威布爾分布無失效數(shù)據(jù)失效概率的估計(jì)xlh

1、威布爾分布無失效數(shù)據(jù)失效概率的估計(jì)熊蓮花 趙德勤（合肥工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，合肥，230009）摘 要：本文通過討論威布爾分布函數(shù)形狀參數(shù)的大小，給出各檢測(cè)時(shí)刻失效概率的相互關(guān)系作為先驗(yàn)信息，得到的估計(jì)，并且試驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示此種方法是可行的。關(guān)鍵詞：無失效數(shù)據(jù)；失效概率；估計(jì)中國(guó)分類號(hào)：O213.2 MR(2000主題分類號(hào)：62N05一. 引言在可靠性試驗(yàn)中，特別是在高可靠性，小樣本問題的定時(shí)截尾試驗(yàn)中，常會(huì)遇到“無失效數(shù)據(jù)”，文獻(xiàn)1中提出了一種處理無失效數(shù)據(jù)的方法是配分布曲線法，其基本思想：首先估計(jì)各時(shí)刻的失效概率，然后利用最小二乘法或加權(quán)最小二乘法估計(jì)壽命參數(shù)。其中關(guān)鍵是估計(jì)各時(shí)刻的失效概率。文獻(xiàn)

2、2,3分別從指數(shù)分布函數(shù)自身的無記憶性和正態(tài)分布的凹凸性特點(diǎn)引入先驗(yàn)信息，給出相應(yīng)先驗(yàn)分布，進(jìn)行估計(jì)。在無失效數(shù)據(jù)場(chǎng)合，關(guān)于指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)方法眾多4,5,6，但在威布爾分布場(chǎng)合，方法較少，究其主要原因是威布爾分布的參數(shù)和的共軛先驗(yàn)分布形式復(fù)雜，所以一般采用配分布曲線法對(duì)失效概率進(jìn)行估計(jì)，文獻(xiàn)7中提出一種針對(duì)無失效數(shù)據(jù)普遍適用的構(gòu)造先驗(yàn)分布的方法減函數(shù)法。本文選擇減函數(shù)法中的特例無信息先驗(yàn)分布，則的取值范圍成為無信息先驗(yàn)分布的關(guān)鍵。威布爾分布是可靠性中最常用的壽命分布之一，它的最大特點(diǎn)是其形狀參數(shù)的不同能反映各種不同的失效機(jī)理8,9。文中通過討論威布爾分布形狀參數(shù)的不同取值范圍，得到各失效概

3、率合理的取值范圍作為先驗(yàn)信息，從而對(duì)進(jìn)行估計(jì)。對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行次定時(shí)截尾試驗(yàn)，截尾時(shí)間為，相應(yīng)試驗(yàn)樣品數(shù)，若結(jié)果是所有樣品無一失效，則稱為無失效數(shù)據(jù)，記，它表示截尾時(shí)間達(dá)到或超過的產(chǎn)品數(shù) ，即在時(shí)刻尚未失效的產(chǎn)品數(shù)。綜上所述，試驗(yàn)提供的統(tǒng)計(jì)信息有：時(shí)其失效概率(或接近為0，記，則 （1.1）二母體服從威布爾分布情況下的統(tǒng)計(jì)分析2.1失效概率的先驗(yàn)分布I設(shè)樣品壽命服從二參數(shù)威布爾分布,其分布函數(shù)為， （2.1）其中為未知參數(shù)，為形狀參數(shù)，為尺度參數(shù)。文獻(xiàn)2利用分布函數(shù)的凸函數(shù)性質(zhì)得到各時(shí)刻處失效概率的相互關(guān)系作為先驗(yàn)信息。當(dāng)時(shí)，即是的凸函數(shù)，由凸函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)， （2.2）特別地，取，則（2.2）

4、可寫成， （2.3）故當(dāng)時(shí)，因且，得，其中。即在母體為威布爾分布時(shí)，應(yīng)在之間變化，其中。所以取值區(qū)間的長(zhǎng)度為： （2.4）2.2 失效概率的先驗(yàn)分布II令，由（2.1）得，則，當(dāng)時(shí)，有和， （2.5）上面兩式相減并整理得，其中，等價(jià)于，即，其中有。結(jié)合（1.1）式，當(dāng)時(shí)，有（其中）作為的變化范圍。我們?nèi)?，取無信息先驗(yàn)分布，則的先驗(yàn)分布為 （2.6）其中。所以取值區(qū)間的長(zhǎng)度為： （2.7）2.3 先驗(yàn)分布I與先驗(yàn)分布II的比較及失效概率的估計(jì)由（2.4）和（2.7）兩式知：或，令，則，其中，故當(dāng)時(shí)，綜上所得，即。 （2.8）由（2.8）式可知：的先驗(yàn)分布II比先驗(yàn)分布I中得到的的取值范圍更小，可

5、利用的先驗(yàn)信息就更多，故我們選擇（2.6）式作為的先驗(yàn)分布。定理1 當(dāng)威布爾分布(2.1形狀參數(shù)時(shí)，若對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行次定時(shí)截尾試驗(yàn)，得到一組無失效數(shù)據(jù)，記，則各時(shí)刻處的失效概率應(yīng)滿足，其中，若取的先驗(yàn)分布為上的均勻分布，則在平方損失下，的估計(jì)為。證明：在時(shí)刻個(gè)產(chǎn)品均無失效，即失效數(shù)，其似然函數(shù)為結(jié)合先驗(yàn)分布(2.6，得到的后驗(yàn)分布為在平方損失下，的估計(jì)為 （2.9）由和(2.9式，我們可以估計(jì)出各個(gè)觀察時(shí)刻的失效概率，由于，的估計(jì)具有“保序性” 保持了的序關(guān)系，。三. 母體服從威布爾分布（）情況下的統(tǒng)計(jì)分析當(dāng)時(shí)，令，即有：，得，故當(dāng)時(shí)，為凹函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為凸函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，我們不能根據(jù)母體分布函數(shù)的

6、凹凸性得到各的相互關(guān)系作為先驗(yàn)信息，在此我們利用2.2中的方法對(duì)各給出其先驗(yàn)信息。由(2.5式得，當(dāng)時(shí)，有和上面兩式相減并整理得，等價(jià)于，即，故有，其中，當(dāng)時(shí)，由得，由此有，等價(jià)于，其中。從上分析可給出的變化范圍為，其中，,是的上界（由先驗(yàn)信息或?qū)＜医?jīng)驗(yàn)確定）。由此可見，當(dāng)母體為威布爾分布時(shí)，應(yīng)在之間變化，若無其它先驗(yàn)信息可用，可認(rèn)為在上取值是等可能的，則的先驗(yàn)分布為其中，。定理2 當(dāng)威布爾分布(2.1形狀參數(shù)時(shí)，若對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行次定時(shí)截尾試驗(yàn)，得到一組無失效數(shù)據(jù)組，記，則各時(shí)刻處的失效概率應(yīng)滿足，其中，是的上界（由先驗(yàn)信息或?qū)＜医?jīng)驗(yàn)確定）。若取的先驗(yàn)分布為上的均勻分布，則在平方損失下，的估計(jì)為。

7、類似定理1的證明。當(dāng)時(shí)，威布爾分布即為指數(shù)分布，可參考文獻(xiàn)4,5,6等。四. 實(shí)例分析在文獻(xiàn)5中給出了某型發(fā)動(dòng)機(jī)的無失效數(shù)據(jù)（單位時(shí)間：秒）如表1。表1 無失效數(shù)據(jù)Tab.1 Zero-failure data12345678910111213321213 811 43112100.18109.93115.01130.15150.00179.94190.36250.15783.00849.94870.03909.771450.03表2 失效概率的估計(jì)Tab.2 Failure-probability estimation123456789101112130.00960.01010.01020.

8、01090.01170.01290.01370.01580.03120.03270.03300.03370.04350.00960.00790.00910.01020.01150.01360.01510.01900.04000.04860.05610.06040.08410.00960.03030.06510.10760.15680.22070.28320.40130.81470.85740.88650.91780.9860表2中的，是當(dāng)威布爾分布的形狀參數(shù)時(shí)分別用定理1的結(jié)論和文獻(xiàn)7中減函數(shù)法得到的結(jié)果，相對(duì)于而言變化平緩，特別是當(dāng)試驗(yàn)到后，與的差距越來越大，且，這與高可靠性產(chǎn)品失效概率低是

9、相吻合的。是當(dāng)時(shí)，取，根據(jù)定理2計(jì)算所得，從計(jì)算結(jié)果來分析，此組無失效數(shù)據(jù)來自的威布爾分布的可能性比較小。參考文獻(xiàn)：1 茆詩(shī)松,羅朝斌. 無失效數(shù)據(jù)的可靠性分析J,數(shù)理統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用概率,1989,4(4:480-506.2 張志華. 正態(tài)分布場(chǎng)合下只有一個(gè)失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析J,應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),1989,14(2:185-190.3 趙海兵,程依明. 指數(shù)分布場(chǎng)合下無失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析J,應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2004,01:59-65.4 李億民. 關(guān)于指數(shù)分布失效數(shù)據(jù)的一種Bayes估計(jì)J,山東理工大學(xué)學(xué)報(bào),2006,02:17-19.5 韓明. 無失效數(shù)據(jù)情形可靠性參數(shù)的估計(jì)和調(diào)整J,應(yīng)用數(shù)學(xué),200

10、6,19(2:325-330.6 熊蓮花,張玲玲. 無失效數(shù)據(jù)失效率的綜合多層Bayes估計(jì)j,山西師范大學(xué)學(xué)報(bào),2007,21(3:23-27.7 韓明. 基于無失效數(shù)據(jù)的可靠性參數(shù)估計(jì)M,中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2005,16-65.8 茆詩(shī)松,張玲玲. 加速壽命試驗(yàn)M,科學(xué)出版社,2000,85-94.9 賀國(guó)芳,許海寶. 可靠性數(shù)據(jù)的收集與分析M,國(guó)防出版社,1995,66-70.10 陳希孺. 高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)M,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1999,104-128.Analysis of Zero-failure Data under Weibull CaseXIONG Lian-hua, ZHA

11、O De-qin(Department of Mathematics Physics,Hefei Uiniversity of Technology,Hefei,230009,Anhui,ChinaAbstract: Using the property of Weibull distribution function, the paper gives the relation about failure probability in time . Basing on the relation we obtain the prior distribution and the Bayesian estimation of in time . Finally calculation is performed regarding to pratical problem and calculation result manifests that this kind of met