數(shù)學(xué)分析三試卷及答案

1、?數(shù)學(xué)分析?(三)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).計(jì)算題(共8題，每題9分，共72分)。1.解:11求函數(shù)f(x , y) Vx sin 濟(jì)sin-在點(diǎn)(0,0)處的二次極限與二重極限. yxf (x, y)Vxs in 丄 羽 si n 丄yx|3X |3y|，因此二重極限為0.(4分)(9分)2.解:設(shè)y y(x)，是由方程組z xf(x z z(x)F(x, y,z)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù),求空.dx對(duì)兩方程分別關(guān)于x求偏導(dǎo)：y0'所確定的隱函數(shù)其中f和F分別dz 丁 f(x dxF F矽x y dxy) xf (x y)(dX1),解此方程組并整理得竺dxFzdz 0dxFy f(x y)

2、 xf (x y)(Fy Fx)(4分)3.取，為新自變量及2 z解:2z2xx yJ2z看成是wz yx yx y2Fy xf (x y)Fzw( ,v)為新函數(shù)，變換方程zey (假設(shè)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)皆連續(xù))x, y的復(fù)合函數(shù)如下：x y2 ，w w(,),代人原方程，并將x, y, z變換為，w2 2w W c22w。x y。2整理得:(9分)(4分)(9分)因?yàn)?lim 3 xsin 1 3 ysin 1 與 lim 3 xsin 1 3 ysin 1 均不存在，x 0yx y 0yx故二次極限均不存在。4.要做一個(gè)容積為1m3的有蓋圓桶，什么樣的尺寸才能使用料最省？解：設(shè)圓桶底面半徑為r

3、,高為h,那么原問(wèn)題即為：求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的 最小值，其中目標(biāo)函數(shù)：S表2 rh 2 r2,(r2h 1)。(3分)(6分)約束條件：r2h 1。構(gòu)造 Lagrange 函數(shù)：F(r,h, ) 2 rh 2 r2 人 Fr 2 h 4 r 2 rh 0,令 r2Fh 2 r r20.解得h徑為r2r，故有r勺*，h 3纟.由題意知問(wèn)題的最小值必存在，當(dāng)?shù)酌姘? ；,高為h 3 4時(shí)，制作圓桶用料最省。9分y325.設(shè) F y e xydx,計(jì)算 F y.y2a cos , b sin .解：由含參積分的求導(dǎo)公式y(tǒng)3f (y)2yex2ydxyy3 2 x2y 1 _ 2 x2y2 x e

4、 dx 3y ey3x y2 ye心2x y(5分y3y22x e2xydxn753y2e y 2ye y7 2 -ye5 yey51y3 X2y2 e dx。(9分222y y22 26.求曲線xa2y b2篤所圍的面積，其中常數(shù)ca,b,c 0.解：利用坐標(biāo)變換由于xy 0 ,那么圖象在第一三象限，從而可以利用對(duì)稱(chēng)性，只需求第一象限內(nèi)的面積(X, y)02da2b2c22 2 sin0cosab .2 sincos(3分)ab .2sin cosc2ab d(6分)(9分)a2b2 2 c27.計(jì)算曲線積分3zdx 5xdy 2ydz,其中L是圓柱面x2 y2 1與平面Lz y 3的交線為

5、一橢圓，從z軸的正向看去，是逆時(shí)針?lè)较?解：取平面z y 3上由曲線L所圍的局部作為Stokes公式中的曲面 ，定 向?yàn)樯蟼?cè)，貝U的法向量為cos ,cos,cos1 10, .22由Stokes公式得coscoscos3zdx 5xdy 2ydzLx3zdSy5xz2ydSx222dxdy19分8.計(jì)算積分 yzdzdx, S為橢球篤aS解：橢球的參數(shù)方程為x asincos0 2 ,0，且2z, x . 2acsi n(,)積分方向向下，取負(fù)號(hào)，因此,yzdzdx°2 d 0bac2sin32yb12zcbsin1的上半局部的下側(cè).sin ,z ccos ，其中sin 。3分co

6、s.2 sin6分bac2 0 sin2 d sincos9分.證明題(共3題，共28 分)9.( 9分)討論函數(shù)fxo3xy2 xx20,0在原點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性、0可偏導(dǎo)性和可微性. 解：連續(xù)性：當(dāng)x2fx從而函數(shù)在原點(diǎn)0,00時(shí),2xy -24 y x y處連續(xù)。24xy24xyy20，當(dāng) x,y 0,0 ，3分可偏導(dǎo)性：fx 0,0f 0 limx 0x,0f 0,0fy 0,0x.f 0,0 y f 0,0 limy 0y(5分)可微性：lim從而函數(shù)在原點(diǎn)ffx xfy y廠22.xy0,0處不可微不存在,(9分)即函數(shù)在原點(diǎn)0,0處可偏導(dǎo)。10. (9分)(9分)設(shè)F x,y

7、滿足：(1) 在 D x, y x x0 a, y y0 b 上連續(xù)，(2) F0，(3) 當(dāng)x固定時(shí)，函數(shù)F x,y是y的嚴(yán)格單減函數(shù)。試證：存在 0，使得在 x x x0上通過(guò)F x, y 0定義了一個(gè)函數(shù)y y(x)，且y y(x)在上連續(xù)。證明：(i )先證隱函數(shù)的存在性。由條件(3)知，F(xiàn) x0,y在y。b,y。b上是y的嚴(yán)格單減函數(shù)，而由條件(2)知F xcYc0，從而由函數(shù)F xc,y的連續(xù)性得F xc,yob 0，F(xiàn) xYc b 0。現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)F x,ycb。由于F xq,ya b 0，那么必存在10使得F x,yc b0，x O( xc,1 )。同理，那么必存在20使

8、得F x,yc b0，x O( Xg , 2)。取 min( !, 2)，貝U在鄰域O(x°,)內(nèi)同時(shí)成立F x, y0 b 0， F x, y0 b 0。(3 分)于是，對(duì)鄰域O(x°,)內(nèi)的任意一點(diǎn)；，都成立F x,yg b 0， F x, yg b 0。固定此x，考慮一元連續(xù)函數(shù)F x, y由上式和函數(shù)F】,y關(guān)于y的連續(xù)性可知，存在F x,y的零點(diǎn)yy° b,y° b使得F x, y = 0。而F x, y關(guān)于y嚴(yán)格單減，從而使F x,y = 0的y是唯一的。再由x的任意性, 證明了對(duì):O(x0,)內(nèi)任意一點(diǎn)，總能從F x, y 0找到唯一確定的

9、y與x相 對(duì)應(yīng)，即存在函數(shù)關(guān)系f： x y或y f(x)。此證明了隱函數(shù)的存在性。(6 分)(ii )下證隱函數(shù)y f(x)的連續(xù)性。設(shè)x*是:O(xo,)內(nèi)的任意一點(diǎn)，記y* : f x* 。對(duì)任意給定的0，作兩平行線yy*yy*由上述證明知F x*, y*0， F x*, y*0。由F x,y的連續(xù)性，必存在x*的鄰域0x*,使得0， F x, y*0， x Ox*,。F x,y*對(duì)任意的xF x, y*于是在 y*F x, y 即對(duì)任意的Ox*,，固定此x并考慮y的函數(shù)F x,y，它關(guān)于y嚴(yán)格單減且0， F x, y*0 o內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn),y*0，x Ox*,，它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y f

10、x是連續(xù)的。這證明了函數(shù)9分11. 10分判斷積分證明：此積分在0 作變量替換x 1， t1 1 1 sin - dx 0 x x不管正整數(shù)n多么大,sint2因此,A 丄 sintdtA t21 11sin dx 在 0 0 xx2上非一致收斂。證明如下:2上是否一致收斂，并給出證明。1-3sin tdt。 t3分時(shí)，恒有5分A 4A t27分14 t224 2n 42上非一致收斂。2時(shí)。因此原積分在0注：不能用Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的110分原因如下：盡管對(duì)任意的B 1積分：sintdt 致有界，且函數(shù)關(guān)于X單調(diào)，但是當(dāng)1時(shí)，廠關(guān)于1 12 ，那么 limn t t0

11、,2并非一致趨于零。事實(shí)上，取t n,相應(yīng)地取11 0,并非趨于零。 limn數(shù)學(xué)分析3?模擬試題lim Annn、解答以下各題每題 5分，共40 分y),求x xzsin上,x3s2 2t,y4s 2t3,z 2s23t2,匕,上求s tu3、設(shè)4、求由方程 處的全微分dz ；lnxyzx2x y在點(diǎn)yz212, 處的值；2所確定的函數(shù)zz(x,y)在點(diǎn)(1,0, J5、求函數(shù)UM1,2, 2處的梯度gradu(1,2, 2)；6、求曲面z2xyxe7、計(jì)算積分:8、計(jì)算積分:x1 1dx e0 x、10分求內(nèi)接于橢球 行于坐標(biāo)面。2x2a3在點(diǎn)(1，2xedx；Gy ；2zc2 y b2四

12、、五、六、七、10分假設(shè)f(x)dxdyD2, 0處的切平面和法線方程;1的最大長(zhǎng)方體的體積，長(zhǎng)方體的各個(gè)面平D是由10 (x)dx，求arctg dDx(x).兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域，2D是由圓周x10分計(jì)算y °y x所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.X八、“ I ° e 1 cos ydx y sin 10分計(jì)算 L0y sin x的全部邊界曲線,y)dy取逆時(shí)針?lè)较?。x2102yI分計(jì)算2z(x y z)dS(10 分)a2,z 0(a討論含參變量反常積分0。浮x在其中4,x2y2 1內(nèi)的一致收斂性。參考答案、解答以下各題每題5分，共40分z z1、設(shè) z ln、X

13、, y,求 x x y y ；解：zxx1 1 1x y 2. xz 1.xy 2 x yz111y - x y 2 , y ；1 , y 12 x y 2u zsi n=,2、x2t3,z 2s23t2, U，上求s t ；uu xuyuz解:sx syszszcos-y2 6szcos 1 4 si4sxxxxx6yzsy4zy4ss iny2 COS-cosxxxxxuuxu yuztxty t ztzcos y22 zcos丄丄-(6t2)sin ysin(6t)xxxxx2yz y 廠 COS6t2zy6tsinycosxxxxxue x sin(),2u(2,1)3、設(shè)y求xy在點(diǎn)

14、處的值；2t,y 4sx 3s2uxx xe cos() 解: yy yxu(x 1)cos(x)x y yy2 2-u-1x y (2-)e2 sin( x)y y4、求由方程xyz x y z ' 2所確定的函數(shù)zz(x, y)在點(diǎn)(1,0,1)處的全微分dz ；解：在原方程的兩邊求微分，可得xdx ydy zdz yzdx xzdy xydz<x2 y2 z2將x 1, y 0，z1代入上式，化簡(jiǎn)后得到dz dx - 2dy2 2 25、求函數(shù) u ln( xyz )在點(diǎn) M (1,2, 2)處的梯度 gradu(1,2, 2)；解:u u ugradu,-xyz2x2y2

15、z222 , 222 , 222x yzxyzxyzgradu(1,2, 2)9 1,2, 29o6、求曲面z e 2xy 3在點(diǎn)(1, 2, 0)處的切平面和法線方程;解：記 F(x,y,z) z ez 2xy 3,在點(diǎn)1，2，0那么切平面方程為：n (2y,2x,1 e處的法向量為：4( x 1)2( y 2)0,即 2x(1,2,0)皿。)40法線方程為:y 22x2xedxz 00，即2y7、計(jì)算積分:xe2x解:xxe02e xy12xdxdydx21 e xydy而 fx,y那么可交換積分次序,21dy原式e xy在【°，于是有1,2上連續(xù)，且xydx在1，2上一致收斂,

16、xydx&計(jì)算積分： 解：交換積分順序得:1dx01 -dy1 y1 2e yxIn 2dy2y dyydx02 x 2 aye2y dy扣 e1).yb22 z 2 c八、求內(nèi)接于橢球 標(biāo)面。解：設(shè)長(zhǎng)方體在第一卦限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為V的最大長(zhǎng)方體的體積,長(zhǎng)方體的各個(gè)面平行于坐x,y,z，那么長(zhǎng)方體的體積為:L xyz拉格朗日函數(shù)為8xyz2x2a2y_b22xyz20(1)aa,3xz2y bD (r, )0 解：0(2)x2zybxy2 c0(3)3222cxyz1(4)解得：2由 ab22 cz.3根據(jù)實(shí)際情況必有最大值，所以當(dāng)長(zhǎng)方體在第一卦限內(nèi)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Vmax時(shí)體積最大。abc.

17、3 = 3九、假設(shè)D是由x求(X).1和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域,f(x)dxdy10 (x)dxf(x)dxdy解：D1dx01 x0 f(x)dy10(1x)f(x)dx(x)(1x)f(x).4,x2yarctg d十、計(jì)算Dx ,其中D是由圓周?chē)傻脑诘谝幌笙迌?nèi)的閉區(qū)域 arctg dDx04drdr2rdr164 。計(jì)算0 y sinex(1cosy)dx(ysin y)dy，其中的全部邊界曲線，取逆時(shí)針?lè)较?。QxyeI所以十二、x2yexdxdyex sin 2xdx2a ,zexdx1(1(x y0(asin x0 ydye ).z)dS是半 球面0)。I解：2D:x2(x y

18、x) 12 2y a2 2Zx Zydxdy十三、解:(X討論含參變量反常積分sin( xy)4 x2所以由M判別法知,a dxdy2 2 2a x y)內(nèi)的一致收斂性。12 -4 x ，而 叫dx4 x 在2收斂,)內(nèi)的一致收斂。十四、1、2、?數(shù)學(xué)分析3?模擬試題解答以下各題每題 5分，共40分1 z3、設(shè)4、5、6、點(diǎn)的坐標(biāo)。(X 0, x1)，求 y xIn x y ；2v u,z x ln( xy)設(shè)z是方程求函數(shù)z曲面7、計(jì)算積分:8計(jì)算積分:u x cos y, v2zx yxe2y在點(diǎn)4 x22xe1ody二、10分原點(diǎn)到曲線三、10分2xR2，求四、2x10分計(jì)算D五、六、2

19、x七、zxsin y，求 xx y ；ze所確定的P1,0處沿從點(diǎn)P1,0到點(diǎn)Q2, 1的方向?qū)?shù)；y上點(diǎn)P處的切平面平行于平面 2x 2y z 1，求Px與y的函數(shù)，求dz ；3xe dxx1ey2x dxf(x2(x).I a xy10分計(jì)算 l y(102y乙1的最大距離和最小距離。R0 xdx，其中 為球體：y2 z2)dxdydzy 2dxdy2，其中D是由圓周x2x ydx，其中L為圓周x22dyI !分計(jì)算2ax所割下局部。(xyyzzxdS，其中 為錐面z1所圍成的區(qū)域。1,取逆時(shí)針?lè)较?。x22y被拄面10致收斂性。分討論含參變量反常積分0 eFxdx在y y。,)(yo

20、76;內(nèi)的一參考答案卜五、解答以下各題(每題 5分，共40分)x z '1、設(shè)zxy(x0,2、yxy1x 1)，求 yzxy In x解：x1 zln x1 zln x1xln xy ln xxyxy 2z2v u,u x cos y, v xsin y 求 xu xv2)cosyv x(u2解：x(2uv3x2 cosy sin y(cos yz z z z v2uv)sin ysin y)y u y v y2(2uv v )( x sin y)2x3 sin y cosy(sin y(u2 2uv)x cos ycos y) x3(cos3 y sin3 y)。2z3、設(shè)zxln

21、( xy),In解：x2zxy xyln xy 1xyxy4、設(shè)z是方程x解：方程兩邊求微分，得dx dy dz ezdzdx dydzy。ze所確定的x與y的函數(shù)，求dz ；zdxe5、求函數(shù)z xe2y在點(diǎn)P(1,0)處沿從點(diǎn)P(1,0)到點(diǎn)Q(2, 1)的方向?qū)?shù);1 ez 12y解：方向I即向量PQ1, 1的方向，因此x軸到方向I的轉(zhuǎn)角e2y2xe2yx (1,0)1,y (1,0)故所求方向?qū)?shù)為：6、曲面z 4z12 x1 ? cos( ) 2 si n()44- 22。2y上點(diǎn)P處的切平面平行于平面 2x 2y z 1，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(X0,y0,zo)，貝y P點(diǎn)處的切平面為 2x°(x x°) 2y°(y 又因該平面與平面 2x2總 2yg2y°) (z z°)02y z1平行,那么有x°2xe e7、計(jì)算積分：2x3xe e解:x2xe0xydy3xdxf(x,y)而那么可交換積分次序,3原式e xy 在0,于是有2dy 0 exydx1,y°1,z°3xdx，即P(1,1,2)。dx2,3上連續(xù),xydx在2 , 3上一致收斂,I8計(jì)算積分：解：交換積分順序得:1 2X2I