北航-高等數(shù)學(xué)-張奇業(yè)-第二講 導(dǎo)數(shù)的計算及應(yīng)用ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I第二講第二講導(dǎo)數(shù)的計算與應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的計算與應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)的優(yōu)良性質(zhì)一、導(dǎo)數(shù)的優(yōu)良性質(zhì)二、導(dǎo)數(shù)的計算二、導(dǎo)數(shù)的計算三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例四、有關(guān)單調(diào)性的兩個問題四、有關(guān)單調(diào)性的兩個問題高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I1. 導(dǎo)函數(shù)的優(yōu)良性質(zhì)導(dǎo)函數(shù)的優(yōu)良性質(zhì)).(lim)()(,)(lim),(),()( 000000 xfxfxfxfxUxUxfxxxx 且且存存在在，則則存存在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在在在某某如如果果函函數(shù)數(shù) 所所以以條條件件，內(nèi)內(nèi)滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在證證明明：,)(0 xxxf).(

2、lim)()(lim)(00000 fxxxfxfxfxxx 2cos ,0,. ( )(0).1,0.xxxxxf xfex 例求性質(zhì)性質(zhì)1.高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I.),()(),()(點點內(nèi)內(nèi)不不可可能能有有第第一一類類間間斷斷在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在如如果果函函數(shù)數(shù)baxfbaxf 00000( )()()limlim( ),xxxf xf xfxfBxx00000( )()()limlim( ),xxxf xf xfxfAxx，若若BxfAxfxxxx )(lim,)(lim0000那么那么).(lim)(lim)(000 xfxfxfxxxx 從從而而有有性質(zhì)性

3、質(zhì)2.高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I?)()(lim00 xfxfxx . 0, 0, 0,1sin)(2xxxxxf . 0, 0, 0,1cos1sin2)(xxxxxxf!)()(lim00 xfxfx 高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I. 0)(),(, 0)()(,)( fbabfafbaxf，使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在可可導(dǎo)導(dǎo)，且且則則在在若若函函數(shù)數(shù), 0)()(lim)(0 axafxfafxx0)()(lim)(0 bxbfxfbfxx，證證明明：不不妨妨設(shè)設(shè)0)(,0)( bfaf由由. 0)(,)()(),( fbaxfbfaf引引理

4、理知知在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)部部，由由費費爾爾馬馬值值點點上上的的最最小小值值，故故最最小小在在均均不不是是從從而而性質(zhì)性質(zhì)3.可知可知),()(afxf 由由可知可知),()(bfxf 高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I.)(),(,)()(),()(),(,),()(21212121cfxxcxfcxfxfxfbaxxbaxf ，使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在的的則則對對于于滿滿足足且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在若若函函數(shù)數(shù), 0)(, 0)(21 xFxF則則，證證明明：設(shè)設(shè)cxxfxF )()(性質(zhì)性質(zhì)4.)(, 0)(),(321cfFxx 即即，使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一

5、點點知知在在由由性性質(zhì)質(zhì)高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I2. 導(dǎo)函數(shù)的計算導(dǎo)函數(shù)的計算 求導(dǎo)的方法有：求導(dǎo)的方法有：(1)(2)(3)(4)(5)(6)、定義法 、四則運算及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法（基本導(dǎo)數(shù)公式）、隱函數(shù)求導(dǎo)法、對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法、參變量函數(shù)求導(dǎo)法、高階導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I例例1 1( )=( )=.f xx af xx a設(shè)在的某個鄰域內(nèi)有定義，則在處可導(dǎo)的一個充分條件是（ ）0001(A) lim( +)- ( ).( +2 )- ( + )(B) lim.( + )- ( - )(C) lim.2( )- ( - )(D) lim.nhhhn f

6、af anf ah f a hhf a h f a hhf a f a hh存在存在存在存在D高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I(1- )( )- =lim ( (1/n)-1).xynf xy x en f設(shè)函數(shù)由方程確定，求例例2 2分析分析1()- (0)(0)=1,lim,1-0nffnyn注意到 所求極限可以變形為 =0,(0)=1.xy令得 (1 -)-1 =( 1 -) ,xyyeyx y解 ： 對 方 程 兩 邊 求 導(dǎo) 得 (0)f 實際上就是求 2013數(shù)一考研高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I設(shè)n為自然數(shù)，在什么條件下，函數(shù)例例3 3解解1sin,0,(x

7、)=0,=0,nxxfxx(1)=(2)=(3)=.xxx在0連續(xù)， 在0可導(dǎo)， 在0導(dǎo)函數(shù)連續(xù)高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I(1). (1). 連續(xù)性連續(xù)性01limsin(0)0.nxxfx，即n 0時連續(xù)( )=f xx要使在0連續(xù)，只需(2). (2). 可導(dǎo)性可導(dǎo)性.對于分段函數(shù)，要用定義法求導(dǎo)-10001sin( )(0)1(0)limlimlimsin,0nnxxxxf xfxfxxxx1(0)0.nf 所以當(dāng)時，存在且等于高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I1(2),x0nn首先需要當(dāng)時，由初等函數(shù)求導(dǎo)法得：(3). (3). 導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性-1

8、-211sincos,0,( )0,=0,nnnxxxfxxxx2.n當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)連續(xù)高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I例例4 422=4=sin,.(2013)= sin +costxtd yy tttdx設(shè)求考研解解( )( )dytdxtsin + cos -sincost tttt22=()d yddydtdxdtdxdx22=4= 2.td ydx所以t11=( )=cosdtdxdttdt高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I例例5 52(n)2arcsin.(1)(1) =1;(2)(0).1xyxyxyyx設(shè)求證：求證證(1)21arcsinyxx函數(shù)變形有，兩邊求

9、導(dǎo)得：2221+ 1=.11xyx yxx2(1) =1.x yxy即：得證(n+1)2(n-1)=0=.xyn y令有：(1)n對結(jié)論兩邊求 階導(dǎo)數(shù)有2(n+1)(n)(n-1)(n)(n-1)(n1)(1)+ (2 )+(2)(+)=0.2nxynx yyxyny解解(2)遞推公式遞推公式高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I(0)=0, (1)=1,yy注意到由遞推公式可得(2 )(2 +1)2(0)=0,(0)=4 ( !) , =0,1,2.kkkyykk高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I例例6 6222222(1).lim.(2).12lim sin()+sin()+s

10、in() ;12lim (1+)(1+)(1+) .nnnnxnnnnnnnn求計算+222(0)=0, (0)12= ()+ ()+(),nffnxfffnNnnn設(shè)存在，定義數(shù)列高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I解解,由有限增量公式得222222222111222()=(0)+ (), ()=(0)+ (),()=(0)+ ().ffoffonnnnnnnnnffonnn(1).2(n+1)(0)(0)+(1),.22nnfxfonn 222(1)121limsin ()+ sin ()+sin ()=2nnnnn 由得；(2).高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I121lo

11、g,.2nnyye即22222212=(1+)(1+)(1+),12log=log(1+)+log(1+)+log(1+).nnnynnnnynnn令則高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I2(n)+12221111=(-)+12-+1(-1)!1()=sin(n+1)arctan+1(1+)nnxix ix inxxx利用恒等式證明例例7 7證證xixi將復(fù)數(shù)及化成三角形式：(cossin ),(cossin ),xirixiri 1221(1+) ,arctan.rxx其中所以高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I(n)(n)(n)21111()()()+12-+xix ix i1

12、11(-1)!(-1)!2( - )()nnnnnnix ixi1121(-1)!( + )( - )2 (1)nnnnnx ix ii x1211(-1)!cos( +1) + sin( +1) 2 (1)cos( +1)sin( +1) nnnnnrnini xrnin高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I121(-1)!sin( +1)(1)nnnnrnx1211(-1)!cos( +1) + sin( +1) 2 (1)cos( +1)sin( +1) nnnnnrnini xrnin+122(-1)!1=sin(n+1)arctan.(1+)nnnxx高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方

13、法與應(yīng)用I I22( )(1),(1).nnyxy設(shè)求例例8 8分析分析222222242221222222(1-)(1+)+(1-)=2(1)nnnnnnnnxnxxCxCxCx注意到的 階導(dǎo)數(shù)在1點的值為零，而這是一個多項式，很容易求得它在1點的導(dǎo)數(shù)為4(n+1)(n+1)!.n如果直接二項式展開，再求 階導(dǎo)數(shù)，將十分復(fù)雜.高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I1( ) | sin(0),(0)0|nmf xxxfx及，(m0)例例9 9( )0a 當(dāng)x0,x (- , )()時，在什么條件下函數(shù)在什么條件下函數(shù)有有(a)于原點的鄰域上有有界的導(dǎo)函數(shù)于原點的鄰域上有有界的導(dǎo)函數(shù) (b)

14、于原點的鄰域上有無界的導(dǎo)函數(shù)于原點的鄰域上有無界的導(dǎo)函數(shù)解解高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I11|11 |sin-|cos|nn mmmxn xm xxxx11|1|1( )|sin-| cos|nnmmmxmxfxn xxxxxxx|11,sin,cos|( )(0)0mmxxxxfxf由于均為有界函數(shù)，于是當(dāng)nm+1時，為有界函數(shù)(易知此時).( )10(1)( )bnmnmfx 在此領(lǐng)域上，當(dāng)即時無界，(0)f另一方面，由上一個例題知，當(dāng)n1時，才存在，11(0).nmm因而所求的條件為高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I3. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)

15、用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I例例1.出出“光光的的折折射射原原理理”由由“光光行行最最速速原原理理”推推,)(,222211kxdPBhxAPxdPBxPA 則則則則解：設(shè)解：設(shè),0 ,)()(222122dxvkxdvhxxT 時間時間ABA1B1phk.21vBvA中中的的速速度度是是，在在介介質(zhì)質(zhì)中中的的速速度度是是設(shè)設(shè)光光在在介介質(zhì)質(zhì),0 ,)()(222221dxkxdvxdhxvxxT , 0)0( T, 0)( dT, 0)(), 0(00 xTdx使使希臘人公元希臘人公元2世紀(jì)發(fā)現(xiàn)并研究世紀(jì)發(fā)現(xiàn)并研究開普勒、斯涅耳、笛卡爾開普勒、斯涅耳、笛卡爾高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用

16、I I, 0)()()(2222232212 kxdvkhxvhxT.0是是最最小小值值點點是是唯唯一一的的極極小小值值點點，即即x費爾馬費爾馬1661年年,)(2202022010kxdvxdhxvx ,coscos21vv 即即ABA1B1ph .sinsin2211vv 即即1 2 高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I.),(,),()( . 1121 nnxgxxgxxxxg，記記迭迭代代方方法法：任任取取的的根根的的求求方方程程根根用用不不動動點點迭迭代代求求方方程程的的收收斂斂？滿滿足足什什么么條條件件時時，問問當(dāng)當(dāng)可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)nxxg)(.)(,000 xxgxba 使

17、使即即存存在在先先找找一一個個根根存存在在區(qū)區(qū)間間解解時，時，當(dāng)當(dāng)1| )(| rxg)()(010 xgxgxxnn )(011xxgn )()()(021xgxggn 0|0110 xxrxxnn,limaxnn存存在在，記記為為可可得得 .)(aag 即即有有)()(0111xxggn 例例2.高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I書上習(xí)題書上習(xí)題1.71.7第第7 7題題高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I例例5.用切線法求方程的根。用切線法求方程的根。. 0)(, 0)(, 0)(, 0)(,)( xfxfbfafbaxf上上有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在設(shè)設(shè)得得做做切切線

18、線在在點點令令,)(,(,000 xfxax )()(000 xxxfxfy ,)()(0001xfxfxxx 軸軸的的交交點點的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)為為切切線線與與得得做做切切線線再再在在點點,)(,(11 nnxfx,)()(111 nnnnxfxfxx高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I現(xiàn)在證明二個命題：現(xiàn)在證明二個命題：)0)(.)2()1( cfcxxnn收收斂斂到到方方程程的的根根單單調(diào)調(diào)增增加加有有上上界界；, 0)( xf20000)(2)()()()(xxfxxxfxfxf 0 , 0)(, 0)()1( xfaf因因為為證證00001)()(xxfxfxx 所所以以)()(

19、)(01001xxxfxfxf .)(1cxxf 的的單單增增可可知知由由.1cxxnn 同同理理可可知知高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I)()(111 nnnnxfxfxcxc單單調(diào)調(diào)減減少少，且且因因為為證證)(, 0)()2(xfxf )()()(111 nnnxfcfxfxc)()(1)(111 nnxffxc )()(1)()()(1)(22112 nnnxffxffxc )()(1()()(1)()()(1)(022110 xffxffxffxcnnn . 0)()(1)( nafbfac高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I.10,)1 , 0(4 . 19 . 0

20、1 . 1)(.323 使使誤誤差差不不超超過過的的零零點點內(nèi)內(nèi)，求求函函數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)例例xxxxf, 0)1(0)0( ff，, 0)(0)( xfxf，, 10 x738. 0)()(0001 xfxfxx674. 0)()(1112 xfxfxx671. 0)()(2223 xfxfxx671. 0)()(3334 xfxfxx, 0)671. 0(, 06700( ff），又又.6705. 0 x故故可可取取高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I不能斷定不能斷定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf4. 有關(guān)單調(diào)性的二個問題有關(guān)單調(diào)性的二個問題高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I )212(1kx當(dāng)當(dāng) 時，時，0)212(41)( kxf kx21當(dāng)當(dāng) 時，時，01)( xf留意留意 可以任意大，故在可以任意大，故在 點的任何鄰點的任何鄰域內(nèi)，域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增都不單調(diào)遞增k00 x)(xf高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I 0.100.050.050.100.050.051.00.50.51.02112高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用I I0.0100