第三章初等變換與線性方程組ppt課件

1、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR1第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組邱啟榮邱啟榮華北電力大學(xué)數(shù)理系華北電力大學(xué)數(shù)理系QQIR第三章第三章 矩陣的初等變換矩陣的初等變換與線性方程組與線性方程組上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR2第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的初等變換矩陣的初等變換二、矩陣的初等變換三、小結(jié)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR3第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方

2、程組 本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法內(nèi)容豐富，難度較大. 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR4第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組引例引例)1(求解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程組的過程分析：用消元法解下列方程組的過程2 上頁上頁 下頁

3、下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR5第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR6第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxx

4、xxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代的方法求出解：回代的方法求出解：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR7第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組于是解得于是解得 33443231xxxxx.3為任意取值為任意取值其中其中x方方程程組組的的解解可可記記作作或或令令,3cx ,3344321 cccxxxxx.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c 30340111cx即即（2）上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR8第三章第三

5、章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組小結(jié)：小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為消元法上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換下三種變換（1交換方程次序；交換方程次序；（2以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（3一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍倍ij（與相互替換）（與相互替換）（以交換）（以交換）ik ij（以交換）（以交換）ik i上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR9第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組3上述三種變換

6、都是可逆的上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換變換是同解變換ji)(A若若),(B)(B則則);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B則則);(Aik )(B則則).(Ak ji上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR10第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對(duì)方程組的因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算

7、系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算若記若記 97963422644121121112)(bAB則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方方程組程組1的增廣矩陣的變換的增廣矩陣的變換上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR11第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組定義定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換: ）；記記作作兩兩行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行（對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記記作作行行乘乘（第第krkii , .3

8、）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 二、矩陣的初等變換上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR12第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組定義定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類且變換類型相同型相同 同理可定義矩陣的初等列變換同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是所用記號(hào)是把把“r換成換成“c”)jir

9、r kri 逆變換逆變換;jirr 逆變換逆變換;)1(krkrii 或或jikrr 逆變換逆變換.)(jijikrrrkr 或或上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR13第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組定義定義 由單位矩陣由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣陣稱為初等矩陣. .E三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣. 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛用廣泛. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一

10、以數(shù)以數(shù)乘某行或某列；乘某行或某列；以數(shù)以數(shù)對(duì)調(diào)兩行或兩列；對(duì)調(diào)兩行或兩列；kk. 30. 2. 1三、初等矩陣的概念上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR14第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組，得得初初等等方方陣陣兩兩行行，即即中中第第對(duì)對(duì)調(diào)調(diào))(,jirrjiE對(duì)調(diào)兩行或兩列對(duì)調(diào)兩行或兩列、1 1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR15第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組，得得左左乘乘階階初初等等矩矩陣陣用用nmijmaA

11、jiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行對(duì)調(diào)行對(duì)調(diào)行與第行與第的第的第把把：施行第一種初等行變換施行第一種初等行變換相當(dāng)于對(duì)矩陣相當(dāng)于對(duì)矩陣上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR16第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組，右右乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣以以類類似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列對(duì)調(diào)列對(duì)調(diào)列與第

12、列與第的第的第把把：施行第一種初等列變換施行第一種初等列變換相當(dāng)于對(duì)矩陣相當(dāng)于對(duì)矩陣上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR17第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 02乘乘某某行行或或某某列列、以以數(shù)數(shù) k).()(0 kiEkriki矩陣矩陣，得初等，得初等行行乘單位矩陣的第乘單位矩陣的第以數(shù)以數(shù) 1111)(kkiE行行第第 i上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR18第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組；行行的的第第乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù))(kriAki mnmminiinm

13、aaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第 i類類似似地地，左左乘乘矩矩陣陣以以AkiEm)( ).( )(kciAkAkiEin 列列的的第第乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù)，其其結(jié)結(jié)果果矩矩陣陣右右乘乘以以上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR19第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以數(shù)數(shù))()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行

14、第第j上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR20第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組，左左乘乘矩矩陣陣以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR21第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 ),(),(1；則則的的逆逆變變換換是是其其本本身身，變變換換jiEjiErrji );1()(11kiEk

15、iEkrkrii 則則，的的逆逆變變換換為為變變換換. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 則則，的的逆逆變變換換為為變變換換上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR22第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 定理定理1 1 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，對(duì)矩陣，對(duì) 施行一施行一次初等行變換，相當(dāng)于在次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì)階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于施行一次初等列變換，相當(dāng)于在在 的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnAAAAA初等變換

16、初等變換初等矩陣初等矩陣初等逆變換初等逆變換初等逆矩陣初等逆矩陣上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR23第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組四、矩陣的等價(jià)四、矩陣的等價(jià)（1如果矩陣如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成經(jīng)有限次初等行變換變成B，就稱矩陣就稱矩陣A與與B行等價(jià)，記作行等價(jià)，記作rAB（2如果矩陣如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成經(jīng)有限次初等列變換變成B，就稱矩陣就稱矩陣A與與B列等價(jià)，記作列等價(jià)，記作cAB（3如果矩陣如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成經(jīng)有限次初等變換變成B，就稱矩陣就稱矩陣A與與B等價(jià)，記作等價(jià)，記作AB上頁上頁 下

17、頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR24第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2則則若若對(duì)對(duì)稱稱性性）（C. AC,BB, A 3則則若若）傳傳遞遞性性（具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)例如，兩個(gè)線性方程組同解，例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)等價(jià)有如下性質(zhì)等價(jià)有如下性質(zhì)與與矩陣矩陣BA上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR25第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組定理 設(shè) 是 矩

18、陣，那么,A Bmn (1) 的充分必要條件是存在 m階可逆矩陣P，使得 。rABPAB (2) 的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣Q，使得 。cABAQB (3) 的充分必要條件是存在 m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q ，使得 。ABPAQB 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR26第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組A可逆的充分必要條件是rAE上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR27第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組用矩陣的初等行變換用矩陣的初等行變換 解方程組解方程組1）：

19、）： 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR28第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR29第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與

20、線性方程組5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR30第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的方方程程組組為為5B 33443231xxxxx方方程程組組的的解解可可記記作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQ

21、IR31第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組.54都都稱稱為為行行階階梯梯形形矩矩陣陣和和矩矩陣陣BB特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）、可劃出）、可劃出一條階梯線，線一條階梯線，線的下方全為零；的下方全為零；5 00000310003011040101B （2）、每個(gè)臺(tái)階）、每個(gè)臺(tái)階 只有一行，只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元零元上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR32第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩

22、陣的初等變換與線性方程組.1 5的其他元素都為零的其他元素都為零列列，且這些非零元所在的，且這些非零元所在的零行的第一個(gè)非零元為零行的第一個(gè)非零元為即非即非還稱為行最簡形矩陣，還稱為行最簡形矩陣，行階梯形矩陣行階梯形矩陣B.,A nm和和行行最最簡簡形形變變換換把把他他變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形總總可可經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初等等行行對(duì)對(duì)于于任任何何矩矩陣陣 留意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行留意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的 行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)

23、形準(zhǔn)形上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR33第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F(xiàn) 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形稱稱為為矩矩陣陣矩矩陣陣BF上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR34第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組.為零為零陣，其余元素全陣，其余元素全的左上

24、角是一個(gè)單位矩的左上角是一個(gè)單位矩F標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形總總可可經(jīng)經(jīng)過過初初等等變變換換化化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF .,的的行行數(shù)數(shù)行行階階梯梯形形矩矩陣陣中中非非零零行行就就是是三三個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)唯唯一一確確定定，其其中中此此標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形由由rrnm特點(diǎn)：特點(diǎn)： 所有與矩陣所有與矩陣 等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形 是這個(gè)等價(jià)類中最簡是這個(gè)等價(jià)類中最簡單的矩陣單的矩陣.AF上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR35第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組由定理知， 的充分必

25、要條件是存在 m階可逆矩陣P，使得 。rABPAB ( ,)(, )( , )P A EPA PB P( ,)( , )rA EF P將A變成行最簡型，并求相應(yīng)的可逆變換陣P的方法：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR36第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組例 把如下矩陣化為行最簡形矩陣，并求相應(yīng)的可逆變換陣P ： 34732038234202173132上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR37第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 定理定理2 設(shè)設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等為

26、可逆方陣，則存在有限個(gè)初等方陣方陣.,2121llPPPAPPP 使使證證 , EA使使即存在有限個(gè)初等方陣即存在有限個(gè)初等方陣,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使階階可可逆逆方方陣陣及及階階可可逆逆方方陣陣存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是矩矩陣陣推推論論,AE 經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等變變換換可可變變故故上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR38第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組利用初等變換求逆陣的方法：利用初等變換求逆陣的方法：，有有時(shí)時(shí)，由由當(dāng)當(dāng)lPPPAA

27、21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就變變成成時(shí)時(shí)，原原來來的的變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換，矩矩陣陣即即對(duì)對(duì)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR39第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組. ,343122321 1 AA求求設(shè)設(shè) 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 上頁上頁

28、 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR40第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR41第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 . 1BA 矩陣矩陣的方法，還可用于求的方法，還可用于求利用初等行變換求逆陣

29、利用初等行變換求逆陣E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行變換初等行變換上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR42第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組留意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，不能作任何列變換 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR43第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組例例.341352,343122321 , BABAXX，其其中中使使求求矩矩陣陣.313223 X上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR44第三章第三

30、章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組.1 CAY即即可可得得作初等行變換，作初等行變換，也可改為對(duì)也可改為對(duì)),(TTCA , 1作作初初等等列列變變換換，則則可可對(duì)對(duì)矩矩陣陣如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列變換列變換),)( ,(),1TTTTCAECA （列變換列變換TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR45第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組. ,1000110011102222A1, njiijAAn式之和式之和中所有元素的代

31、數(shù)余子中所有元素的代數(shù)余子求求方陣方陣已知已知解解例例3 3, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR46第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 10001000010011000010111000012222EA 100010001100010001100010001210001上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR47第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()

32、1(21 2 nn上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR48第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組1. 1. 單位矩陣單位矩陣 初等矩陣初等矩陣. .一次初等變換一次初等變換2. 利用初等變換求逆陣的步驟是利用初等變換求逆陣的步驟是: ;1 EAEA或或構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣 .,(,211 AEEAEAAEEAEA對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)部部分分即即為為后后劃劃為為單單位位陣陣將將變變換換施施行行初初等等列列或或?qū)?duì)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)部部分分即即為為右右邊邊后后化化為為單單位位矩矩陣陣將將施施行行初初等等行行變變換換對(duì)對(duì)三、小結(jié)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 M

33、ade By QQIR49第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組課堂作業(yè)：求矩陣A的行階梯陣和最簡型815073131213123上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR50第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組邱啟榮邱啟榮華北電力大學(xué)數(shù)理系華北電力大學(xué)數(shù)理系QQIR第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR51第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組一、矩陣秩的概念第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩二、矩陣秩的求法-初等變

34、換法上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR52第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組. , 數(shù)數(shù)是是唯唯一一確確定定的的梯梯形形矩矩陣陣中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行階階把把它它變變?yōu)闉樾行须A階變變換換總總可可經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩陣陣nmA ., 12階階子子式式的的稱稱為為矩矩陣陣階階行行列列式式，的的中中所所處處的的位位置置次次序序而而得得變變它它們們?cè)谠诓徊桓母脑厮靥幪幍牡膫€(gè)個(gè)），位位于于這這些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩陣陣在在定定義義kAkAknkmkkkAnm 矩陣的秩矩陣的秩

35、一、矩陣秩的概念上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR53第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組.)(0102等等于于零零并并規(guī)規(guī)定定零零矩矩陣陣的的秩秩的的秩秩，記記作作稱稱為為矩矩陣陣的的最最高高階階非非零零子子式式，數(shù)數(shù)稱稱為為矩矩陣陣，那那末末于于）全全等等階階子子式式（如如果果存存在在的的話話，且且所所有有式式階階子子的的中中有有一一個(gè)個(gè)不不等等于于設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣定定義義ARArADrDkA .)( 子子式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩陣陣AARAnm ，對(duì)于對(duì)于TA).()(ARART 顯有顯有

36、. 個(gè)個(gè)階子式共有階子式共有的的矩陣矩陣knkmCCkAnm 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR54第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組例例1.174532321的秩的秩求矩陣求矩陣 A解解中，中，在在 A，階階子子式式只只有有一一個(gè)個(gè)的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR55第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組例例2.00000340005213023012的秩的秩求矩陣求矩陣 B解解行行，其其非非零零行行有有是是一一個(gè)

37、個(gè)行行階階梯梯形形矩矩陣陣，3B.4階子式全為零階子式全為零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR56第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組如果逐個(gè)判別每一個(gè)子式計(jì)算量是很大的。由例2可知，如果矩陣是一個(gè)行階梯陣，那么它的秩與最高階非零子式是很容易求得。 . 個(gè)個(gè)階子式共有階子式共有的的矩陣矩陣knkmCCkAnm 定理：如果矩陣A中有一個(gè)r階子式不為零，而包含該子式的所有r+1階子式全為零，則該矩陣的秩為r。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR57第三

38、章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組例例3 3，求求該該矩矩陣陣的的秩秩已已知知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解計(jì)算計(jì)算A的的3階子式，階子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR58第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組做做初初等等變變換換，對(duì)對(duì)矩矩陣陣 510231202231A另解另解,000031202231510231202231 顯然，非零行的行數(shù)為顯然

39、，非零行的行數(shù)為2， . 2 AR此方法簡單！此方法簡單！上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR59第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組., 梯梯形形等等行行變變換換把把他他變變?yōu)闉樾行须A階總總可可經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初因因?yàn)闉閷?duì)對(duì)于于任任何何矩矩陣陣nmA 問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？ . ,1 BRARBA 則則若若定定理理證證).()( BRARBA 則則，經(jīng)一次初等行變換變?yōu)榻?jīng)一次初等行變換變?yōu)橄茸C明：若先證明：若. 0 )( rDrArAR階階子子式式的的某某個(gè)個(gè)，且且設(shè)設(shè)二、矩陣秩的求法-初等變換

40、法自己看書。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR60第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組時(shí)時(shí)，或或當(dāng)當(dāng)BABAkrrriji 時(shí)，分三種情況討論：時(shí)，分三種情況討論：當(dāng)當(dāng)BAjikrr ,.rrDDB相對(duì)應(yīng)的子式相對(duì)應(yīng)的子式中總能找到與中總能找到與在在, rrrrrrkDDDDDD 或或或或由于由于.)(0 rBRDr ，從從而而因因此此行行；行行但但不不含含第第中中含含第第）（行行；行行和和第第中中同同時(shí)時(shí)含含第第）（行行；中中不不含含第第）（jiDjiDiDrrr321上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR

41、61第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組.)(, 0)2(),1( rBRDDDBrrr 故故子子式式對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的中中與與兩兩種種情情形形，顯顯然然對(duì)對(duì)，對(duì)情形對(duì)情形)3(,rrjijirDkDrkrkrrD , 0 rD若若,非非零零子子式式階階行行的的中中有有不不含含第第行行知知中中不不含含第第因因riAiDr.)(rBR 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR62第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組, 0 rD若若).()( BRARBA ，則則經(jīng)經(jīng)一一次次初初等等行行變變換換變變?yōu)闉槿羧?,AB為為也

42、可經(jīng)一次初等變換變也可經(jīng)一次初等變換變又由于又由于.)(, 0rBRDDrr 也也有有則則).()(BRAR 因因此此).()(ARBR 故故也也有有 經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變有限次初等行變換矩陣的秩仍不變 ).()(,BRARBA 也有也有經(jīng)初等列變換變?yōu)榻?jīng)初等列變換變?yōu)樵O(shè)設(shè)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR63第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組,BA經(jīng)初等列變換變?yōu)榻?jīng)初等列變換變?yōu)樵O(shè)設(shè)).()(),(, BRARBABA 則則即即經(jīng)經(jīng)有有限限次次初

43、初等等變變換換變變?yōu)闉槿羧艟C綜上上,TTBA 經(jīng)初等行變換變?yōu)榻?jīng)初等行變換變?yōu)閯t則),()( TTBRAR ),()(),()(TTBRBRARAR 且且).()(BRAR 證畢證畢上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR64第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組初等變換求矩陣秩的方法：初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例例4的的一一個(gè)個(gè)最最高高階階非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩陣陣設(shè)設(shè)

44、AAA,41461351021632305023 階階梯梯形形矩矩陣陣：作作初初等等行行變變換換，變變成成行行對(duì)對(duì)A解解上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR65第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR66第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 上頁上頁

45、 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR67第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR68第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 84000840001134041461 00000840001134041461 由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr 上頁上頁

46、下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR69第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 . 的的一一個(gè)個(gè)最最高高階階子子式式求求 A , 3)( AR . 3階階的的最最高高階階非非零零子子式式為為知知A階子式共有階子式共有的的 3A . 403534個(gè)個(gè) CC階階梯梯形形矩矩陣陣為為的的行行則則矩矩陣陣記記),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，考察考察A 000400140161, 3)( BR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR70第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等

47、變換與線性方程組A計(jì)算 的前三行構(gòu)成的子式 .3階階非非零零子子式式中中必必有有故故 B.4個(gè)個(gè)且且共共有有623502523 1106502523 116522 . 016 則這個(gè)子式便是則這個(gè)子式便是 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式.A上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR71第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組，階階可可逆逆矩矩陣陣設(shè)設(shè)An , 0 A,AA的的最最高高階階非非零零子子式式為為,)(nAR .,EAEA的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為單單位位陣陣故故.為為滿滿秩秩矩矩陣陣，故故稱稱可可逆逆矩矩陣陣可可逆逆矩矩陣陣的的秩

48、秩等等于于階階數(shù)數(shù).奇奇異異矩矩陣陣為為降降秩秩矩矩陣陣上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR72第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組例例5 5 4321,6063324208421221bA設(shè)設(shè) .)(的的秩秩及及矩矩陣陣求求矩矩陣陣bABA 解解),( bABB 的的行行階階梯梯形形矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)分析：分析：的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，就是就是則則AA).()(),(BRARbAB及及中中可可同同時(shí)時(shí)看看出出故故從從 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR73第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣

49、的初等變換與線性方程組 46063332422084211221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR74第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR75第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組1112312 ,536A設(shè)例

50、( )2,R A求 與 的值。知解1：11121112 0344 034408540510A上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR76第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組1112 034405101121120340440050010由于由于A的秩是的秩是2，因此，因此故故5,1上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR77第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組解2：11121112312 034453608541112 08540344A1112 085432(5)(3)50082上頁上

51、頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR78第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組由于由于A的秩是的秩是2，因此，因此50(5)(3)320故故5,1上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR79第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組解解3：由于：由于A的秩是的秩是2，因此，因此11211232312053656故故5,1上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR80第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組(2)(2)初等變換法初等變換法1. 矩陣秩的

52、概念矩陣秩的概念2. 求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法(1)(1)利用定義利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù)即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));三、小結(jié)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR81第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組邱啟榮邱啟榮華北電力大學(xué)數(shù)理系華北電力大學(xué)數(shù)理系QQIR第三節(jié)第三節(jié) 線性方程的解線性方程的解上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Ma

53、de By QQIR82第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組第三節(jié) 線性方程的解一、線性方程組有解的判定條件三、小結(jié)二、線性方程組的解法上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR83第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 .01nARxAnnm 矩矩陣陣的的秩秩的的充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)有有非非零零解解元元齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理的的解解討討論論線線性性方方程程組組的的秩秩，和和增增廣廣矩矩陣陣如如何何利利用用系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣bAxBA 問題：問題：證證必要性必要性. . ,nDnAnAR

54、階非零子式階非零子式中應(yīng)有一個(gè)中應(yīng)有一個(gè)則在則在設(shè)設(shè) ,根據(jù)克拉默定理根據(jù)克拉默定理個(gè)方程只有零解個(gè)方程只有零解所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的 nDn從而從而有非零解，有非零解，設(shè)方程組設(shè)方程組0 Ax一、線性方程組有解的判定條件上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR84第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組這與原方程組有非零解相矛盾，這與原方程組有非零解相矛盾， .nAR 即即不不能能成成立立nAR )(充分性充分性. . ,nrAR 設(shè)設(shè).個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量從而知其有從而知其有rn 任取一個(gè)自由未知量為，其余自由未知量為，任取一個(gè)自由未知量為，

55、其余自由未知量為，即可得方程組的一個(gè)非零解即可得方程組的一個(gè)非零解 .個(gè)非零行，個(gè)非零行，的行階梯形矩陣只含的行階梯形矩陣只含則則rA上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR85第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組證證必要性必要性,有解有解設(shè)方程組設(shè)方程組bAx ,BRAR 設(shè)設(shè)則則B B的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾方程，方程， .,2的的秩秩陣陣的的秩秩等等于于增增廣廣矩矩矩矩陣陣的的充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)有有解解元元非非齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理bABAbxAnnm

56、 這與方程組有解相矛盾這與方程組有解相矛盾. .BRAR 因此因此上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR86第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組并令并令 個(gè)自由未知量全取個(gè)自由未知量全取0 0，rn 即可得方程組的一個(gè)解即可得方程組的一個(gè)解充分性充分性. . ,BRAR 設(shè)設(shè) ,nrrBRAR 設(shè)設(shè)證畢證畢個(gè)非零行，個(gè)非零行，的行階梯形矩陣中含的行階梯形矩陣中含則則rB其他其他 個(gè)作為自由未知量個(gè)作為自由未知量, ,rn 把這把這 行的第一個(gè)非零元所對(duì)應(yīng)的未知量作為行的第一個(gè)非零元所對(duì)應(yīng)的未知量作為非自由未知量非自由未知量, ,r上頁上頁

57、 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR87第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組小結(jié)小結(jié)有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有無窮多解有無窮多解. .bAx 方程組的通解方程組的通解性性程組的任一解，稱為線程組的任一解，稱為線定義：含有個(gè)參數(shù)的方定義：含有個(gè)參數(shù)的方齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形

58、矩陣，便可寫出其通解；簡形矩陣，便可寫出其通解；上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR88第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組例例1 1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行變換：施行初等行變換：對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣 A13122rrrr 二、線性方程組的解法上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR89第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 00003

59、42101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 , 0342, 0352432431xxxxxx上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR90第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把它它寫寫成成通通常常的的參參數(shù)數(shù)令令2413,cxcx .1034350122214321 ccxxxx上頁上頁 下頁下頁

60、 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR91第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組例例 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，進(jìn)行初等變換， 322122351311321B13122rrrr 10450104501132123rr 200001045011321, 3)(, 2)( BRAR顯顯然然，故方程組無解故方程組無解上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Made By QQIR92第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣