第一節(jié)中值定理ppt課件

1、第三章第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 微分中值定理微分中值定理3.2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則3.3 泰勒公式泰勒公式3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性3.5 函數(shù)的極限與最大值最小值函數(shù)的極限與最大值最小值3.6 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪3.1 微分中值定理微分中值定理一一 羅爾羅爾(Rolle)定理定理 費(fèi)馬引理費(fèi)馬引理. 0)() )()( )()( )()()(0000000 xfxfxfxfxfxUxxxUxxf那那么么或或，有有處處可可導(dǎo)導(dǎo)，如如果果對對任任意意的的并并且且在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義，的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)羅

2、爾羅爾(Rolle)(Rolle)定理定理設(shè)函數(shù) (x) 滿足下列條件: (1) 在閉區(qū)間 a , b上連續(xù)； (2) 在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)； (3) (a) = (b)；0)( ),( fba，使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點(diǎn)處的切線是在該點(diǎn)處的切線是點(diǎn)點(diǎn)上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC因 f(x) 在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)，由最大值與最小值定理知， f(x) 在 a,b上必有最大值 M和最小值 m.下面分兩種情形討論:(1) 假設(shè)假設(shè) M = m, 那么那么 (x)在在 a , b上恒為

3、常數(shù)上恒為常數(shù). 從而從而. 0)( ),( xfbax，恒恒有有對對于于故在 (a , b)內(nèi)的每一點(diǎn)都可取作 . 定理顯然成立.0yxy=Mab證明：證明：)()( )2(bfafmM ，而而若若.)( ),( )( MfbaafMmM 使使得得，內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，從從而而在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的的數(shù)數(shù)值值，不不妨妨中中至至少少有有一一個個不不等等于于端端與與則則數(shù)數(shù). 0)( f下下面面證證明明，從從而而由由費(fèi)費(fèi)馬馬引引理理可可知知，因因?yàn)闉?()(, fxfbax . 0)( f.定定理理證證畢畢注注. . 羅爾定理研究的是導(dǎo)函數(shù)方程羅爾定理研究的是導(dǎo)函數(shù)方程 的根的根的存在

4、性問題的存在性問題. . 羅爾定理是定性的結(jié)果羅爾定理是定性的結(jié)果, , 它只肯定它只肯定了至少存在一個了至少存在一個 , , 而不能確定而不能確定 的個數(shù)的個數(shù), , 也沒有也沒有指出實(shí)際計(jì)算指出實(shí)際計(jì)算 的值的方法的值的方法. . 但對某些簡單情形但對某些簡單情形, , 可從方程中解出可從方程中解出 . .0)( xf例例1 1.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證：存存在在性性 )1(. 3)1(1)0(1 , 0)(15)(5 ffxfxxxf，且且上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間，則則設(shè)設(shè). 0)()1 , 0(00 xfx，使使得得由由介

5、介值值定定理理，.1的的正正實(shí)實(shí)根根即即為為方方程程的的小小于于)( )2(反反證證法法唯唯一一性性. 0)( )1 , 0(1011 xfxxx，使使，假假設(shè)設(shè)另另有有. 0)(),(0)()()1 , 0(),(1 , 0,)( 1010101010 fxxxfxfxxxxxfxx，使使得得一一點(diǎn)點(diǎn)存存在在，根根據(jù)據(jù)羅羅爾爾定定理理，至至少少內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且上上連連續(xù)續(xù)，在在開開區(qū)區(qū)間間在在閉閉區(qū)區(qū)間間，則則不不妨妨設(shè)設(shè). . )1 , 0( 0)1(5)(04為為唯唯一一實(shí)實(shí)根根所所以以矛矛盾盾，但但xxxxf 324320(01)axbxcxabc例2 求證在，內(nèi)至少有一個根。cba

6、cxbxaxxF 234)(23設(shè)設(shè)證證明明：xcbacxbxaxxF)()(234 , 0)1()0(10)(,1 , 0)( FFxFCxF）內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在（, 0)(),10( FRolle使使，定定理理，據(jù)據(jù). 0234:23 cbacba即即二二 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf

7、成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧分析分析:).()(bfaf 條條件件中中與與羅羅爾爾定定理理相相差差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減去弦線減去弦線曲線曲線., 兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等所得曲線在所得曲線在ba作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()(

8、)(axabafbfafxfxF ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系. .證證,),()(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在設(shè)設(shè)baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則則有有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成

9、.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：.)(,)(上上是是一一個個常常數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間那那末末上上的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)恒恒為為零零在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxf推論推論證明：設(shè)證明：設(shè)x1,x2是是(a, b)內(nèi)任意兩點(diǎn)，由拉格朗日中值定理內(nèi)任意兩點(diǎn)，由拉格朗日中值定理0)()()(1212 xxfxfxf(在在x1,x2之間之間) )()(12xfxf 由由x1, x2的任意性知的任意性知: f (x)=常數(shù)常數(shù), x(a, b

10、) . (設(shè)區(qū)間設(shè)區(qū)間I為為: (a,b)幾何意義：斜率處處為幾何意義：斜率處處為 0 0 的曲線的曲線, , 一定是平行于一定是平行于 x x 軸的直線軸的直線. .例例3 3).11(2arccosarcsin xxx證證明明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx例例4 4.)1ln(1,0 xxxxx 時(shí)時(shí)證明當(dāng)證明當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(理的條件理的條件上滿足拉格朗日中值定上滿足拉格

11、朗日中值定在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即值值定定理理證證明明的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是：顯顯然然，利利用用拉拉格格朗朗日日中中.)()(0)( ).()1(00CxfxCxfxfxf算算出出由由，最最后后特特殊殊取取點(diǎn)點(diǎn)，再再證證先先證證的的函函數(shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)等等式式特特點(diǎn)點(diǎn)選選取取適適當(dāng)當(dāng) .)()( )()()( ,)()2(證證出出不不等等式式，放放大大或或縮縮小小導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)再再根根據(jù)據(jù)，便便有有，使使其其滿滿足足定定理理的的條條件件

12、應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間及及對對當(dāng)當(dāng)?shù)牡暮瘮?shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)不不等等式式特特點(diǎn)點(diǎn)選選取取適適 fbabaabfafbfbaxf 三三 柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少有一點(diǎn)有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 FoY )()(xfYxFX

13、)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點(diǎn)處的切線平行于該點(diǎn)處的切線平行于在在一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在baX, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf,)(xxF 當(dāng)當(dāng), 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf特別特別例例5 5).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設(shè)設(shè),1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,)1 ,0( ,2)()0()1()0()1( fggff).0()1(2)(fff 即即小結(jié)小結(jié):