六章習題課ppt課件

1、第六章 習題課1.根本概念根本概念2.典型例題典型例題3.練習練習2、集合的表示方法、集合的表示方法:交：交： ； ABx xAxB 且且并：并： ABx xAxB 或或:),;,(;,;,., RVVVRVVRV 設設運算規(guī)律運算規(guī)律兩種運算滿足以下八條兩種運算滿足以下八條并且這并且這記作記作的積的積與與稱為稱為與之對應與之對應總有唯一的一個元素總有唯一的一個元素與任一元素與任一元素數(shù)數(shù)又對于任一又對于任一記作記作的和的和與與稱為稱為之對應之對應與與總有唯一的一個元素總有唯一的一個元素意兩個元素意兩個元素如果對于任如果對于任為實數(shù)域為實數(shù)域是一個非空集合是一個非空集合設設2線性空間的定義線性

2、空間的定義; 0 ,)4(;0 ,; 0)3();()(2(;)1( 使使的負元素的負元素都有都有對任何對任何都有都有對任何對任何中存在零元素中存在零元素在在VVVV,)()8(;)(7(;)()()6(;1 )5( 那么，那么， 就稱為實數(shù)域就稱為實數(shù)域 上的向量空間上的向量空間或線性空間，或線性空間， 中的元素不論其本來的性質如中的元素不論其本來的性質如何，統(tǒng)稱為實向量何，統(tǒng)稱為實向量簡言之，凡滿足八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，簡言之，凡滿足八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，就稱為線性運算；凡定義了線性運算的集合，就就稱為線性運算；凡定義了線性運算的集合，就稱為向量空間稱為向量空間VRV. 00, 0

3、)4(; 00;)1( ; 00)3(;,)2(;)1( 或或則則如果如果作作的負元素記的負元素記一的一的任一元素的負元素是唯任一元素的負元素是唯零元素是唯一的零元素是唯一的3 3線性空間的性質線性空間的性質4 4子空間子空間定義設定義設 是一個線性空間，是一個線性空間， 是是 的一個非空子的一個非空子集，假設集，假設 對于對于 中所定義的加法和乘數(shù)兩種運算中所定義的加法和乘數(shù)兩種運算也構成一個線性空間，那么稱也構成一個線性空間，那么稱 為為 的子空間的子空間VLVVVLL定理線性空間定理線性空間 的非空子集的非空子集 構成子空間的充分構成子空間的充分必要條件是：必要條件是： 對于對于 中的線

4、性運算封鎖中的線性運算封鎖VLVL.,)2(;,)1(:,21212121的維數(shù)的維數(shù)稱為線性空間稱為線性空間個基個基的一的一就稱為線性空間就稱為線性空間那么那么性表示性表示線線總可由總可由中任一元素中任一元素線性無關線性無關滿足滿足個元素個元素如果存在如果存在中中在線性空間在線性空間VnVVnVnnnn 定義定義.,Vnnn記作記作維線性空間維線性空間的線性空間稱為的線性空間稱為維數(shù)為維數(shù)為5 5線性空間的維數(shù)、基與坐標線性空間的維數(shù)、基與坐標定義定義.),(,21212122112121TnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVV 并記作并記作這個基下的坐標這個基下的坐標在在這組有序數(shù)

5、就稱為元素這組有序數(shù)就稱為元素使使總有且僅有一組有序數(shù)總有且僅有一組有序數(shù)任一元素任一元素對于對于的一個基的一個基是線性空間是線性空間設設普通地，設普通地，設 與與 是兩個線性空間，假設在是兩個線性空間，假設在它們的元素之間有一一對應關系，且這個對應關它們的元素之間有一一對應關系，且這個對應關系堅持線性組合的對應，那么就說線性空間系堅持線性組合的對應，那么就說線性空間 與與 同構同構VUVU線性空間的構造完全被它的維數(shù)所決議線性空間的構造完全被它的維數(shù)所決議任何任何 維線性空間都與維線性空間都與 同構，即維數(shù)相等同構，即維數(shù)相等的線性空間都同構的線性空間都同構Rnn式可表示為式可表示為量和矩陣

6、的形式量和矩陣的形式利用向利用向個有序元素記作個有序元素記作這這把把個基個基中的兩中的兩是線性空間是線性空間及及設設)1( ,),(,)1(,112211222211221221111111 nnnnnnnnnnnnnnnnpppppppppV 6 6基變換基變換.,.,)2()1()2(.),(),( 2121212121212121222121211121故過渡矩陣可逆故過渡矩陣可逆線性無關線性無關由于由于的過渡矩陣的過渡矩陣到基到基稱為由基稱為由基矩陣矩陣稱為基變換公式稱為基變換公式或或或或 nnnnnnTnnnnnnnnPPPppppppppp 則有坐標變換公式則有坐標變換公式若兩個基

7、滿足關系式若兩個基滿足關系式下的坐標為下的坐標為在基在基下的坐標為下的坐標為在基在基中的元素中的元素設設PxxxxxxVnnnTnnTnn),(),( ,) , , ( ,),( ,212121212121 7 7坐標變換坐標變換.,211212121 xxxPxxxxxxPxxxnnnn或或.),(),(,2121Pnn 式式則則兩兩個個基基滿滿足足基基變變換換公公換換公公式式滿滿足足上上述述坐坐標標變變若若任任一一元元素素的的兩兩種種坐坐標標反反之之8 8線性子空間線性子空間,;WW 有有設設V V是數(shù)域是數(shù)域P P上的線性空間，集合上的線性空間，集合()WV W 假設假設W對于對于V中的

8、兩種運算也構成數(shù)域中的兩種運算也構成數(shù)域P上的線性空上的線性空間間,那么稱那么稱W為為V的一個線性子空間，簡稱為子空間的一個線性子空間，簡稱為子空間設設V V為數(shù)域為數(shù)域P P上的線性空間，集合上的線性空間，集合 WV ()W ，假設，假設W W對于對于V V中兩種運算封鎖，即中兩種運算封鎖，即 ,WkPkW 有有那么那么W是是V的一個子空間的一個子空間 稱為稱為V的由的由 生成的子空間，生成的子空間，12,r 定義：定義：V V為數(shù)域為數(shù)域P P上的線性空間，上的線性空間， 那么子空間那么子空間 12,rV ，1122,1,2, rriWkkkkP ir 記作記作 12(,)rL 稱稱 為為

9、 的一組的一組 生成元生成元.12,r 12(,)rL 也為也為V V的子空間，的子空間，1212 |VVa aVaV 且且設設V1V1、V2V2為線性空間為線性空間V V的子空間，那么集合的子空間，那么集合 稱之為稱之為V1V1與與V2V2的交空間的交空間. .設設V1、V2為線性空間為線性空間V的子空間，那么集合的子空間，那么集合 12121122|,VVaaaV aV稱之為稱之為V1與與V2的和空間的和空間.1212) VVV 1223) VVV 121) VV 2、設、設 為線性空間為線性空間V的子空間，那么以下的子空間，那么以下三三12,V V 1、設、設 為線性空間為線性空間V的子

10、空間的子空間 12,V V W1假設假設 那么那么 12,WV WV 12.WVV 2假設假設 那么那么 12.VVW 12,VW VW 條件等價條件等價:1212,(,)(,)stLL 1212,(,)stL 1212,;,st 向量，那么向量，那么4、維數(shù)公式、維數(shù)公式 定理定理7設設 為線性空間為線性空間V的兩個子空間，那的兩個子空間，那么么12,V V121212dimdimdim()dim()VVVVVV 或或121212dim()dimdimdim()VVVVVV 定義：設定義：設 為線性空間為線性空間V的兩個子空間，假設和的兩個子空間，假設和12,V V12VV 12112,VV

11、 是獨一的，和就稱為直和，記作是獨一的，和就稱為直和，記作 12.VV 12VV 中每個向量的分解式中每個向量的分解式 設為線性空間設為線性空間V V的子空間，那么下面的子空間，那么下面12,V V四個條件等價四個條件等價:2零向量分解式獨一零向量分解式獨一1是直和是直和 12VV 3 120VV 41212dim()dimdimVVVV斷定斷定線性空間中兩種運算的條運算規(guī)律缺一不線性空間中兩種運算的條運算規(guī)律缺一不可，要證明一個集合是線性空間必需逐條驗證可，要證明一個集合是線性空間必需逐條驗證假設要證明某個集合對于所定義的兩種運算不假設要證明某個集合對于所定義的兩種運算不構成線性空間，只需闡

12、明在兩個封鎖性和條運構成線性空間，只需闡明在兩個封鎖性和條運算規(guī)律中有一條不滿足即可算規(guī)律中有一條不滿足即可,:.,:,aakRkRaabbaRbaRRRk 對任意對任意數(shù)量乘法數(shù)量乘法對任意對任意加法加法上定義了兩種運算上定義了兩種運算在在是實數(shù)集合是實數(shù)集合是全體正實數(shù)集合是全體正實數(shù)集合設設例1例1典型例題典型例題?性空間性空間上的線上的線數(shù)域數(shù)域對這兩種運算是否構成對這兩種運算是否構成判斷判斷RR 解解,1R , 0, 0 aakak. R,RlkRba 任任取取, 0, 0, 0 abbaba.Rba . 封封閉閉的的數(shù)數(shù)量量乘乘法法運運算算是是對對于于上上述述定定義義的的加加法法和

13、和即即R .Rak ;)1(abbaabba );()()()()()(2(cbabcabcacabcabcba ;1,11,1 )3(中的零元素中的零元素是是RaaaR ;1)( 111,1, 01, 0)4(aaaaaaRaaa的的負負元元素素是是零零元元即即 ;)(5(alakaaaaaalklklklk . 的線性空間的線性空間上上量乘法構成量乘法構成對上述定義的加法和數(shù)對上述定義的加法和數(shù)RR );()()()()(6(alkalaaaaklklkklkl );()()()()()()7(bkakbkakbaababkbakkkk .1 )8(1aaa ?),(0,21的的子子空空間

14、間構構成成維維實實向向量量的的問問在在什什么么條條件件下下滿滿足足階階實實對對稱稱矩矩陣陣為為設設RxxxXnXXAnAnnT 例例2 2解解 ,0 XXARXVTn令令.,VkXVX 則則若若顯然顯然,VO . V0)()()(2 XXAkkXAkXTT即即:的的子子空空間間的的條條件件是是構構成成故故RVn:的的子子空空間間的的條條件件為為構構成成因因此此RVn, 0)()(, YXAYXVYXT有有對任意的對任意的. 02 YXAYYAXYAYXAXXATTTTT即即. 0 , YXAVYXT都有都有對于任意的對于任意的.1,)1)(2( , 1, 122在在該該基基下下的的坐坐標標并并

15、求求向向量量的的一一組組基基是是證證明明xxxRxxx 例例3 3證一證一.,3)1(22都構成它的一組基都構成它的一組基意三個線性無關的向量意三個線性無關的向量中任中任所以所以維線性空間維線性空間是是因為因為xRxR.)1)(2( , 1, 12xRxxx . 0)1)(2()1(1321 xxkxkk令令0)3(2 23332321 xkxkkkkk整整理理得得 , 0, 03, 02332321kkkkkk比比較較等等式式兩兩邊邊得得. 02100320211 D其系數(shù)行列式為其系數(shù)行列式為.)1()2(),1( , 1,)1)(2(),1(, 1, 0,2321的的一一組組基基是是所所

16、以以線線性性無無關關于于是是即即故故方方程程組組只只有有零零解解xRxxxxxxkkk ,),(1)2(321 2aaaxxT在在給給定定基基下下的的坐坐標標為為設設 ),1)(2()1(113212 xxaxaaxx則則有有,)3()2(123323212xaxaaaaaxx 整整理理得得 , 1, 13, 12332321aaaaaa比比較較系系數(shù)數(shù) , 1, 4, 3321aaa解之得解之得).1)(2()1(431,)1 , 4 , 3( 122 xxxxxxxT即即在在給給定定基基下下的的坐坐標標為為所所以以證二證二且且又又的一組基的一組基是是已知已知,)1)(2(, 1, 1, 1

17、)1(222xRxxxxRxx xxxxxxxx221)3(1223)1)(2(11)1(111, 1)1)(2( , 1, 12線性表示線性表示可以由可以由即即xxxxx )1)(2(1)1(311)1(1112xxxxxx又又.)1)(2( , 1, 1,)1)(2( , 1, 1, 1.,)1)(2( , 1, 1, 1222的一組基的一組基是是從而從而也線性無關也線性無關因此因此無關無關線性線性而而故有相同的秩故有相同的秩所以兩個向量組等價所以兩個向量組等價線性表示線性表示可以由可以由即即xRxxxxxxxxxxxxx .11111 )2(22 xxxx中中的的線線性性表表達達式式知知

18、由由標標為為下下的的坐坐在在基基設設)1(,)1)(2( , 1, 113212 aaaxxxxx,100310211), 1()1)(2( , 1, 1(2 xxxxx,1431111003101111111003102111321 aaa所以所以.143)1)(2( , 1, 1()1)(2()1(4312 xxxxxxxx因因此此.,52,100110011)1 , 1 , 1(,)0 , 1 , 1(,)0 , 0 , 1( ,3213213213213的表達式的表達式下下在基在基并求并求所得到的新基所得到的新基通過過渡矩陣通過過渡矩陣求由基求由基中中在在 ARTTT例4例4解解由題設

19、有由題設有設欲求的新基為設欲求的新基為,321 ),(100110011),(),(),(32211321321321 A.)1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1(321所所求求的的新新基基是是所所以以TTT ,),(521),(52321321321321 xxx 521100110011521 11321Axxx則則,532521100110111 .532 321 故故.,)1, 2, 3 , 4()2 , 1, 4, 3()3 , 4, 1 , 2( )4 , 3 , 2 , 1()1, 1 , 1 , 0()1 , 2 , 1, 1( )0 , 0 ,

20、1 , 1()0 , 1, 2 , 1( 43214321432143214公式公式并寫出相應的坐標變換并寫出相應的坐標變換的過渡矩陣的過渡矩陣到基到基求由基求由基的兩組基的兩組基設設 TTTTTTTTR例5例5解一由過渡矩陣的定義有解一由過渡矩陣的定義有 )4()3()2()1(4443342241144443333223113344233222211224413312211111 aaaaaaaaaaaaaaaa),1, 1 , 1 , 0()1 , 2 , 1, 1()0 , 0 , 1 , 1()0 , 1, 2 , 1()4 , 3 , 2 , 1()1(41312111 aaaa得

21、得由由方方程程整理得整理得 , 4, 32, 22, 1413141311141312111312111aaaaaaaaaaaa. 2, 6,16,11 ,41312111 aaaa得得解解之之.,)4(),3(),2(確確定定出出過過渡渡矩矩陣陣從從而而求求出出其其余余的的同同理理可可以以從從方方程程aij從上面的解法可以看到，由定義出發(fā)，利用從上面的解法可以看到，由定義出發(fā)，利用解方程組，求出線性表達式中的系數(shù)，得到過渡解方程組，求出線性表達式中的系數(shù)，得到過渡矩陣，這種方法計算量太大，因此，當線性表達矩陣，這種方法計算量太大，因此，當線性表達式不容易得到時，可采用下面的解法式不容易得到時

22、，可采用下面的解法解二引入一組新的基解二引入一組新的基.)1 , 0 , 0 , 0( ,)0 , 1 , 0 , 0(,)0 , 0 , 1 , 0( ,)0 , 0 , 0 , 1(4321TTTT ,),(1100120111120111),(),(432143214321A 于是于是,),(),(143214321A ,),(1234214334124321),(),(432143214321B 又又BA143214321),(),( 則則 12342143341243210212121121212131232212323),(4321 211421221222126111213162

23、14721811),(4321 ,),(4321T .,),(),(43214321過過渡渡矩矩陣陣為為所所求求故故TT . ,),( ),( ,4321143214321T4321T4 xxxxTyyyyyyyyxxxxR則則和和為為在兩組基下的坐標分別在兩組基下的坐標分別設設 練習練習一、一、 填空題填空題( (每題每題4 4分，共分，共2424分分) )組基為組基為已知三維向量空間的一已知三維向量空間的一. 3 .1 , 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , 1 , 1321TTT 那么向量那么向量 在這組基下的坐標為在這組基下的坐標為 0 , 0 , 24T 的的的的象象空空間間線線

24、性性變變換換nVTT. 2稱為線性稱為線性.的秩的秩變換變換T稱為稱為定義了線性運算的集合定義了線性運算的集合 ,. 1下下的的矩矩陣陣為為在在基基線線性性變變換換21,. 4 T,22211211 aaaa下下的的矩矩陣陣是是在在基基則則12, T同同構構是是指指線線性性空空間間VU,. 5的線性變換的線性變換已知已知3. 6R cbacbcbacbaT2,2, 基基為為的的維維數(shù)數(shù)為為則則,TV加加法法和和數(shù)數(shù)乘乘定定義義為為全全體體正正實實數(shù)數(shù)的的集集合合,. 1 R;,)1(RkRbaaakabbak ;,)2(RkRbaaakbabak ?為什么為什么上的線性空間上的線性空間是否構成

25、是否構成問問RR 二、二、 解答題解答題( (每題每題8 8分，共分，共1616分分) )?. 232為為什什么么空空間間的的下下列列子子集集是是否否構構成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW在在基基的的元元素素求求分分、四四 3210)(7 22AR.0111,1011,1101,1110 4321下下的的坐坐標標 GGGG., 0000)2(2 RcbacbacbaW .32,1,)7( 23233在在這這個個基基下下的的坐坐標標并并求求多多項項式式一一個個基基的的是是證證明明分分、三三 xxxPxxxxxx五、以下變換能否線性變換？為什么？五、以下變換能否線性變換？為什么？(

26、(每題每題5 5分，共分，共1010分分) ) ;,2 ,. 13acbacbaTR 中中在在 .,. 2 nnnnRXXNMXXTRNM 中中取取定定矩矩陣陣是是設設.0111,1011,1101,1110 4321下下的的坐坐標標 GGGG ,1 , 0 , 0 , 00 , 1 , 0 , 00 , 0 , 1 , 00 , 0 , 0 , 14321TTTTeeee TTTT3 , 1 , 6 , 61 , 2 , 3 , 50 , 1 , 3 , 01 , 1, 1 , 24321 1 1求由前一個基到后一個基的過渡矩陣；求由前一個基到后一個基的過渡矩陣；2 2求向量求向量 在后一個基下的坐標；在后一個基下的坐標； 4321,xxxx3 3求在兩個基下有一樣坐標的向量求在兩個基下有一樣坐標的向量的線性變換的線性變換已知已知分分、七七4)6( R 0 , 0 ,433 ,3,dcbadcbadcbaT 求求 的值域與核的維數(shù)和基的值域與核的維數(shù)和基T.)6( 33的的基基與與維維數(shù)數(shù)的的線線性性空空間間求求三三階階實實對對稱稱矩矩陣陣構構成成分分九九、 SR 324202423A求求 的特征值與特征向量的特征值與特征向