第十二章一階線性微分方程ppt課件

1、一階線性微分方程的標準形式一階線性微分方程的標準形式:)()(xQyxPdxdy , 0)( xQ當當上方程稱為齊次的上方程稱為齊次的., 0)( xQ當當上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的.例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 線性的線性的;, 32 xyyy, 1cos yy非線性的非線性的.一階線性微分方程一階線性微分方程一、線性方程一、線性方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法1. 線性齊次方程線性齊次方程. 0)( yxPdxdy(使用分離變量法使用分離變量法),)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的

2、通解為.)( dxxPCey2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設設 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比)(xuC 常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實質實質: : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換. .),()(xyxu原原未未知知函函數(shù)數(shù)新新未未知知函函數(shù)數(shù)作變換作

3、變換 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和將將yy ),()()(xQexudxxP 積分得積分得,)()()(CdxexQxudxxP 一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對應齊次對應齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解非齊次線性方程的通解非齊次線性方程的通解相應齊方程的通解相應齊方程的通解等于等于與非齊次方程的一個特解之和與非齊次方程的一個特解之和即即非齊通解非齊通解 = 齊通

4、解齊通解 + 非齊特解非齊特解線性微分方程解的結構，是很優(yōu)良的性質。線性微分方程解的結構，是很優(yōu)良的性質。例例1 1.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy 解解,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cxdxxsin1 .cos1Cxx Cdxexxexxlnlnsin解方程解方程25)1(12 xxydxdy解解相應齊方程相應齊方程12 xydxdy解得解得2) 1( xcy令令2) 1)( xxcy例例2代入非齊方程代入非齊方程)1)(2)1)(2 xxcxxc252)1(11)1)(2 xxxxc21)1()( xxc解得解得cxxc 23)1

5、(32)(故非齊次方程的通解為故非齊次方程的通解為)1(32)1(232cxxy 例例3解方程解方程12)1(2 yxyx解解這是一個二階線性方程這是一個二階線性方程由于其中不含變量由于其中不含變量 y 若令若令yz zy 12)1(2 xzzx化成一階線性方程化成一階線性方程其通解為其通解為211xcxz 即即211xcxy 再積分再積分212arctan)1ln(21cxcxy 即為原二階方程的通解即為原二階方程的通解例例4 4 如下圖，平行與如下圖，平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQPQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, ,

6、 求曲線求曲線 . .y)(xfy )0(3 xxy)(xf解解,)()(230yxdxxfx xyxydx03,xyoxPQ3xy )(xfy 兩邊求導得兩邊求導得,32xyy 解此微分方程解此微分方程23xyy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx一階線性微分方程的通解也可寫成一階線性微分方程的通解也可寫成dxexQCeyxxdxxPdxxPxxxx 000)()()(方程方程)()()()(xQyfxPdxdyyf 令令)(yfz )()(xQzxPdxdz 即化為一階線性微分方程即化為一階線

7、性微分方程注注二、伯努利方程二、伯努利方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程的標準形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n時時，當當1 , 0 n方程為線性微分方程方程為線性微分方程.時時，當當1 , 0 n 方程為非線性微分方程為非線性微分方程方程.解法解法: : 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程. .，得，得兩端除以兩端除以ny),()(1xQyxPdxdyynn ,1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(代入上式代入上式),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz

8、 1. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn例例 5.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy 解解，得，得兩端除以兩端除以y,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即例例6 6 用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 則則,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22

9、xyxyxdxdy 解解,dxdyxydxdz 則則,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz 分離變量法得分離變量法得,42sin2Cxzz ,代回代回將將xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2Cxxyxy ,xyz 令令;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy則則代入原式代入原式,11udxdu 分離變量法得分離變量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程變形為方程變形為 注注 利用變量代換將一個微分方程化為變量利用變量代換將一個微分方程化為變量可

10、分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是可分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是求解微分方程的一種最常用的思想方法求解微分方程的一種最常用的思想方法如如 齊次型、可化為齊次型、一階線性齊次型、可化為齊次型、一階線性方程方程 、Bernoulli 方程等方程等都是通過變量代換來求解方程的。都是通過變量代換來求解方程的。將將),(yxfdxdy 變換為變換為 ),(1yxfdydx 也是經(jīng)?？梢钥紤]的也是經(jīng)?？梢钥紤]的三、小結三、小結1.齊次方程齊次方程)(xyfy ;xuy 令令2.線性非齊次方程線性非齊次方程;)()( dxxPexuy令令3.伯努利方程伯努利方程;1zyn 令令思考題思考題求微

11、分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考題解答思考題解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 練練 習習 題題一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、

12、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy三三、設設有有一一質質的的量量為為 m質質點點作作直直線線運運動動從從速速度度等等于于零零的的時時刻刻起起,有有一一個個與與運運動動方方向向一一致致,大大小小與與時時間間成成正正比比(比比例例1k系系數(shù)數(shù)為為)的的力力作作用用于于它它,此此外外還還受受一一與與速速度度成成正正比比(比比例例2k系系數(shù)數(shù)為為)的的阻阻力力作作用用,求求質質點點運運動動的的速速度度與與時時間間的的函函數(shù)數(shù)關關系系 .四四、 求求下下列列伯伯努努利利方方程程的的通通解解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dx

13、xxyyxdy.五、五、 用適當?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的用適當?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,試求一連續(xù)函數(shù)試求一連續(xù)函數(shù))(xyy , ,滿滿足條件足條件0)0( y, ,且在區(qū)間且在區(qū)間),0 滿足上述方程滿足上述方程 . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx