2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試卷

1、內(nèi)裝訂線學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_外裝訂線絕密·啟用前2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試卷題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上評(píng)卷人得分一、選擇題1.已知全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,2,N=3,4，則U(MN)=（ ）A5B1,2C3,4D1,2,3,42.設(shè)iz=4+3i，則z=（ ）A34iB3+4iC34iD3+4i3.已知命題p:xR,sinx1命題q:xRe|x|1，則下列命題中為真命題的是（ ）ApqB¬pqCp¬qD¬pq4.函數(shù)f(x)=sinx3+cosx3

2、的最小正周期和最大值分別是（ ）A3和2B3和2C6和2D6和25.若x,y滿足約束條件x+y4,xy2,y3,則z=3x+y的最小值為（ ）A18B10C6D46.cos212cos2512=（ ）A12B33C22D327.在區(qū)間0,12隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于13的概率為（ ）A34B23C13D168.下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）Ay=x2+2x+4By=sinx+4sinxCy=2x+22xDy=lnx+4lnx9.設(shè)函數(shù)f(x)=1x1+x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）Afx11Bfx1+1Cfx+11Dfx+1+110.在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為B1D1的中

3、點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（ ）A2B3C4D611.設(shè)B是橢圓C:x25+y2=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則PB的最大值為（ ）A52B6C5D212.設(shè)a0，若x=a為函數(shù)fx=axa2xb的極大值點(diǎn)，則（ ）AabBabCaba2Daba2評(píng)卷人得分二、填空題13.已知向量a=2,5,b=,4，若a/b，則=_14.雙曲線x24y25=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y8=0的距離為_15.記ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為3，B=60°，a2+c2=3ac，則b=_16.以圖為正視圖，在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視

4、圖的編號(hào)依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）評(píng)卷人得分三、解答題17.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x¯和y¯，樣本方差分別記為s12和s22（1）求x¯，y¯，s12，s22；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)

5、備是否有顯著提高（如果y¯x¯2s12+s2210，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）18.如圖，四棱錐PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，且PBAM（1）證明：平面PAM平面PBD；（2）若PD=DC=1，求四棱錐PABCD的體積19.設(shè)an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn=nan3已知a1，3a2，9a3成等差數(shù)列（1）求an和bn的通項(xiàng)公式；（2）記Sn和Tn分別為an和bn的前n項(xiàng)和證明：TnSn220.已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐

6、標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足PQ=9QF，求直線OQ斜率的最大值.21.已知函數(shù)f(x)=x3x2+ax+1（1）討論fx的單調(diào)性；（2）求曲線y=fx過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=fx的公共點(diǎn)的坐標(biāo)22.在直角坐標(biāo)系xOy中，C的圓心為C2,1，半徑為1（1）寫出C的一個(gè)參數(shù)方程;（2）過點(diǎn)F4,1作C的兩條切線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程23.已知函數(shù)fx=xa+x+3（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式fx6的解集;（2）若fxa，求a的取值范圍參考答案1.A【解析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可.由題意可得：MN=1,2,3,4，則UMN=5.故選

7、：A.2.C【解析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求得z的值.由題意可得：z=4+3ii=4+3iii2=4i31=34i.故選：C.3.A【解析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題p的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定命題q的真假性，由此確定正確選項(xiàng).由于sin0=0，所以命題p為真命題；由于y=ex在R上為增函數(shù)，x0，所以e|x|e0=1，所以命題q為真命題；所以pq為真命題，¬pq、p¬q、¬pq為假命題.故選：A4.C【解析】利用輔助角公式化簡fx，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.由題，f(x)=sinx3+cosx3=222sinx3+22cos

8、x32sinx3+4，所以fx的最小正周期為T=213=6，最大值為2.故選：C5.C【解析】由題意作出可行域，變換目標(biāo)函數(shù)為y=3x+z，數(shù)形結(jié)合即可得解.由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由x+y=4y=3可得點(diǎn)A(1,3),轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)z=3x+y為y=3x+z，上下平移直線y=3x+z，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí),z取最小值，此時(shí)zmin=3×1+3=6.故選：C.6.D【解析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得cos212cos2512=cos212sin212，再由二倍角公式即可得解.由題意，cos212cos2512=cos212cos2(212)=cos212sin212=c

9、os6=32.故選：D.7.B【解析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.設(shè)=“區(qū)間0,12隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對(duì)應(yīng)集合為： x0x12，區(qū)間長度為12，A=“取到的數(shù)小于13”， 對(duì)應(yīng)集合為：x0x13，區(qū)間長度為13，所以PA=lAl=130120=23故選：B8.C【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,D不符合題意，C符合題意對(duì)于A，y=x2+2x+4=x+12+33，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為3，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?sinx1，y=sinx+4sinx24=4，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=2時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值

10、不為4，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽，而2x0，y=2x+22x=2x+42x24=4，當(dāng)且僅當(dāng)2x=2，即x=1時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為4，C符合題意；對(duì)于D，y=lnx+4lnx，函數(shù)定義域?yàn)?,11,+，而lnxR且lnx0，如當(dāng)lnx=1，y=5，D不符合題意故選：C9.B【解析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.由題意可得f(x)=1x1+x=1+21+x，對(duì)于A，fx11=2x2不是奇函數(shù)；對(duì)于B，fx1+1=2x是奇函數(shù)；對(duì)于C，fx+11=2x+22，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，fx+1+1=2x+2，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).

11、故選：B10.D【解析】平移直線AD1至BC1，將直線PB與AD1所成的角轉(zhuǎn)化為PB與BC1所成的角，解三角形即可.如圖，連接BC1,PC1,PB，因?yàn)锳D1BC1，所以PBC1或其補(bǔ)角為直線PB與AD1所成的角，因?yàn)锽B1平面A1B1C1D1，所以BB1PC1，又PC1B1D1，BB1B1D1=B1，所以PC1平面PBB1，所以PC1PB，設(shè)正方體棱長為2，則BC1=22,PC1=12D1B1=2，sinPBC1=PC1BC1=12，所以PBC1=6.故選：D11.A【解析】設(shè)點(diǎn)Px0,y0，由依題意可知，B0,1，x025+y02=1，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到PB2，然后消元，即可利用二

12、次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值設(shè)點(diǎn)Px0,y0，因?yàn)锽0,1，x025+y02=1，所以PB2=x02+y012=51y02+y012=4y022y0+6=4y0+142+254，而1y01，所以當(dāng)y0=-14時(shí)，PB的最大值為52故選：A12.D【解析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否編號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到a,b所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).若a=b，則fx=axa3為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故ab.f(x)有x=a和x=b兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在x=a左右附近是不變號(hào)，在x=b左右附近是變號(hào)的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在x=a左右附近都是

13、小于零的.當(dāng)a0時(shí)，由xb，fx0，畫出fx的圖象如下圖所示：由圖可知ba，a0，故aba2.當(dāng)a0時(shí)，由xb時(shí)，fx0，畫出fx的圖象如下圖所示：由圖可知ba，a0，故aba2.綜上所述，aba2成立.故選：D13.85【解析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2×4×5=0，解方程可得：=85.故答案為：85.14.5【解析】先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.由已知，c=a2+b2=5+4=3，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0)，所以右焦點(diǎn)(3,0)到直線x+2y8=0的距離為|3+2

14、15;08|12+22=55=5.故答案為：515.22【解析】由三角形面積公式可得ac=4，再結(jié)合余弦定理即可得解.由題意，SABC=12acsinB=34ac=3，所以ac=4,a2+c2=12，所以b2=a2+c22accosB=122×4×12=8，解得b=22（負(fù)值舍去）.故答案為：22.16.（答案不唯一）【解析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.選擇側(cè)視圖為，俯視圖為，如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2,BB1=1，E,F分別為棱B1C1,BC的中點(diǎn)，則正視圖，側(cè)視圖，俯視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐EADF.故答案為：.17.（

15、1）x¯=10,y¯=10.3,s12=0.036,s22=0.04；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【解析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.（1）x¯=9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.710=10，y¯=10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.510=10.3，s12=0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.321

16、0=0.036，s22=0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.2210=0.04.（2）依題意，y¯x¯=0.3=2×0.15=20.152=20.0225，20.036+0.0410=20.0076，y¯x¯2s12+s2210，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.18.（1）證明見解析；（2）23【解析】（1）由PD底面ABCD可得PDAM，又PBAM，由線面垂直的判定定理可得AM平面PBD，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面PAM平面PBD；（2）由（1）可知，AMBD

17、，由平面知識(shí)可知，DABABM，由相似比可求出AD，再根據(jù)四棱錐PABCD的體積公式即可求出（1）因?yàn)镻D底面ABCD，AM平面ABCD，所以PDAM，又PBAM，PBPD=P，所以AM平面PBD，而AM平面PAM，所以平面PAM平面PBD（2）由（1）可知，AM平面PBD，所以AMBD，從而DABABM，設(shè)BM=x，AD=2x，則BMAB=ABAD，即2x2=1，解得x=22，所以AD=2因?yàn)镻D底面ABCD，故四棱錐PABCD的體積為V=13×1×2×1=2319.（1）an=(13)n1，bn=n3n；（2）證明見解析.【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及a1得到9

18、q26q+1=0，解方程即可；利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出Sn,Tn，再作差比較即可.因?yàn)閍n是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列且a1，3a2，9a3成等差數(shù)列，所以6a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，即9q26q+1=0，解得q=13，所以an=(13)n1，所以bn=nan3=n3n.（2）證明：由（1）可得Sn=1×(113n)113=32(113n)，Tn=13+232+n13n1+n3n，13Tn=132+233+n13n+n3n+1，得23Tn=13+132+133+13nn3n+1 =13(113n)113n3n+1=12(113n)n3n+1，所以Tn=34(1

19、13n)n23n，所以TnSn2=34(113n)n23n34(113n)=n23n0，所以TnSn2.(點(diǎn)晴)本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.20.（1）y2=4x；（2）最大值為13.【解析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)Q(x0,y0)，由平面向量的知識(shí)可得P(10x09,10y0)，進(jìn)而可得x0=25y02+910，再由斜率公式及基本不等式即可得解.（1）拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F(

20、p2,0)，準(zhǔn)線方程為x=p2，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p2(p2)=p=2，所以該拋物線的方程為y2=4x；（2）設(shè)Q(x0,y0)，則PQ=9QF=(99x0,9y0)，所以P(10x09,10y0)，由P在拋物線上可得(10y0)2=4(10x09)，即x0=25y02+910，所以直線OQ的斜率kOQ=y0x0=y025y02+910=10y025y02+9，當(dāng)y0=0時(shí)，kOQ=0；當(dāng)y00時(shí)，kOQ=1025y0+9y0，當(dāng)y00時(shí)，因?yàn)?5y0+9y0225y09y0=30，此時(shí)0kOQ13，當(dāng)且僅當(dāng)25y0=9y0，即y0=35時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)y00時(shí)，kOQ0；綜上

21、，直線OQ的斜率的最大值為13.21.(1)答案見解析；(2) 和-1，-1-a.【解析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo).(1)由函數(shù)的解析式可得：fx=3x22x+a，導(dǎo)函數(shù)的判別式=412a，當(dāng)=412a0,a13時(shí)，fx0,fx在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：x1=113a3,x2=1+13a3，當(dāng)x,113a3時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)x113a3,1+13a3時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x1+13a3,+時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在,113

22、a3，1+13a3,+上單調(diào)遞增，在113a3,1+13a3上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：fx0=x03x02+ax0+1，fx0=3x022x0+a，則切線方程為：yx03x02+ax0+1=3x022x0+axx0，切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則：0x03x02+ax0+1=3x022x0+a0x0,整理可得：2x03x021=0，即：x012x02+x0+1=0，解得：，則，f'(x0)=f1=1+a切線方程為：y=a+1x,與聯(lián)立得x3x2+ax+1=(a+1)x，化簡得x3-x2-x+1=0,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，x-1是x3-x2-x+1的一個(gè)因式，該方程可以分解因式為x-1x2-1=0,解得x1=1,x2=-1,f-1=-1-a，綜上，曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和-1