高中數學新課標人教A版選修2-2《16微積分基本定理》

1、 微積分基本定理微積分基本定理 如果總是用定義來求定積分，那將非如果總是用定義來求定積分，那將非常麻煩，有時甚至無法計算。而求導數比常麻煩，有時甚至無法計算。而求導數比求定積分容易得多。求定積分容易得多。17世紀，牛頓和萊布世紀，牛頓和萊布尼茨找到兩者之間的關系。尼茨找到兩者之間的關系。我們還是從爬山說起。我們還是從爬山說起。如圖，把地平面取作如圖，把地平面取作橫坐標軸，橫坐標軸，y=F(x)是是爬山路線，并假定曲爬山路線，并假定曲線線y=F(x)與與x軸在同一軸在同一平面內，平面內，A是出發(fā)點是出發(fā)點,點點B為山頂。為山頂。 在爬山路線的每一點在爬山路線的每一點(x，F(x)，山坡的，山坡的

2、斜率為斜率為F (x)。將區(qū)間將區(qū)間a，bn等分，記等分，記x=ban 我們來分析每一小段所爬高度與這一小我們來分析每一小段所爬高度與這一小段所在直線的斜率的關系。段所在直線的斜率的關系。 x h k x k +1 x k H F G E不妨以不妨以xk，xk+1為例，為例，EF是曲線是曲線過點過點E的切線，其斜率為的切線，其斜率為F (xi),于于是是GF=F (xK)x。在此段所爬高。在此段所爬高度度hk為為GH，GH=F(xk+1)F(xk)。當當x很小時很小時(即即n很大很大)hk=GHGF. 即即F(xk+1)F(xk)F (xk)x. 這樣，我們得到了一系列近似等式：這樣，我們得到

3、了一系列近似等式：h1=F(a+x)F(a) F (a)x，h2=F(a+2x)F(a+x)F(a+x)x,h3=F(a+3x)F(a+2x)F(a+2x)x,hn1=Fa+(n1)x(a+(n2)x) F a+(n2)xx，hn=F(b)Fa+(n1)x) F a+(n1)xx， 將上列將上列n個近似等式相加，得到從個近似等式相加，得到從A到到B所爬的總高度所爬的總高度 h=h1+h2+hn=F(b)F(a)10()niF ai xx 由定積分定義可知：當由定積分定義可知：當x0時，時， 10()( )nbaiF ai xxF x dx 這一公式告訴我們：這一公式告訴我們：F (x)從從a到

4、到b的積的積分等于分等于F(x)在兩端點的取值之差在兩端點的取值之差 微積分基本定理微積分基本定理 如果如果F (x)=f(x)，且，且f(x)在在a，b上可積，則上可積，則 ( )( )( )baf x dxF bF a其中其中F(x)叫做叫做f(x)的一個的一個原函數原函數。 由于由于F(x)+C=f(x)，F(x)+C也是也是f(x)的原的原函數。其中函數。其中C為常數。為常數。 一般地，原函數在一般地，原函數在a，b上的改變量上的改變量F(b)F(a)簡記作簡記作F(x) ，因此，因此微積分基本定微積分基本定理理可以寫成形式：可以寫成形式：ba( )( )( )( )bbaaf x d

5、xF xF bF a例例1.求求y=sinx在在0,上陰影部分的面積上陰影部分的面積S.解：解：S=0sin xdx 因為因為(cosx)=sinx，所以所以cosx是是sinx的一個原函數，的一個原函數，因此因此 0sin xdx=(cos)(cos0)=1+1=2例例2求曲線求曲線y=sinx與與x軸在區(qū)間軸在區(qū)間0，2是是所圍成陰影部分的面積所圍成陰影部分的面積S。解：由例解：由例1知知 =2，0sin xdx又可以求得又可以求得 =2，正弦函數在，正弦函數在區(qū)間區(qū)間，2上的積分為負值，因此正弦上的積分為負值，因此正弦函數在函數在0，2上的定積分為上的定積分為0，但是它不，但是它不等于我

6、們所求的陰影等于我們所求的陰影部分的面積，部分的面積，2sin xdx所以所以S= +| | =2+2=40sin xdx2sin xdx例例3計算：（計算：（1） ；（2）411dxx220(1)xdx解：（解：（1）因為）因為1(2)xx所以所以 411dxx2 42 12（2）因為）因為 32()13xxx所以所以 220(1)xdx320142()4333xx例例4計算計算:120 x dx解：由于解：由于 是是 y=x2的一個原函數，的一個原函數， 313x所以所以 120 x dx3 101|3x3311110333例例5汽車以每小時汽車以每小時32公里速度行駛，到公里速度行駛，到

7、某處需要減速停車。設汽車以等減速度某處需要減速停車。設汽車以等減速度a=1.8米米/秒秒2剎車，問從開始剎車到停車，剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？汽車走了多少距離？解：首先要求出從剎車開始到停車經過了解：首先要求出從剎車開始到停車經過了多少時間。多少時間。 當當t=0時，汽車速度時，汽車速度v(0)=32公里公里/小時小時 = 米米/秒秒8.88米米/秒秒. 32 10003600 剎車后汽車減速行駛，剎車后汽車減速行駛，其速度為其速度為 v(t)=v(0)at=8.881.8t. 當汽車停住時，速度當汽車停住時，速度v(t)=0， 故從故從v(t)=8.881.8t=0解得解得 秒秒.8.88t=4.931.8于是在這段時間內，汽車所走過的距離是于是在這段時間內，汽車所走過的距離是4.934.9300(t)(8.88 1.8t)svdtdt4.93201(8.881.8t )21.902t米米 即在剎車后，汽車需走過即