2016年高考四川卷理數(shù)試題(含答案)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷)數(shù)學(xué)(理工類)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。1 .設(shè)集合A千xl2-Mx2,Z為整數(shù)集，則A0Z中元素的個數(shù)是(A)3(B)4(C)5(D)62 .設(shè)i為虛數(shù)單位，則(X+0的展開式中含X4的項為(A)-15x4(B)15x4(C)-20ix4(D)20ix4TT3 .為了得到函數(shù)ysjn(2x)的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點3(A)向左平行移動F個單位長度(B)向右平行移動1r個單位長度3y個單位長度63(C)向左平行移動y個單位長度()向右平行移動64

2、 .用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(A)24(B)48(C)60(D)725 .某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：1g1.12%0.05,1g1.3%0.11,lg220.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年6 .秦九韶是我國南宋使其的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框

3、圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n,x的值分別為3,2,則輸出v的值為(A)9(B)18(C)20(D)357.設(shè) p：實數(shù) x, y 滿足(x- 1 )2 - (y - l)2 2, q：實數(shù)x,y x-i,y滿足yNl_x,則p是q的I kyb(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件8.設(shè)O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2 2px(p=0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PMFF罩直線OM的斜率的最大值為(C)(D) 1-11 -f-lnx,01,于點P,且11，12分別與y軸相交于點A,B,則4PAB的面積的取值范圍是

4、(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+8)(D)(1,+8)m*一ami10.在平面內(nèi)，定點A,B,C,D滿從DDq=|Dc|,DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2,動點P,M滿足加二1,PM=MC,則BM?的最大值是(A)43(B)49(C)37%(D)374344444二、填空題：本大題共5小題，每小題5分,共25分。2it2n11.cossill二.8812 .同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是.13 .已知三棱鏡的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是。正視相*j3

5、14 .已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0VxV1時，f(x)一,，則f(-)i+f(1)=o15.在平面直角坐標系中，當P(x,y)不是原點時，定義P的“伴隨點”為，VXP()，)；一x2+y2x2+y2C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的當P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線曲線C定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題:若點A的“伴隨點”是點A,則點A的“伴隨點”是點A單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其“伴隨曲線C關(guān)于y軸對稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是（寫出所有真命題的序列）.三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答

6、應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸）、一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出X的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5）,0.5,1）,4,4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（n）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（HI）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準X（噸

7、），估計X的值，并說明理由.17 .(本小題滿分12分)cosA在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且-FcosB=sin_C_.abc(I)證明：sinAsinB-sinC；6(n)若b2+c2_a2=_be，求tanB.518 .(本小題滿分12分)1如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD/7BC,/ADC=/PAB=900,BC=CD=_AD.E為邊AD2的中點，異面直線PA與CD所成的角為90.(I)在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CM平面PBE,并說明理由；(U)若二面角P-CD-A的大小為45,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.19 .(本小題滿分12分)已知數(shù)列an

8、的首項為1,Sn為數(shù)列an的前n項和，SnW=qSn+1,其中q。，neN(I)若2a2,a3,a寸2成等差數(shù)列，求an的通項公式；2y254n-3n(ii)設(shè)雙曲線x2=1的離心率為en，且e2=一，證明：ei+e2+口33.20 .(本小題滿分13分)已知橢圓E：的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點,直線1:=-+3與橢圓匚有且只有一個公共點.yxEt(I)求橢圓E的方程及點T的坐標；(n)設(shè)O是坐標原點，直線V平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A、B,且與直線1交于點P.證明：存在常數(shù)入，使得|PT|2二人|PA|PB|,并求人的值.21 .(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)

9、=ax2-a-lnx,其中aeR.(I)討論f(x)的單調(diào)性；(n)確定a的所有可能取值,使得f(x)弋1-甘在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立(e=2.718,為自然對數(shù)的底數(shù))o2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理工類）試題參考答案一、選擇題1. C 2. A3. D 4. D 5. B6. B 7- A8. C 9. A 10. B二、填空題72311. 12.2214. -2 15.三、解答題16 .（本小題滿分12分）（I ）由頻率分布直方圖知，月均用水量在0,0.5)中的頻率為 0.08 X0.5=0.04,同理，在0.5,1), 1.5,2), 2,2.5), 3,3

10、.5),3.5,4) , 4,4.5)中的頻率分別為 0.08, 0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+0.08+0.5Xa+0.20+0.26+0.5Xa+0.06+0.04+0.02=l,解得a=0.30.（H）由（I）,100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000X0.12=36000.(III)因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+。.15=0.88。.85,而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.1

11、5+。.20+0.26=0.730.85,所以2.5x0).sinAsinBsinC貝ija=ksinA,b=ksinB,c=ksinC-代入cosA+cosB=sinC中，有abcsinc一coA+cosR=,變形可得ksinAksinBksinCsinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在ABC中，由A+B+C=n,有sin(A+B尸sin(nC)=sin-C,所以sinAsinB=sinC.2226(II)由已知，b+c-a=be,根據(jù)余弦定理，有b9.cosA=C2a2.2bc5,4所以sinA=JLeosA二_.5由(I),sinAsinB=sinAco

12、sB+cosAsinB,4 43所以_sinB=_cosB+_sinB,5 55.sinB故tanB二=4.cosB18 .（本小題滿分12分）（I）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB,DC,相交于點M（M平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下:由已知，BCED,且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM/EB.又EB導(dǎo)面PBE,CM飾jPBE,所以CM平面PBE.（說明：延長AP至點N,使得AP=PN,則所找的點可以是直線MN上任意一點）（II）方法一：由已知，CDPA,CDAD,RAAD=A,所以CD_L平面PAD.從而CDPD.所以NPDA是二面角P-CD-A

13、的平面角.所以/PDA=45.設(shè)BC=1,貝lj在RtPAD中，PA=AD=2.過點A作AHLCE,交CE的延長線于點H,連接PH.易知PA_L平面ABCD,從而PACE.于是CE_L平面PAH.所以平面PCE,平面PAH.過A作AQ_LPH于Q,則AQ_L平面PCE.所以ZAPH是PA與平面PCE所成的角.在RtAAEH中，ZAEH=45,AE=1,在RtAPAH中，PH=vPA2+AH2=工,2AH所以sin/APH二=1.PH3方法二:z軸的正方向，建立如圖所示的空間由已知，CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD_L平面PAD.從而N PDA是二面角P-CD-A的平面角.于是CDPD

14、.所以NPDA=45由PAAB,可得PA_L平面ABCD.設(shè)BC=1,貝lj在RtPAD中，PA=AD=2.作AyLAD,以A為原點，以AD,AP的方向分別為x軸,直角坐標系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,l,0),E(l,0,0),所以PE=(1,0,-2),EC=(1,1,0),AP=(0,0,2)設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z),nPE=0,x_2z=0,由一得)設(shè)x=2,解得n=(2,-2,l).nEC=0,Jy=0,設(shè)直線PA與平面PCE所成角為a,則sina=InAP.l-=；2_=.InIIAPI多J22+()2+P3所以直線PA與平面PCE所成

15、角的正弦值為-.319 .(本小題滿分12分)(I)由已知，Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,兩式相減得到Hn+2=qHn+1,n?1.又由S2=qSi+1得至Ija2=qai,故an+i=qan對所有n31都成立.所以，數(shù)列an是首項為1,公比為q的等比數(shù)列.從而a”=qn-1.由23232(2q+I)(q-2)=02a,a,a+2成等比數(shù)列，可得2a=3a+2,即2q=3q+2,則由已知，q0,故q=2.所以an=2n-1(n?N).(II)由(I)可知，an=qn-1.2所以雙曲線x2工=1的離心率en=；i+an2=l+q2(m).Hn054由q=3+q2=-解得q=-3

16、 32(k-1)2(k-1)izmrk-1因為1+qq，所以Y+qq(k?N).n-iq0-1于是ei+e2+鬃？en1+q+鬃？q=,q-1nn4 -3故ei+e2+鬃？esirr-320.(本小題滿分13分)(I)由已知，a=V2b，則橢圓E的方程為；+當=1.2b2b2(22工工=有方程組12b之b21,得3x2-12x+(18-2b2)=0.y=-x+3,方程的判別式為A=24(bz-3),由=(),得b2=3,此方程的解為x=2，22所以橢圓e的方程為2L+21=631點T坐標為(2,1).-15-(U)由已知可設(shè)直線1的方程為y=J-X+m(m豐0),21，Ix=2_2m,iy=-

17、x+m3有方程組12可得y=一葉，y=+2m3所以p點坐標為(22m,12m),PT8mz.339由方程組彳63I方程的判別式為設(shè)點A,B的坐標分別為A(xi,yi),B(X2,y2).(22xyi+=1可得3x2+4mx+(4m212尸0.+，由得xi4m 4m2_ 12一,xi X2=權(quán)2 =2m2xi同理|pb| =蟲22 -2m X23A=16(%2m2),由A0,解得_0時，由f，(x)=0,有x=t=J2a此時，當(時，f(x)0,f(x)單調(diào)遞減;0,f(x)單調(diào)遞增.72a(U)令g(x)=l_3,s(x)=e、_x.xexi貝ijsx)=e-l.而當X1時,s(x)0,所以在區(qū)間G內(nèi)單調(diào)遞增.s(x)(1,+)又由s(l)=o,有s