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1、2015年江蘇高考數(shù)學試題一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.1.已知集合,則集合中元素的個數(shù)為_.2.已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_.S1I1While I8 SS2 II3End WhilePrint s(第4題圖)3.設復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的模為_.4.根據(jù)如圖所示的偽代碼,可知輸出的結(jié)果為_.5.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為_.6.已知向量,.若,則的值為_.7.不等式的解集為_.8.已知,則的值為_.9.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐

2、和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個,則新的底面半徑為 .10.在平面直角坐標系中,以點為圓心且與直線相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為 _ .11.數(shù)列滿足,且,則數(shù)列的前10項和為 .12.在平面直角坐標系中,為雙曲線右支上的一個動點.若點到直線的距離大于恒成立,則是實數(shù)的最大值為 .13.已知函數(shù),則方程實根的個數(shù)為 .14.設向量,則的值為 .二、解答題:本大題共6小題,共90分.15.(本小題滿分14分)在中,已知,.(1)求的長;(2)求的值.16.(本小題滿分14分)如圖,在直三棱柱中,已知,.設的

3、中點為,.求證:(1)平面(2).17. (本小題滿分14分)MNl2l1xyOCPl某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為,山區(qū)邊界曲線為,計劃修建的公路為.如圖所示,為的兩個端點,測得點到,的距離分別為5千米和40千米,點到,的距離分別為20千米和2.5千米.以,所在的直線分別為,軸,建立平面直角坐標系.假設曲線符合函數(shù)(其中,為常數(shù))模型.(1)求,的值;(2)設公路與曲線相切于點,的橫坐標為. 請寫出公路長度的函數(shù)解析式,并寫出其定義域; 當為何值時,公路的長度最短?求出最短長度.18.

4、(本小題滿分16分)BAOxylPC如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,且右焦點到左準線的距離為3.(1)求橢圓的標準方程;(2)過的直線與橢圓交于,兩點,線段的垂直平分線分別交直線和于點,若,求直線的方程.19. (本小題滿分16分)已知函數(shù).(1)試討論的單調(diào)性;(2)若(實數(shù)是與無關常數(shù)),當函數(shù)有三個不同零點時,的取值范圍恰好是,求的值.20.(本小題滿分16分)設,是各項為正數(shù)且公差為的等差數(shù)列.(1)證明:,依次成等比數(shù)列;(2)是否存在,使得,依次成等比數(shù)列,并說明理由;(3)是否存在,及正整數(shù),使得,依次成等比數(shù)列,并說明理由.附加題21.【選做題】(本題包括A、B、

5、C、D四小題,請選定其中兩小題,并在相應的區(qū)域內(nèi)作答,若多做,則按作答的前兩小題評分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)A.選修4-1:幾何證明選講(本小題滿分10分)ABCEDO第21A圖如圖,在中,的外接圓圓的弦交于點.求證:.B.選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)已知,向量是矩陣的屬性特征值的一個特征向量,矩陣以及它的另一個特征值.C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程已知圓的極坐標方程為,求圓的半徑.D選修4-5:不等式選講解不等式【必做題】(第22題、第23題,每題10分,共20分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)22.(本小題滿分10分)如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,.(1)求平面與平面所成二面角的余弦值;PABCDQ第22題(2)點是線段上的動點,當直線與

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