二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)

1、二次函數(shù)二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì) 編寫：趙化中學(xué) 鄭宗平知識點(diǎn)：1、二次函數(shù)的定義：形如 （為常數(shù)，且）的函數(shù). 注意四個(gè)方面的特點(diǎn)（關(guān)鍵詞：函數(shù)、整式、整理、二次）.2、二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)的圖象是一條 ；是 對稱圖形.3.二次函數(shù)的性質(zhì)：.特殊形式：.拋物線的對稱軸為 .頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （ ）.開口方向：當(dāng) 0，開口向上；當(dāng) 0，開口向下.增減性：當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而 ；當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而 .最值：當(dāng)，時(shí)，取最 值為 ；當(dāng)，時(shí)，取最 值為 .拋物線的對稱軸為 .頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （ ）.開口方向：當(dāng) 0，開口向上；當(dāng) 0，開口向下.增減性：當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而

2、 ；當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而 .最值：當(dāng)，時(shí)，取最 值為 ；當(dāng)，時(shí)，取最 值為 .拋物線的對稱軸為 .頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （ ）.開口方向：當(dāng) 0，開口向上；當(dāng) 0，開口向下.增減性：當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而 ；當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而 .最值：當(dāng)，時(shí)，取最 值為 ；當(dāng)，時(shí)，取最 值為 .配方形式：拋物線對稱軸為 .頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （ ）.開口方向：當(dāng) 0，開口向上：當(dāng) 0，開口向下.增減性：當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而 ；當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而 .最值：當(dāng)，時(shí)，取最 值為 ；當(dāng)，時(shí)，取最 值為 .若把拋物線進(jìn)行平移：. 向 平移個(gè)單位可以得到；.向 平移個(gè)單位可以得

3、到；.向 平移個(gè)單位，再 移個(gè)單位可以得到.一般形式： 拋物線對稱軸為 .頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （ ）.開口方向：當(dāng) 0，開口向上；當(dāng) 0，開口向下.增減性：當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而 ；當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而 .最值：當(dāng)，時(shí)，取最 值為 ；當(dāng)，時(shí)，取最 值為 .例題解析：例1、選擇題：.對于拋物線，下列結(jié)論：.拋物線開口向下；.對稱軸是直線；.頂點(diǎn)坐標(biāo)為；.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線和拋物線的圖象可能是（ ）例2、填空題：.二次函數(shù)的圖象的開口方向是 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .若函數(shù)是二次函數(shù)，則= ，其圖

4、象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .如果拋物線在軸上，則的值為 .如圖二次函數(shù)的大致圖象，則= .已知拋物線有兩點(diǎn)，則的大小關(guān)系為 .（填“>”、“<”或 “=”）. 二次函數(shù)的部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足右表，則該函數(shù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， .已知二次函數(shù)的圖象的開口方向向上，頂點(diǎn)在第三象限，則點(diǎn)在第 象限.例3、已知拋物線求拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；.畫出拋物線的大致圖形，并用虛線標(biāo)出對稱軸；.觀察圖象，你能得出哪些結(jié)論？請至少寫出三條. 例4、已知拋物線.求此拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的的坐標(biāo)；.畫出拋物線的大致圖形；.求順次連接拋物線頂點(diǎn)和拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形的面積.追蹤練習(xí)：1.選擇

5、題：.如圖，拋物線與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，分別交兩條拋物線于兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：. ；.無論取何值，的值總是正數(shù)；.當(dāng)時(shí)，； 其中正確的結(jié)論是 （ ）A. B. C. D.若為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D.若拋物線與軸的交點(diǎn)為，則下列說法不正確的的是（ ）A.拋物線的開口向上 B.拋物線的對稱軸是C.當(dāng)時(shí)，取最大值為 D.拋物線與軸的交點(diǎn)為2.填空題：.拋物線的開口方 ，對稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .已知下列函數(shù)：.；. ；. .其中，圖象通過平移可以得到的圖象有 .（填序號）.在二次函數(shù)的圖象中，若隨的增大而增大，則的取值范圍是 .二次函數(shù)的部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

6、右表，則該函數(shù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 . 已知二次函數(shù)的圖象的開口向下，頂點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)在第 象限.已知拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)，最大值為2，則= .若拋物線的頂點(diǎn)在軸上，則此拋物線的開口方向 ，有 （填最大值或最小值），寫出此拋物線的解析式 .如圖兩條拋物線分別經(jīng)過 且平行于軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為 . .已知函數(shù)的圖象經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的四個(gè)象限，那么的取值范圍是 .二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過 象限.3、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).求的值；.求出該二次函數(shù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸；.在所給的坐標(biāo)系中畫出的圖象；.若拋物線與坐標(biāo)均有交點(diǎn)，請求出順次連接拋物線頂點(diǎn)和拋物線與坐標(biāo)

7、軸交點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形的面積.4、如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為,二次函數(shù)的圖象與軸交于原點(diǎn)以及另一點(diǎn),它的頂點(diǎn)在函數(shù)上的圖象的對稱軸上. .求點(diǎn)以及點(diǎn)的坐標(biāo)；.當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的關(guān)系式. .求四邊形為菱形時(shí)的面積.九年級數(shù)學(xué)上期二次函數(shù)單元專題復(fù)習(xí)資料 求二次函數(shù)的解析式問題知識點(diǎn)：1、待定系數(shù)法的一般步驟:設(shè)出解析式的形式 代入 解答并求出待定系數(shù)的值 返回寫出解析式.2、常見的求二次函數(shù)解析式的方法和途徑：.一般式：.設(shè)出二次函數(shù)的一般式為：；.代入三個(gè)條件（一般三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)居多）聯(lián)立成方程組；.進(jìn)行解答并求出求出待定系數(shù)的值；.最后返回寫解出解析式.頂點(diǎn)式：.設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)

8、式為：；.代入頂點(diǎn)坐標(biāo)和另一個(gè)條件的值；注意若我們設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則；.進(jìn)行解答并求出求出待定系數(shù)的值；.最后返回寫解出解析式.交點(diǎn)式：.設(shè)出二次函數(shù)的一般式為：；這里的是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；.代入和另外一個(gè)條件的值；.進(jìn)行解答并求出求出待定系數(shù)的值；.最后返回寫解出解析式. 特殊式：.設(shè)出二次函數(shù)的特殊式：若頂點(diǎn)為原點(diǎn)可設(shè)為的形式；若頂點(diǎn)在軸上可設(shè)為的形式；若頂點(diǎn)在軸上可設(shè)為的形式；.代入條件構(gòu)成方程或方程組；.進(jìn)行解答并求出求出待定系數(shù)的值；.最后返回寫解出解析式.平移式 平移式主要是抓住拋物線左右平移和上下平移時(shí)的坐標(biāo)變化規(guī)律，用“平移式”求解析式的一般步驟：.首先把已知的二次函數(shù)的解

9、析寫成配方式，形如；.由教材可知在同一坐標(biāo)系內(nèi)拋物線平移規(guī)律是平移后的解析式其值不變化，其上下左右平移的規(guī)律是：若左右平移單位：向右平移則在數(shù)據(jù)上減去，向左平移則在數(shù)據(jù)上加上；若上下平移單位：向上平移則在數(shù)據(jù)上加上，向下平移則在數(shù)據(jù)上減去.一句話：左右平移決定配方式括號里數(shù)據(jù)的變化，口訣是“左加右減”；上下平移決定配方式括號外后面數(shù)據(jù)的變化，口訣是“上加下減”.對稱式.拋物線關(guān)于軸對稱：解析式對應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)均互為相反數(shù). .拋物線關(guān)于軸對稱：解析式對應(yīng)的二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)相同，而一次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù). .拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱：解析式對應(yīng)的二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)，而一次項(xiàng)系數(shù)相同.例

10、題解析：例1、二次函數(shù)的圖象是過點(diǎn)的一條拋物線.求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；.求這條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸方程，并畫出這條拋物線；.為何值時(shí)，函數(shù)有最大值或最小值?最大值或最小值等于多少?.在什么范圍內(nèi)，y隨著x的增大而增大?.求四邊形的面積例2、有一拋物線的拱形橋洞，橋洞頂離水面最大高度為，跨度為，把它圖形放在直角坐標(biāo)系中（見示意圖）.求此拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；.在對稱軸右邊處橋洞離水面高是多少米？例3、已知拋物線經(jīng)過，求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)？變式：若把上面例題中坐標(biāo)“”改為“”其余條件不變，又該如何求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)呢？例4、已知Rt中， ；若以邊所在的直線為軸，Rt 斜邊的高所在的直

11、線作為軸建立平面直角坐標(biāo)系（見圖示）.請至少用三種不同求解析式方法求出過三點(diǎn)的拋物線的解析式；.求出問中拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸. 追蹤練習(xí)：1、分別寫出拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線過原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為軸，物線的與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)的解析式各至少兩個(gè).（答案不唯一）2、分別按條件寫出平移后的解析式：.拋物線向左平移3個(gè)單位后的解析式是 ；.拋物線向下平移4個(gè)單位后的解析式是 ；.拋物線先右平移2個(gè)單位后再下平移3個(gè)單位的的解析式是 .3、根據(jù)給出條件求，二次函數(shù)的解析式：.已知二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)在軸上，且過兩點(diǎn)；.已知二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)在軸上，且過兩點(diǎn)；.已知二次函數(shù)圖象對稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)

12、和；.已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過三點(diǎn)；.已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過三點(diǎn)；.已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過三點(diǎn)；.與已知拋物線關(guān)于直線對稱. 4、在一幢建筑物里10米高的窗臺處有一水管斜著向外噴水，如圖所示，噴出的水在垂直于墻壁的豎直平面內(nèi)形成一條拋物線，其頂點(diǎn)距離墻1.5米遠(yuǎn)，并且落在離墻4米處的地面上，求拋物線的頂點(diǎn)比噴射點(diǎn)高多少米？5、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)，求此拋物線的解析式？6、已知二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值0，且經(jīng)過點(diǎn).求該二次函數(shù)的解析式；.如何平移該二次函數(shù)的圖象，使平移后的拋物線的頂點(diǎn)在上？.寫出平移后的點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？7、如圖，拋物線的頂點(diǎn)為,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為.根據(jù)圖中標(biāo)示：.

13、求此拋物線的解析式；.請順次連結(jié)，試求的面積. 8、如圖拋物線的頂點(diǎn)為，此拋物線交軸交于兩點(diǎn).求此拋物線的解析式；.求的面積；.若拋物線上另有一點(diǎn)滿足=,請求出的坐標(biāo). 9、如左圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過平移得到拋物線.拋物線是如何平移的？.求出其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積？（陰影部分見示意圖）10、如右圖，一拋物線在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，直角坐標(biāo)系中橫軸與縱軸的單位長度都是1.求助此拋物線的解析式；.若將此拋物線先向右平移4個(gè)單位，再向下移2個(gè)單位，請化出平移后的圖象，并寫出平移后拋物線的解析式；.求出最初的拋物線和平移后的拋物線兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離；.求出最初的

14、拋物線和平移后的拋物線兩個(gè)頂點(diǎn)所在直線的解析式.11、如圖，已知拋物線經(jīng)過.求拋物線的解析式；求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸；.把拋物線向上平移，使得頂點(diǎn)落在軸上，直接寫出兩條兩條拋物線、對稱軸和軸圍成的圖形的面積(圖中陰影部分）.12、如圖，在矩形中，,沿直線折疊矩形的一邊,使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，拋物線經(jīng)過三點(diǎn).求的長； .拋物線的解析式.九年級數(shù)學(xué)上期二次函數(shù)單元專題復(fù)習(xí)資料 二次聯(lián)姻（二次函數(shù)與一元二次方程以及與一元二次不等式的關(guān)系）知識點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：已知一元二次方程，設(shè)拋物線. 一元二次方程方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn). . 一元二次方程方程有

15、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則拋物線與軸有“唯一”的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn). 一元二次方程方程無實(shí)數(shù)根，則拋物線與軸無交點(diǎn). 一元二次方程方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則拋物線與軸有交點(diǎn).2.二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系：已知一元二次不等式或，設(shè)拋物線，一元二次不等式的解集是圖象對應(yīng)部分的橫坐標(biāo)的集合.當(dāng)時(shí)：.若拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則一元二次不等式的解集：大于取兩邊，小于取中間；.若拋物線與軸無交點(diǎn)，則一元二次不等式的解集：大于取全體，小于是“空集”. 當(dāng)時(shí)：.若拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則一元二次不等式的解集：大于取中間，小于取兩邊；.若拋物線與軸無交點(diǎn)，則一元二次不等式的解集：大于是“空集”

16、，小于取全體.例題解析：例1、已知二次函數(shù)的圖象如圖，且,有以下結(jié)論：.；. ；. ;.；.；.；.其中正確的有 （填序號）.例2、已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示.求關(guān)于的一元二次方程的解；.根據(jù)圖象寫出不等式的解集. 例3、已知二次函數(shù).求證：對于任意實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與軸總有公共交點(diǎn)；.若該二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo).例4、二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答：.寫出方程的兩根；.寫出不等式的解集；.寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；.若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍. 追蹤練習(xí)：1、選擇題：.已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則它與軸的

17、另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D.已知函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C.且 D.且.已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如右表，則下列判斷正確的是 （ ）A.當(dāng)時(shí)， B.拋物線與軸交于負(fù)半軸C.拋物線開口向上 D.方程的正根在3和4 之間.2、填空題：.已知拋物線與軸一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則一元二次方程的根為 . 如圖是二次函數(shù)的圖象，則時(shí)= ；時(shí)的取值范圍是 ；時(shí)的取值范圍是 .若在軸上截得的線段長為，則= .如圖是二次函數(shù)的圖象，有以下結(jié)論：.；.；.；.；. 其中正確的有 （填序號）.3、已知二次函數(shù).若該二次函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求的值；.若該二次函數(shù)的圖

18、象與一次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，求的值.4、已知二次函數(shù) .求證：無論取何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；.若此二次函數(shù)圖象的對稱軸為，求它的解析式；.若中的二次函數(shù)的圖象與軸交于，與軸交于點(diǎn)；是第四象限函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且于,求點(diǎn)的坐標(biāo)5、已知二次函數(shù).求證：不論取何實(shí)數(shù)，此函數(shù)的圖象都與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)都在軸的正半軸.設(shè)函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若的面積為48，求的值.九年級數(shù)學(xué)上期二次函數(shù)單元專題復(fù)習(xí)資料 利用二次函數(shù)的解決實(shí)際問題舉例利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，在本冊各類題中從幾何面積、商品利潤、拋物線形等切入的居多；主要通過建立二次函數(shù)關(guān)系式，為解決實(shí)際中的最大

19、面積、最高利潤、拋物線形等問題牽線搭橋；實(shí)際上就是數(shù)學(xué)上一種建模思想的又一具體運(yùn)用.下面我就本專題作簡單的分類舉例：題目一：利用二次函數(shù)解決面積問題例1、如圖，在矩形中，；點(diǎn)從點(diǎn)點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)一每秒的速度運(yùn)動；點(diǎn)從點(diǎn)點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)一每秒的速度運(yùn)動；若分別同時(shí)從同時(shí)出發(fā)，設(shè)表示的面積,表示運(yùn)動時(shí)間.求出與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；.求出的最大值或最小值，并說明理由. 例2、如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，設(shè)是拋物線上一動點(diǎn)，且在軸的下方，四邊形是以為對角線的平行四邊形.求拋物線的解析式；.當(dāng)運(yùn)動時(shí)，試求平行四邊形的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最大面積；.是否存在著樣的點(diǎn)，使平行四邊形為正

20、方形？若存在，求點(diǎn)和的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.題目二：利用二次函數(shù)解決利潤等代數(shù)問題例1、某商場一商場某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段發(fā)現(xiàn)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)（元）與產(chǎn)品銷售量（件）之間的關(guān)系如下表，且日銷售量（件）與是偶家（元）是一次函數(shù).求出日銷售量（件）與是偶家（元）的函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.要使每日的利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)最大利潤是多少？例2、千年古鎮(zhèn)趙化的某賓館有50個(gè)房間供游住宿，當(dāng)每個(gè)房間的房價(jià)為每天180元，房間會全部住滿；當(dāng)每個(gè)房間每天的房價(jià)每增加10元時(shí)，就會有一個(gè)房間空閑，賓館需對游客居住的每個(gè)房間每天支出20元各種費(fèi)用，根據(jù)規(guī)定，每個(gè)房間每天的房價(jià)不得高于340元，設(shè)每個(gè)房間的房價(jià)每天增加元（為10的正整數(shù)倍）.設(shè)一天的房間數(shù)為，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；.設(shè)賓館一天的利潤為元，求與的函數(shù)關(guān)系式；.一天訂住多少房間時(shí)賓館的利潤最大？最大利潤是多少？題目三：利用二次函數(shù)解決拋物線形問題例、如圖是拋物線形的小拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱橋頂離水面2米（見圖示），水面寬為4米；若水面下降1米，水面寬度增加多少米？追蹤練習(xí)：1、某店經(jīng)營文具用品，已知成批購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)是30元時(shí)，月銷售