組合投資選擇模型概述

1、. . . . 87 / 15組合投資選擇模型金融微觀分析面臨著許多的不確定性，對于不確定性通常有三種研究方法：1、 效用分析法；2、均值分析法；3、無套利分析法。第一節(jié)組合投資選擇模型一、證券組合的收益與風險組合投資理論基本假設：（1） 已知投資收益率的概率分布（2） 風險用方差或標準差度量（3） 影響投資結果的因素僅有均值、方差（4） 投資者為不滿足和風險厭惡型二、組合的收益和風險 (多(N) 種資產(chǎn))投資組合：將全部投入資金按某種比例分散投資于兩種或兩種以上證券而構成的一個組合。記：p=(x1,xN)T，設第I種證券的收益為ri，其中Xi為投資于I證券的資金比例，則。ri的標準差為si，

2、ri與rj的協(xié)方差為，相關系數(shù)為投資組合:收益率：期望收益率： 方差：標準差： S為的協(xié)方差矩陣第二節(jié)二次效用函數(shù)與投資證券收益率關于二次效用函數(shù)與投資證券收益率服從正態(tài)分布的討論。設投資者的期初財富為w，個體通過投資各種金融資產(chǎn)來最大化它的期末財富、帶來的期望效用。設個體的NM效用函數(shù)為u,對u在E（w）作Taylor展開，=U(E(w)+ (E(w) +(E(w)+R其中R=在假設U有很光滑的條件之下，可得E()=U(E()（光滑的含義：存在N階導、展開的級數(shù)收斂、積分與求導可交換）E()=U(E()+U(E()（）+E(R)（1）其中E(R)= )（2）其中m表示的n階中心矩定理：1，如

3、果是二次函數(shù)則，=a+b+c，2，對任意NM效用函數(shù)U，如果期末的財富服從正態(tài)分布，則期望效用僅是財富的期望與方差的函數(shù)。E()證明：如果1成立,則期望效用E()= a + b E() + c E()=a + b E() + c（）+ E()如果2成立，則當期末財富服從正態(tài)分布時，則 E(E(w)= 0 j為奇數(shù)×（） j為偶數(shù)可見定理成立期望效用最大化在定理1的假設下，歸結為選擇均值與標準差的最優(yōu)組合來實現(xiàn)。下面來證明在均值、標準差平面上，無差異曲線是凸的單調遞增的。為此，由收益率的定義r= (1期收益率)知：N() rN()因此，資產(chǎn)（財富）的收益率服從均值為，標準差為的正態(tài)分布

4、。定理：當資產(chǎn)收益率rN()時，則無差異曲線是向下凸的，風險厭惡者的期望收益與風險之間的邊際替代率是正的。證明：略第三節(jié)關于組合投資的有效邊界的討論與性質定義：如果一個證券組合在所有的均值收益率的證券組合中是具有最小的方差值，那幺這個組合就是有效的證券組合。Markowitz模型： Min s.t 構造Lagrange函數(shù)：解得：令 A=，B=，C=，D=。繼而得到：（）最小方差集合性質性質一 f, f+h 是0，1均值的兩個投資組合。在式中，取E（R）=0 X=f ,取E（R）=1 X=f+h性質二前沿面上的所有證券都是f 和f+h 的組合。證明：做f和f+h的組合q（1 E(r)）*f+

5、E(r)*（f+h）=f + h* E(r)=X性質三證明：討論證券x與q的協(xié)方差Cov(r,r)=E(r- E(r)( r-E(r) =( E(r)-)( E(r)-) + 特別的當x=q,有：= + ( E(rx)-)（拋物線） =1 （雙曲線）E(r)當E(r)=時，則有一全局最小方差的投資組合性質四有效證券組合是一個凸集。證明：假設證券組合X1, X2, XN 是n個有效的證券組合于是對任意實數(shù)a0, =1由性質2 , 是一個證券組合且， = 因此它是有效的。性質五對于除mvp 外，任一個有效證券組合X，必有唯一一個最小方差集合上的證券組合ZC(X)，使得。推論一 ZC(ZC(X)=X

6、。推論二對所有的證券組合X，。推論三，如果X是有效組合，則E(r ZC(x) > , 否則ZC(X)是無效的證券組合。E(r)證明：考察兩個有效的證券組合的協(xié)方差Cov(r,r ZC(p)=XV X ZC(p) =( E(r)-)( E(r ZC(p)-) + 令Cov(r,r ZC(p)=0 解得：E(r ZC(p)= 性質六任意證券Y的收益率均值，均可表示為任一個最小方差集合上證券組合X(除mvp外)，與其對應的ZC(X)的收益率均值的組合：。投資組合降低風險特例說明：平均值為，平均值為，取單個證券的風險（方差）稱為不可化解風險或市場風險或系統(tǒng)風險。稱為可化解風險或特有風險或非系統(tǒng)風

7、險。證明性質六。設q是任意證券組合，p是有效的證券組合（p+mvp）則Cov(rq,rp) = XqVXp =XqV(Ve + V1)=Xqe + Xq1=E rp + 將、帶入，整理得到E rq = + Cov(rq,rp) = * + + *=E r ZC(p) +pq(Erp + )= E r ZC(p) +pq(Erp E r ZC(p)=（1pq）E r ZC(p) + pq Erp第四節(jié)、組合投資理論存在n個風險資產(chǎn)，構造投資組合Xp=(x1,xN),使得滿足：Min s.t Xe = Erp此時，對任意一個證券組合q，有Erq =（1qp）*Erp + qp* E r zc(p)

8、下面討論當存在無風險資產(chǎn)時的證券組合的有效集合。設有n+1個證券，n個風險資產(chǎn)，一個無風險資產(chǎn)，且無風險資產(chǎn)的收益率記為r，設P是由n+1個證券組成的證券組合，且是有效的，它在有效集合上。Xp就是由n個風險證券構成的證券組合的權重，則Xp是下述問題的解。由largange乘數(shù)法，可知Xp滿足關系式由（1）Xp =由此可解出Xp= V= V其中H=B2Ar+C r>0考慮組合P的方差 = （rp）= = -情形1：rf< , 有效集合LE(r) 買入 rf情形2：rf > , 有效集合LE(r) rf 賣空點L情形3：rf = ，有效集合為L、L (漸近線，不相切)E(r) L rfL考慮證券組合，使其滿足Max s.t: X 1 = 1Max 可以求出其一階條件：=VXp (