線性代數(shù)第10講 向量組的秩ppt課件

1、3.3 向量組的秩向量組的秩l一、極大線性無關(guān)組l二、向量組的等價(jià)性l三、向量組的秩112121212121212121212,(1)(,)(,),.(2)(,)(,),.3(,)(,),mmmmmmmmmmRRmRRmRR 設(shè)設(shè)向向量量與與向向量量組組則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，可可由由線線性性表表示示且且表表達(dá)達(dá)式式唯唯一一當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，可可由由線線性性表表示示但但表表達(dá)達(dá)式式不不唯唯一一（ ）若若，則則不不可可由由線線性性表表示示定理定理3.2.53.2.5的推論：的推論：212321231231231111 1,1 ,1,111,kkkkkk 例 設(shè)問 為何值時(shí)，(1) 可由線性表示，且表示式唯一？(2

2、) 可由線性表示，且表示式不唯一？(3) 不能由線性表示？21111111111kkkkk2131(1)2221110210rkrrrkkkkkkkkkkk 2111020kkkkkk031033kkkk且時(shí)，（）或時(shí)，（ ）1221111111111rrkkkkk 2223223(3)kkkkkkkk 31212 , (,) ().mmAmR Am 向量組線性相關(guān)它所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)，即定理定理3.2.43.2.4( ).R Am推論向量組線性無關(guān)4123411111220 ,21432301 例 設(shè)1 1 能否線性相關(guān)？能否線性相關(guān)？1234, 2 2找出找出 中線性無關(guān)的部分組

3、，并中線性無關(guān)的部分組，并 將它們來表示剩下的向量。將它們來表示剩下的向量。1234, 52132314241rrr +rr2rrrr2r11111111103212-100121012121430121000023010121000031232412221201 1121+0 41221422312114143232(2)2 12, 14, 12341234(,)24,R ，線性相關(guān)6一、極大線性無關(guān)向量組一、極大線性無關(guān)向量組定義定義3.3.13.3.1設(shè)向量組設(shè)向量組 S S 的部分組的部分組 滿足：滿足：12,r 1 1 線性無關(guān)；線性無關(guān)；12,r 2 2向量組向量組 S S 中的每

4、一個(gè)向量均可以中的每一個(gè)向量均可以12,r 由由 線性表示線性表示. .那么稱那么稱 是向量組是向量組 S S 的極大線性無關(guān)組，的極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組簡稱極大無關(guān)組. .12,r 7極大無關(guān)組極大無關(guān)組 具有以下特點(diǎn)：具有以下特點(diǎn)：12,r 1 1無關(guān)性：無關(guān)性： 極其部分組線性無關(guān)；極其部分組線性無關(guān)；12,r 2 2極大性：在這極大性：在這 r r 個(gè)向量中再添加任一向量個(gè)向量中再添加任一向量 得到的得到的 r+1 r+1 個(gè)向量必線性相關(guān)；個(gè)向量必線性相關(guān)；3 3極小性：從極小性：從 r r 個(gè)向量中減去任一向量后，個(gè)向量中減去任一向量后， 不能用來表示原向量組的全部向量；不

5、能用來表示原向量組的全部向量；4 4不獨(dú)一性：任一不獨(dú)一性：任一 n n 維非零向量組的極大無維非零向量組的極大無 關(guān)組必定存在，但組數(shù)不一定獨(dú)一關(guān)組必定存在，但組數(shù)不一定獨(dú)一. .8定義定義3.3.23.3.2二、向量組的等價(jià)性二、向量組的等價(jià)性假設(shè)假設(shè) 全都可由向量組全都可由向量組12,s 12,m 線性表示，那么稱向量組線性表示，那么稱向量組12,s 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示. .12,m 定義定義3.3.33.3.3假設(shè)兩向量組可以相互線性表示，假設(shè)兩向量組可以相互線性表示，那么稱兩向量組等價(jià)那么稱兩向量組等價(jià). .注注: : 向量組與它的極大線性無關(guān)組等價(jià)向量組與它的極

6、大線性無關(guān)組等價(jià); ;向量組的恣意兩個(gè)極大線性無向量組的恣意兩個(gè)極大線性無關(guān)組等價(jià)關(guān)組等價(jià). .12341214, 9定理定理3.3.13.3.112,s 12,m 向量組向量組 可由向量組可由向量組線性表示線性表示矩陣矩陣 和矩陣和矩陣12(,)m 12(,)m 1 12 2s s的秩相等，即的秩相等，即1212(,)(,)mmRR 1 12 2s s證明思路1212(,)(,)mmRR 1 112(,)mR 1 12 2 12(,)mR 1 12 2s s101212,(,)(1,).mmnnRR 1 12 2s s1 12 2s s若若 維維向向量量組組可可由由 維維向向量量組組線線性性

7、表表示示, ,則則推推論論12121,(,)(,)(,).2mmmnnRRR 1 12 2s s1 12 2s s1 1s s推推論論等等價(jià)價(jià)充充要要維維向向量量組組與與 維維向向條條件件量量組組的的是是Pf:12(,)(,)mRR 1 12 2s s1 12 2s s12(,)mR 11123123(0,1,2,3) ,(3,0,1,2) ,(2,3,0,1)(2,1,1,2) ,(0, 2,1,1) ,(4,4,1,3.3.)32TTTTTT 判判斷斷向向量量組組與與向向量量組組是是否否等等價(jià)價(jià)例例.312123111012421301402230),321321 （因?yàn)橐驗(yàn)榻饨?0000

8、00251552000751610421301 r. 3),(),(321321321 RR所所以以12123123123123124033,).000000(,)2 ,.rrR 又又 因因 為為（即即故故 向向 量量 組組可可 由由 向向 量量 組組線線 性性 表表 示示 ，但但 兩兩 向向 量量 組組 不不 等等 價(jià)價(jià)131212 , (,) ,().mmAmR Am 向量組線性相關(guān)它所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)即定理定理3.2.43.2.4( ).R Am推論向量組線性無關(guān)1412,3.m 12s12s12s12s若若可可由由線線性性表表示示，且且smsm，推推則則線線性性相相關(guān)關(guān)論論1

9、2,4.msm 12s12s12s12s若若可可由由線線性性表表示示，且且線線無無關(guān)關(guān)，則則推推性性論論12(,(,)mRRms 1 12 2s s) )Pf:12= (,(,)ms RRm 12s12s) )Pf:1512,.5msm 1 12 2s s若若與與等等價(jià)價(jià)且且兩兩向向量量組組都都線線性性無無關(guān)關(guān) 則則推推論論6.一一個(gè)個(gè)向向量量組組中中任任意意兩兩個(gè)個(gè)極極大大無無關(guān)關(guān)組組所所含含的的向向推推量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)相相同同論論12= (,= (,)=ms RRm 12s12s) )Pf:16三、向量組的秩三、向量組的秩12,3.3.4mR 向向量量組組的的極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組所

10、所含含向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，稱稱定定義義向向量量組組的的為為秩秩為為該該，記記: :由由零零向向量量組組成成的的向向量量組組的的規(guī)規(guī)定定秩秩為為零零. .rr: : 若若一一個(gè)個(gè)向向量量組組的的秩秩為為 ，則則該該向向量量組組中中的的任任意意 + +1 1向向量量都都線線性性相相關(guān)關(guān)定定理理3 3. .3 3. .2 2. .（反反證證法法）rr若若一一個(gè)個(gè)向向量量組組的的秩秩為為 ，則則該該向向量量組組中中任任意意個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量都都是是該該向向量量組組的的極極推推論論大大無無關(guān)關(guān)組組. .17222,(,).mmmRR 1 11 11 1定定理理3 3. .3 3. .4 4對

11、對任任意意向向量量組組有有22,rm 1 11 1不不妨妨設(shè)設(shè)為為的的一一個(gè)個(gè)極極大大無無關(guān)關(guān)組組，則則由由向向量量組組秩秩的的定定義義可可得得22,rmRRr 1 11 122,rm 1111由由和和等等價(jià)價(jià)22(,)(,)rmrRR 1 11 1 3.3.12定定理理的的推推論論P(yáng)f:1822,.mmRR 12s112s112s112s1若若,可可由由線線性性定定表表示示，則則,理理3.3.33.3.3等等價(jià)價(jià)的的向向量量組組推推論論有有相相同同的的秩秩 3.3.113.3.4由由定定理理的的推推論論 及及定定理理推推得得 由定理3.3.4可知，矩陣的秩等于它的列向量組的秩. 由于轉(zhuǎn)置不改

12、動矩陣的秩，而轉(zhuǎn)置后的列向量就是原矩陣的行向量，所以矩陣 A 的秩也等于它的行向量的秩. 1912345(1,0,1,2) ,(0,1,1,2) ,( 1,1,0, ) ,3.(1,2, ,6) ,(1,1,3.42,4)TTTTTkk 求求向向量量組組的的秩秩和和一一個(gè)個(gè)極極大大無無關(guān)關(guān)組組, ,并并用用極極大大無無關(guān)關(guān)組組例例表表示示其其余余向向量量. .31412110111011210111102242rrrrkk 5 5解解 對對下下列列矩矩陣陣作作行行初初等等變變換換: :1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 1( (, , ,) )= =1 11 10

13、0k k2 22 22 2k k6 64 42433421011101121.(3.2)000000030rrrrrkk 3 3r r1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 10 00 00 0k k- -3 30 00 00 0k k0 00 02013233131323(1)1001101021.0010000000rrrrr 當(dāng)當(dāng)k k= =3 3時(shí)時(shí), ,對對式式( (3 3. .2 2) )最最后后一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣作作初初等等行行變變換換1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 10 00 03 30 00 00 00 00 00 00

14、0125123412512(,)3;,2,.R 則則是是極極大大無無關(guān)關(guān)組組, ,且且 (2)1010101101.0001000000r 當(dāng)當(dāng)k k= =0 0時(shí)時(shí), ,對對式式( (3 3. .2 2) )最最后后一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣作作初初等等行行變變換換1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 10 00 00 00 00 00 00 00 0- -3 30 021125124312512(,)3;,.R 則則是是極極大大無無關(guān)關(guān)組組, ,且且1251234(3)(,)4(,)RR 當(dāng)當(dāng)k k0 0, ,3 3時(shí)時(shí) , ,對對 式式 ( (3 3. .2 2) )最最

15、 后后 一一 個(gè)個(gè) 矩矩 陣陣 作作 初初 等等 行行 變變 換換1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 10 00 0k k0 00 00 00 00 0k k- -3 30 01234512,. 則則是是 極極 大大 無無 關(guān)關(guān) 組組 ， 且且222121122123.3.5,(1,2,),().: (1),.(2),mmijjmjmijm mmmmaaajmAaAA 1 112121212設(shè)設(shè)可可由由線線性性表表示示，證證明明若若矩矩陣陣不不可可逆逆 則則,線線性性相相關(guān)關(guān)若若線線性性無無關(guān)關(guān) 則則,線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是, ,矩矩陣陣?yán)煽赡婺? .212(,)(,) .mmA 1 1由由已已知知條條件件得得證證明明22(1),()(,)