第八單元無窮級數(shù)ppt課件

1、第八單元第八單元 無窮級數(shù)無窮級數(shù)主要內容主要內容學習要求學習要求典型例題典型例題常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)一一般般項項級級數(shù)數(shù)正正項項級級數(shù)數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)三角級數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項項級級數(shù)數(shù)傅氏展開式傅氏展開式傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為為函函數(shù)數(shù)0 xx 取取在收斂在收斂 級數(shù)與數(shù)級數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉化相互轉化 1nnu一、主要內容一、主要內容.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂ns1 1、正項級數(shù)及其審斂法、正項級數(shù)及其審斂法審斂

2、法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設設 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù),假如假如lvunnn lim,那么那么(1) 當當+ l0時時,二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當當0 l時，假設時，假設 1nnv收斂收斂,那么那么 1nnu收斂收斂; (3) 當當+ l時時, 假設假設 1nnv發(fā)散發(fā)散,那么那么 1nnu發(fā)散發(fā)散;0lim(lim)nnnnnulnu ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散;設設 為正項級數(shù)為正項級數(shù),1nnu1p limpnnn u如果有如果有, ,使得使得存在存在, ,則級數(shù)收斂

3、則級數(shù)收斂. .1lim()nnnuu +數(shù)或設設 為正項級數(shù)為正項級數(shù),1nnu那么那么11時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; =1時失效時失效.lim()nnnu+數(shù)或設設 為正項級數(shù)為正項級數(shù),1nnu那么那么11時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散; =1時失效時失效.定義定義 正正 、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . )1()1(111nnnnnnuu 或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯錯級級數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 + +nuunn; ;( () )0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余

4、項項nr的的絕絕對對值值1+ + nnur. .)0( nu其其中中3 3、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法定義定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù). .定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對對收收斂斂; ;4 4、任意項級數(shù)及其審斂法、任意項級數(shù)及其審斂法5 5、冪級數(shù)、冪級數(shù),00時時當當 x其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).nnnxa 0定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R R稱為冪級數(shù)的收斂半徑稱為冪級數(shù)的收斂半徑. .冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂

5、區(qū)間冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.1lim(lim)nnnnnnaaa+(1)當當0時時,1R(2)當當=0時時,R=+(3)則當則當=+時時,R=00 na定理定理 如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)的所有系數(shù)的所有系數(shù),設設 0nnna x形如形如的級數(shù)稱為冪級數(shù)的級數(shù)稱為冪級數(shù).00()nnnaxx6 6、傅里葉級數(shù)、傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)是指三角級數(shù)傅里葉級數(shù)是指三角級數(shù)其中其中1( )cos,(0,1,2,)1( )sin,(1,2,)nnaf xnxdxnbf xnxdxn01(cossin)2nnnaanxbnx+收斂定理收斂定理設設f(x)是以是以2為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).如果

6、它滿足條件如果它滿足條件: 在一個周期在一個周期內連續(xù)或只有有限個第一類間斷點內連續(xù)或只有有限個第一類間斷點,并且至多只有有限個極值并且至多只有有限個極值點點,則則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂的傅里葉級數(shù)收斂,并且并且(1)(1)當當x x是是f(x)f(x)的連續(xù)點時的連續(xù)點時, ,級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于f(x);f(x);(2)(2)當當x x是是f(x)f(x)的間斷點時的間斷點時, ,級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于002()();f xf x+(3)(3)當當x= x= 時時, ,級數(shù)收級數(shù)收斂于斂于002()().ff+012cosnnaanx+傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)01 2(, ,)nbn稱為余弦級數(shù)稱

7、為余弦級數(shù)如果如果f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù), 1sinnnbnx傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)0(0,1,2,)nan稱為正弦級數(shù)稱為正弦級數(shù)如果如果f(x)f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù), , 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)二、學習要求理解付立葉級數(shù)的概念，知道付立葉級數(shù)的收理解付立葉級數(shù)的概念，知道付立葉級數(shù)的收斂定理，掌握求付立葉系數(shù)的公式。斂定理，掌握求付立葉系數(shù)的公式。理解常數(shù)項級數(shù)收斂的定義及性質，熟知幾何理解常數(shù)項級數(shù)收斂的定義及性質，熟知幾何級數(shù)與級數(shù)與P-級數(shù)的斂散性級數(shù)的斂散性, 掌握級數(shù)收斂的必要掌握級數(shù)收斂的必要條件及斂散性的判別法：正項級數(shù)的比較法，比條件及斂散性的判別法：正項級數(shù)

8、的比較法，比值法，根值法以及交錯級數(shù)收斂的判別法，絕對值法，根值法以及交錯級數(shù)收斂的判別法，絕對收斂與條件收斂。收斂與條件收斂。理解冪級數(shù)的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑與理解冪級數(shù)的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間及和函數(shù)的計算方法收斂區(qū)間及和函數(shù)的計算方法. 會把函數(shù)展為冪會把函數(shù)展為冪級數(shù)級數(shù).三、典型例題分析三、典型例題分析例例1 1解解判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性2110011111112231) ; 2) ; 3) (); 4) ; 5) sin; nnnnnnnnnnnn+10112113316) ; 7) ( )() ; 8) (cos).()nnnnnnn n+l

9、). 是是p-級數(shù)級數(shù), p=21, 收斂收斂.2). 是是p-級數(shù)級數(shù), p=1/21, 發(fā)散發(fā)散.3). 是兩個幾何級數(shù)是兩個幾何級數(shù)(等比級數(shù)等比級數(shù))之和之和,公比分別為公比分別為1/21, 1/31,兩個幾何級數(shù)均兩個幾何級數(shù)均 收斂，收斂，其和收斂其和收斂.111 (cos).nn收收斂斂4).一般項一般項 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.12,nnun+10 lim,nnu不滿足收斂的必要條件不滿足收斂的必要條件,發(fā)散發(fā)散.5).11sin1 lim1, 1nnnnn發(fā)發(fā)散散，11 sinnn發(fā)發(fā)散散. .6).11(1)1 lim1, 1nnn nnn+發(fā)發(fā)散散，11 (1)nn n+發(fā)

10、發(fā)散散. .7).122133 , (nn1, 2nnnnn nn nnn收收斂斂, ,絕絕對對收收斂斂. .2).111221( 1)111111 |, , 21( 1) nnnnnnnnnnnn+發(fā)發(fā)散散, , 又又收收斂斂, , 且且條條件件收收斂斂. .3).111( 1) 222!2 |, lim | limlim01,!(1)!12( 1) 2 !nnnnnnnnnnnnnannnannn+收收斂斂, 且, 且絕絕對對收收斂斂. .例例3 3 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域( (區(qū)間區(qū)間) )解解112112111) (); 2) ; 3) ; ()nnnnnnnxxnx

11、n nn+222211311()4) ; 5) . !nnnnnnxxnn+1).1 (21)nnnx+的的收收斂斂域域為為( (- - 1 1, , 1 1) ). .2).123lim | lim1, 1 .21nnnnanRan+1(1) lim | lim1, 1 .(1)nnnnan nRan n+1( 1)1(1)nnxn n 當當時時，收收斂斂，1( 1) (21)nnn + 當當x = 1,發(fā)散發(fā)散.11 ()nnxn n的收斂域為的收斂域為1,1.3).11 2nnnxn的的收收斂斂域域為為-2, 2).-2, 2). 4).2121 !nnnxn的的收收斂斂域域為為(-,

12、+).(-, +). + + 1121 lim | lim, 2 .2(1)2nnnnnnanRan+1111( 2)( 1)222nnnnnxnn 當當時時，=為=為交交錯錯級級數(shù)數(shù)，1!(23)123 lim |limlim0, .(1)!(21)121nnnnnannnRannnn+ + + + + + + + + + + +11121222nnnnxnn當當時時，= =, , 發(fā)發(fā)散散. .11111( 1) lim, 222(1)2nnnnnnn+= =0 0, ,級級數(shù)數(shù)收收斂斂. .5).22122221313 lim |limlim, 9 .193133nnnnnnnnnnan

13、Rnan+ + + + + 設設y=(x1)2,22129190.9 limlim10,3313. nnnnnnnnyynnn由由于于當當時時，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散， 213= . nnnyn原原式式21 | 9 . 3nnnyyn當當時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂 即即2221(1) |2|924, . 3nnnxxxn當當或或時時 級級數(shù)數(shù)收收斂斂221(1) 3nnnxn的的收收斂斂域域為為(2, 4).(2, 4). 例例4 4 求下列冪級數(shù)的在收斂區(qū)間內的和函數(shù)求下列冪級數(shù)的在收斂區(qū)間內的和函數(shù)解解1021211) (); 2) .nnnnnxnxn+1). 設設01021211( )(),(,

14、),nnnnnns xnxnxxx+ 011 ,nnxx11022nnnnnxxnx2212211()()xxxx02()nnxx02 ()nnxx121()xx2212111111 ( ),(, ).()()xxs xxxxx+ 2). 設設121( ),nnnxs xn112 22211( )() () , , )nnnnxxxs xxnn 001222222 ( )ln|ln|lnln|xxxs xdxxxxx +那么那么21( ).nnnxxs xn11221()nnx111112222121()nnxxx121 0( )ln | .0( ).22xs xxs xxx當當時時，當當時時

15、， 122 00 22102ln |, - , )( , ), ( ), .xxxs xx2)另解另解 1112211( )()nnnnnxxs xxnn10( ). 02xs xx當當時時，當當時時，001112212()xxxdxdxxxx110011222211()()()()xxnnnnxxxxddxx011222ln |ln | .xxxxx 例例5 5設設f(x)f(x)為以為以2 2為周期的連續(xù)函數(shù)為周期的連續(xù)函數(shù). .1).1).寫出其付立葉展開式寫出其付立葉展開式, ,以及系數(shù)表達式以及系數(shù)表達式; ;2).2).設設f(x)f(x)為奇函數(shù)時其系數(shù)表達式如何為奇函數(shù)時其系數(shù)

16、表達式如何; ;3).3).設設f(x)f(x)為偶函數(shù)時其系數(shù)表達式如何為偶函數(shù)時其系數(shù)表達式如何. .解解01( )(cossin),(,)nnnf xaanxbnxx+ +1).01( ),af x dx11 2 3( )cos,(, , .)naf xnxdx n11 2 3( )sin,(, , .)nbf xnxdx n2).00 1 2 3,(, , , .)nan11 2 3( )sin,(, , .)nbf xnxdx n3).01 2 3,(, , .)nbn01( ),af x dx11 2 3( )cos,(, , .)naf xnxdx n的的和和由由此此求求級級數(shù)數(shù)為為周周期期的的付付氏氏級級數(shù)數(shù)，并并以以內內展展開開成成將將函函數(shù)數(shù) + + 1212)11(2)(nnxxxf例例6 6解解,)11(2)(是偶函數(shù)是偶函數(shù) + + xxxf + + 100)2(12dxxa, 5 + + 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn 12,42, 022knnkn), 2