)又相對(duì)A車靜止時(shí)這兩個(gè)時(shí)刻考察系統(tǒng)的動(dòng) 量，則0= (mo + m)vA+ mvB，得仏B兩車速度之比鼻二-可見(jiàn)，兩車反向運(yùn)動(dòng)，A車的速率小于B車的速率.【答】B.【說(shuō)明】本題中兩車相互作用前后動(dòng)量在一直線上， 但兩者動(dòng)量

10、方向即速度方向 均不甚明確，因此沒(méi)有事先規(guī)定正方向，而是從一般的動(dòng)量守恒表達(dá)式討論.由鼻為負(fù)值，可知兩車運(yùn)動(dòng)方向相反. %【例7】甲、乙兩船在平靜的湖面上以相同的速度勻速航行，且甲船在前乙船在 后.從甲船上以相對(duì)于甲船的速度 v，水平向后方的乙船上拋一沙袋，其質(zhì)量為 m.設(shè)甲船和沙袋總質(zhì)量為M，乙船的質(zhì)量也為M .問(wèn)拋擲沙袋后，甲、乙兩船 的速度變化多少？【分析】由題意可知，沙袋從甲船拋出落到乙船上，先后出現(xiàn)了兩個(gè)相互作用的 過(guò)程，即沙袋跟甲船和沙袋跟乙船的相互作用過(guò)程.在這兩個(gè)過(guò)程中的系統(tǒng)，沿水平方向的合外力為零，因此，兩個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量都守恒.值得注意的是，題目中 給定的速度選擇了不同的參照系

11、.船速是相對(duì)于地面參照系，而拋出的沙袋的速 度v是相對(duì)于拋出時(shí)的甲船參照系.【解】取甲船初速度V的方向?yàn)檎较?，則沙袋的速度應(yīng)取負(fù)值.統(tǒng)一選取地 面參照系，則沙袋拋出前，沙袋與甲船的總動(dòng)量為 MV .沙袋拋出后，甲船的動(dòng)量為(M-m)v甲'，沙袋的動(dòng)量為m(v甲'-v).根據(jù)動(dòng)量守恒定律有MV=(M-m)v 甲'+ m(v 甲'-v). (1)取沙袋和乙船為研究對(duì)象，在其相互作用過(guò)程中有MV + m（v 甲'-v） = （M+m）v 乙'.（2）聯(lián)立（I）、（2）式解得- m)=V7.則甲、乙兩船的速度變化分別為mi【例8】小型迫擊炮在總質(zhì)量為1

12、000kg的船上發(fā)射，炮彈的質(zhì)量為2kg .若炮彈 飛離炮口時(shí)相對(duì)于地面的速度為 600m/s,且速度跟水平面成45°角，求發(fā)射炮 彈后小船后退的速度？【分析】取炮彈和小船組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在發(fā)射炮彈的過(guò)程中，炮彈和炮 身（炮和船視為固定在一起）的作用力為內(nèi)力.系統(tǒng)受到的外力有炮彈和船的重 力、水對(duì)船的浮力.在船靜止的情況下，重力和浮力相等，但在發(fā)射炮彈時(shí)，浮 力要大于重力.因此，在垂直方向上，系統(tǒng)所受到的合外力不為零，但在水平方 向上系統(tǒng)不受外力（不計(jì)水的阻力），故在該方向上動(dòng)量守恒.【解】發(fā)射炮彈前，總質(zhì)量為1000kg的船靜止，貝U總動(dòng)量Mv=0 .發(fā)射炮彈后，炮彈在水平方

13、向的動(dòng)量為 mvi'cos45°，船后退的動(dòng)量為（M-m）V2'.據(jù)動(dòng)量守恒定律有0=mv1 'cos45°+ (M-m)v 2.取炮彈的水平速度方向?yàn)檎较?，代入已知?shù)據(jù)解得m cos 45°M - m72x 600 -0.8&nn / s.2xt1000 -2【例9】?jī)蓧K厚度相同的木塊A和B，并列緊靠著放在光滑的水平面上，其質(zhì)量 分別為mA=2.0kg, mB=0.90kg它們的下底面光滑，上表面粗糙另有質(zhì)量 mc=0.10kg的鉛塊C（其長(zhǎng)度可略去不計(jì)）以vc=10m/s的速度恰好水平地滑到 A的 上表面（見(jiàn)圖），由于摩擦，鉛

14、塊最后停在本塊 B上，測(cè)得B、C的共同速度為 v=0.50m/s,求木塊A的速度和鉛塊C離開A時(shí)的速度.【分析】C滑上A時(shí)，由于B與A緊靠在一起，將推動(dòng)B 一起運(yùn)動(dòng).取C與A、 B這一系統(tǒng)為研究對(duì)象，水平方向不受外力，動(dòng)量守恒滑上后， C在A的摩擦 力作用下作勻減速運(yùn)動(dòng)，（A + B）在C的摩擦力作用下作勻加速運(yùn)動(dòng)待 C滑出 A后，C繼續(xù)減速，B在C的摩擦力作用下繼續(xù)作加速運(yùn)動(dòng)，于是 A與B分離, 直至C最后停于B上.【解】設(shè)C離開A時(shí)的速度為vc,此時(shí)A、B的共同速度為va,對(duì)于C剛要滑 上A和C剛離開A這兩個(gè)瞬間，由動(dòng)量守恒定律知mC/c=(mA+mB)vA+mC/'C(1)以后，

15、物體C離開A，與B發(fā)生相互作用.從此時(shí)起，物體 A不再加速，物體 B將繼續(xù)加速一段時(shí)間，于是 B與A分離.當(dāng)C相對(duì)靜止于物體B上時(shí)，C與 B的速度分別由v'C和va變化到共同速度V.因此，可改選C與B為研究對(duì)象， 對(duì)于C剛滑上B和C、B相對(duì)靜止時(shí)的這兩個(gè)瞬間，由動(dòng)量守恒定律知mCv'C+mBvA=(mB+mC)v(2)由(I)式得 口/9口6(口人+ mB)vA代入(2)式 mcvc(mA+mC)vA+mBvA=(mB+mC)v.得木塊A的速度m cvc 一 (mE -bmc)¥0.10x10-(0.90+ 0.：0Jx 0.50,2.0m / s,=0.25m /

16、s所以鉛塊C離開A時(shí)的速度m E (mE -Fmc)¥0.10x10-(0.90+ 0.：0)x 0.50;20m / s,【說(shuō)明】應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)，必需明確研究對(duì)象，即是哪一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量守 恒另外需明確考察的是系統(tǒng)在哪兩個(gè)瞬間的動(dòng)量如果我們始終以（C + A + B）這一系統(tǒng)為研究對(duì)象，并考察 C剛要滑上A和C剛離開A，以及C、B剛相對(duì) 靜止這三個(gè)瞬間，由于水平方向不受外力，則由動(dòng)量守恒定律知mcvc=(mA+mB)vA+mcvc=mA/A+(mB+mC)v.01x10-(20 + 0.90)x0 25 :m同樣可得IH0=2.75m /s.【例10】在靜止的湖面上有一質(zhì)量 M=

17、100kg的小船，船上站立質(zhì)量 m=50kg的人，船長(zhǎng)L=6m，最初人和船靜止.當(dāng)人從船頭走到船尾（如圖），船后退多大 距離？（忽略水的阻力）分析有的學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題是這樣解答的.由船和人組成的系統(tǒng)，當(dāng)忽略水的阻 力時(shí)，水平方向動(dòng)量守恒.取人前進(jìn)的方向?yàn)檎较?，設(shè) t時(shí)間內(nèi)人由船頭走到船屋，則人前進(jìn)的平均速度為*,船在此吋間內(nèi)后退了址 距萬(wàn)則船后退的速度平均為右朮平方向動(dòng)量守恒方程為故E L- 3m.M這一結(jié)果是錯(cuò)誤的，其原因是在列動(dòng)量守恒方程時(shí)，船后退的速度三是相對(duì)于地球的，而人前進(jìn)的謹(jǐn)度丄是相對(duì)于船的相對(duì)于不同參 tt考系的速度代入同一公式中必然要出錯(cuò).【解】選地球?yàn)閰⒖枷?，人在船上行走，?/p>

18、對(duì)于地球的平均速度為，船相對(duì)于地球后退的平均速度為二系統(tǒng)水平方冋動(dòng)量守恒方程 tt為【例11】一浮吊質(zhì)量M=2 x 104kg，由岸上吊起一質(zhì)量 m=2X103kg的貨物后， 再將吊桿OA從與豎直方向間夾角9 =60°轉(zhuǎn)到9 '=30°，設(shè)吊桿長(zhǎng)L=8m，水 的阻力不計(jì)，求浮吊在水平方向移動(dòng)的距離？向哪邊移動(dòng)？【分析】對(duì)浮吊和貨物組成的系統(tǒng)，在吊桿轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中水平方向不受外力，動(dòng)量 守恒.當(dāng)貨物隨吊桿轉(zhuǎn)動(dòng)遠(yuǎn)離碼頭時(shí)，浮吊將向岸邊靠攏，猶如人在船上向前走 時(shí)船會(huì)后退一樣，所以可應(yīng)用動(dòng)量守恒求解.【解】設(shè)浮吊和貨物在水平方向都作勻速運(yùn)動(dòng)，浮吊向右的速度為V,貨物相對(duì)于浮吊

19、向左的速度為u，則貨物相對(duì)河岸的速度為（v-u）由0= Mv + m(v-u)，得甘=H1UM + m吊桿從方位角9轉(zhuǎn)到B'需時(shí)L sin 6 -Lsin。）t =u所以浮吊向岸邊移動(dòng)的距離muM2 X 103 X 81)【說(shuō)明】當(dāng)?shù)鯒U從方位角9轉(zhuǎn)到9 '時(shí)，浮吊便向岸邊移動(dòng)一定的距離，這個(gè)距 離與吊桿轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，也就是貨物移動(dòng)的速度無(wú)關(guān)。但為了應(yīng)用動(dòng)量守恒定律， 必須先假設(shè)浮吊和貨物移動(dòng)為某個(gè)速度。【例12】如圖所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點(diǎn)0兩側(cè)的人的序號(hào) 都記為n（n=1，2，3）.每人只有一個(gè)沙袋，x>0 一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量m=14kg， x<0

20、一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量為 m'=10kg. 一質(zhì)量為M=48kg的小車以某初速度從原 點(diǎn)出發(fā)向正xV朝與車相反的方向沿車面扔到車上，V的大小等于扔此袋之前的瞬 間車速大小的2n倍（n是此人的序號(hào)數(shù)）.（I）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí) 車就反向滑行？ （2）車上最終有大小沙袋共多少個(gè)？32101 Z 3 【分析】因?yàn)槿拥杰嚿系纳炒乃剿俣扰c車行方向相反，兩者相互作用后一起 運(yùn)動(dòng)時(shí)，總動(dòng)量的方向(即一起運(yùn)動(dòng)的方向)必與原來(lái)動(dòng)量較大的物體的動(dòng)量方向 相同.當(dāng)經(jīng)過(guò)第n個(gè)人時(shí)，扔上去的沙袋的動(dòng)量大于車及車上沙袋的動(dòng)量時(shí)，車就會(huì)反向運(yùn)動(dòng).車向負(fù)x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)、當(dāng)扔上去的沙袋的動(dòng)量與車及車上沙袋的

21、 動(dòng)量等值反向時(shí)，車將停止運(yùn)動(dòng).【解】(1)設(shè)小車朝正x方向滑行過(guò)程中，當(dāng)車上已有(n-1)個(gè)沙袋時(shí)的車速為vn-1， 則車與沙袋的動(dòng)量大小為pi= M + (n l)mvn-i.車經(jīng)過(guò)第n個(gè)人時(shí)，扔出的沙袋速度大小為2nvn-i，其動(dòng)量大小為p2=2nmvn-i,當(dāng)滿足條件P2> pi時(shí)，車就反向滑行.于是由2nmvn-i > M + (n-l)mv n-i，M -m n >=14取n=3，即車上堆積3個(gè)沙袋時(shí)車就反向運(yùn)動(dòng).設(shè)車向負(fù)x方向滑行過(guò)程中，當(dāng)?shù)?n i)個(gè)人扔出沙袋后的車速為V'n-i，其動(dòng) 量大小為p'i= M + 3m+ (n-l)m' v'n-i.車經(jīng)過(guò)第n個(gè)人時(shí)，扔出沙袋的速度大小為2nv'n-i，其動(dòng)量大小為當(dāng)滿足條件P'2=P'i時(shí)，車就停止.于是由M + 3m+ (n-l)m'vn-i = 2n m'v'n-i，得M