2018年高考數(shù)學(xué)命題角度5.3直線與拋物線位置關(guān)系大題狂練文

1、命題角度 5.3 :直線與拋物線位置關(guān)系1.1.已知拋物線的對稱軸為坐標(biāo)軸， 頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為|， 直線與拋物線相交 于不同的-， 兩點(diǎn).（1 1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2 2）如果直線過拋物線的焦點(diǎn)，求 :的值；（3 3） 如果 -,直線是否過一定點(diǎn)，若過一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過一定點(diǎn)，試說 明理由.【答案】（1 1）；（2 2）.心心: -；（3 3）.【解析】【試題分析】（1 1）借助題設(shè)與已知條件待定拋物線的參數(shù)即可； （2 2 ）依據(jù)題設(shè)條件， 建立直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，運(yùn)用向量的坐標(biāo)形式求解：（3 3）先假設(shè)存在，再運(yùn)用所學(xué)知識分析探求。（1）已知拋物線的對稱

2、軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線萬程為工所以汁 P =2-二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y3=4x （2）設(shè)：my = y - 1,與 y2=4x 聯(lián)立，得 y2-4my-4= 0j設(shè)升 +為=4 叫 71 y3= -4, OS = xx2-F y1y2= （m3+ 1）兀 + m（y+ %） 4 1 = 3 （3 3） 解：假設(shè)直線過定點(diǎn)，設(shè)：與爪-已聯(lián)立，得設(shè)粗兀磯乃）.旳+2 2 = = 4 4 用yy2= 4n由f；:，-1- i i -I-I . . 2 2 - - 1,1, 解得：； ：心過定點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的設(shè)置旨在考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本 方法的綜合運(yùn)用

3、。求解第一問時(shí)，直接借助題設(shè)條件求出參數(shù)的值使得問題獲解；解答第二問時(shí)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，借助向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式求解，使得問題獲 解；第三問的求解則借助坐標(biāo)之間的關(guān)系建立方程推得直線過定點(diǎn)，使得問題獲解。2.2. 已知拋物線-的焦點(diǎn)為 ，直線與軸的交點(diǎn)為，與*的交點(diǎn)為Q Q（% % 如，且 一 （1 1）當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值；（2 2）當(dāng) ：時(shí)，若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓 化廣-:上：沙一；相交于、 兩 點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，【亡 ,試問：是否存在實(shí)數(shù) 使得卅訃的長為定值？若存在，求出的 值；若不存在，請說明理由 p十遲【答案】（1 1）；（ 2 2）當(dāng)- - 時(shí)，|：；淫

4、的長為定值 2.2.【解析】試題分析：（1 1）依據(jù)題設(shè)條件建立函數(shù)關(guān)系運(yùn)用基本不等式求解；（2 2）借助直線與拋物線的位置關(guān)系，運(yùn)用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析探求；試題解析：解:（1）因?yàn)?PQI = |QF|=f 十補(bǔ)）f|j=Pp 所 U 坯二圧亍所也+ 詬 *=畫”=汁君卄 n因?yàn)?P1,所以妬+卩三+憶 當(dāng)且僅當(dāng)君=卩一 1,即啓=1+爭寸取等號.故當(dāng)氐+ P 取得最小值時(shí)、P = 1 + y P._ 計(jì)h h= = 2 22 2（2 2）當(dāng) 時(shí)，則拋物線設(shè)直線Ly + h（h “），代入y2二牡得= 0，設(shè)丹）磯七，匕） 則yi + y2=4泌亠鈾，&=訶+遜0,因?yàn)樵渷A刖，所以0

5、l.=x1x2+ y1y2= （t2+ 1陰班+珈兒十山）十於=o, 即一迂心廣+I： +戰(zhàn)勺+-U又，貝y，所以直線過定點(diǎn)，故當(dāng) 時(shí)， 的長為定值 2.2.3.3.已知拋物線E : y2= 4x的準(zhǔn)線為丨，焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn). .（1 1）求過點(diǎn)O,F，且與丨相切的圓的方程；（2）過F的直線交拋物線E于A,B兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A，求證：直線AB過定點(diǎn). .I答案】（1）X-y一、2 2i i； - -9 9； （2 2）見解析. .413【解析】試題分析：（1 1）圓C過O, F可得ar1，圓C與直線丨：X X - - -1-1 相切，可得r =3. .22 b b2 2=J=J

6、，得b =.2.2.從而得圓的方程. .（2）聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理：畫+帀=翌工/碼刃=1. y =4xk表示直線瓦 T 的方程為 y-旳二（牙一冷），由對稱性可令 y=0,得 花一碼需弋存寫嚮）化簡整理可得直線業(yè)過定點(diǎn) W.試題解析：解法一：（1 1）拋物線E:y2=4x的準(zhǔn)線丨的方程為：x = -1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F 1,0,設(shè)所求圓的圓心C a,b，半徑為r，丁圓C過O, F,圓c與直線1相切，=2一八3丄丫 +b2=?，得b = V2. 2 2.過O,F,且與直線丨相切的圓的方程為卜叮I 2丿（2）依題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB方程為y =k x-1,A Xi,yi，B X2,y2

7、，Xi- X2，A為，一 ,聯(lián)立X1，消去y得k2x2”4X小2k2+4x1x22kxix2= 1. ./直線BA的方程為y _ y2 = %y1x _ X2 ,x2一捲.令y=0，得x = 9墊% +y2x2k x2-1x2-12x1x x1x2k(% T )+k(x2T )-2 + (x+x2)由r = CO1 I2直線BA過定點(diǎn)-1,0, , 解法二：(1 1)同解法一. .(2 2)直線BA過定點(diǎn)M-1,0. .證明：依題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB方程為y = k x-1,A Xi,yi，B X2,y2，Xi- X2，A為，一 ，聯(lián)立y2k X 1，消去y得k2x2-2k24

8、x k2= 0，y = 4x2k2+4XiX22一k：x2% + x2+ % + y2= k (為T )x2+ k (x2T 兇 +k (為+ x2 2 ) = 2k冷 一2k = 2k1 2k= 0 .kAM-kBM=0,即kA.M=kBM=0,A、B M三點(diǎn)共線，直線BA過定點(diǎn)-1,0. . 解法三：(1 1)同解法一. .(2 2)設(shè)直線AB的方程：x二my 1,A x1, y1,B x2, y2，則A x1y1. .由y=2kX_1得,y2-4my-4“.y = 4x力y2=4m,y1y2- -4.4yY1直線BA過定點(diǎn)-1,0. .點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定

9、“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理， 到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn) 2 24.4.已知拋物線C : y2-2px（p0）的焦點(diǎn) F F 與橢圓C: : =1=1 的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)65M x2=1. .-yiy2X11X21X2W x2y yX11 X21y2%y2力2 2y2y14,.直線BA的4% 一*X _ X2y24y2-y1x y2一4X2y24x.氐-y_4X2入y2一y2一y1一kBMA Xo,2在拋物線上，過焦點(diǎn)F的直

10、線l交拋物線于M、N兩點(diǎn). .（1 1）求拋物線C的方程以及AF的值；（2 2）記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B，若MF=人FN，| BM |2+| BN2= 40,求實(shí)數(shù)k的值. .【答案】（1 1）2 2（2 2） =2=2 _ _ .3.3【解析】試題分析：（1 1）先根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程得衛(wèi)= =1 1,2最后求出 A A 點(diǎn)坐標(biāo)，并根據(jù)拋物線定義求AF的值；（2 2）設(shè)M（捲，卜N（x2,y2），則根據(jù)也y2二4mMF二，F(xiàn)N，得5=一辿2，聯(lián)立直線l方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得12，* 討2 =-4, 2 2 2 2 2再將BM | + BN| =40

11、化成坐標(biāo)關(guān)系 4040= （m+1）（y1+y2）4口（+*2）+8，解方程組可得m2= 1， = 2二3. .22 2試題解析：（1 1）依題意，橢圓C: : - - =1=1 中，a2=6,b2=5，故c2=a2-b2=1，65故F 1,0，故:=1,則2p =4，故拋物線C的方程為y2=4x. .將Ax）,2 ）代入y2=4x，解得x, =1，故|AF =1+號=2. .( (2)依題意，鞏助 設(shè) 4=押+1,設(shè) M(坷$卜 N(形宀 L聯(lián)立方程J =4X，消去心得於一 4 即一 4=0.x = my+ 1yMF=AFN?則(1 一西”)= 2(花L 旳)，即 yY= -y22 2 2

12、2二my11j亠jmy212 my-imy22 2 % y2= (m21)(yi2y22)4m % y?82242=(m 1)(16m 8)4m 4m 8 =16m 40m 16,1當(dāng)16m440m216 = 40，解得m2，故，=2二.3. .25.5.設(shè)圓F以拋物線P:y2=4x的焦點(diǎn)F為圓心，且與拋物線P有且只有一個(gè)公共點(diǎn). .(1) 求圓F的方程；(2) 過點(diǎn)M(-1,0)作圓F的兩條切線與拋物線P分別交于點(diǎn)A，B和C，D，求經(jīng)過A，B，C, ,D四點(diǎn)的圓E的方程. .【答案】(1 1)(x1(+y2=1；(2 2)(x7$+y2=48. .所以比+內(nèi)=4 加JiJi = -4，且嚴(yán)柵

13、+;Xj=用旳+1代入得-心=-4(1-A)J2=4 朋消去乃得 4 腫1易得B -1,0，則BM二為1y , BN二X21,y2,2=BM2+BN2=(% +1 $+比2+(x2+i, +2y2二xj X222花X22yj瑕則【解析】試題分折：( (D設(shè)出圓的方稈，根將題意求出半徑即可；住)設(shè)出切線方程，聯(lián)立抽慨坊程，求得圓心 坐標(biāo)與半徑即可求解.試題解析：(1)設(shè)圓F的方程為(x-l)1+ / = /1(r0),將y2=4x代入圓方程j得(x+l)1=r2, .x=-l-r(舍去人或x = -1 + r j又圓與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)-1+廠二0,即1,滿足題意， 故所求圓F的方

14、程為仗-l/ + /=h(2 2)設(shè)過點(diǎn)M (-1,0)與圓F相切的斜率為正的一條切線的切點(diǎn)為T,連接TF，則TF _ MT，且TF =1,MF =2. TMF=30；,則直線MT的方程為x m：3y -1，與y2=4x聯(lián)立，得y2-4、.3y 4 =0,記直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為Ag, y()，B(x2, y2)，則y1y2= 4. 3，y1y 4，Xix .3 y,y2-2=10，從而AB的垂直平分線的方程為y-2、3 = -.3 x-5，令y =0，得X =7，由圓與拋物線的對稱性，可知圓E的圓心為E (7,0)，圓E的方程為(x-7)2 y2=48. .考點(diǎn)：1.1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及

15、其性質(zhì)；2.2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】對于圓錐曲線的綜合問題，要注意將曲線的定義性質(zhì)化，找出定義賦予的條 件；要重視利用圖形的幾何性質(zhì)解題( (本書多處強(qiáng)調(diào)) )：要靈活運(yùn)用韋達(dá)定理、弦長公式、斜率公式、中點(diǎn)公式、判別式等解題，巧妙運(yùn)用“設(shè)而不求”、“整體代入”、“點(diǎn)差法”、“對稱轉(zhuǎn)換”等方法. .6.6.如圖，已知拋物線 C C :y2=4x,過焦點(diǎn)F斜率大于零的直線I交拋物線于A、B兩點(diǎn),且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D.AB70+1又點(diǎn)E到直線AB的距離=4,圓E的半徑R二(4 2)244 3,I22一為 一X2亠y1- y22y2- 4y1y2l，直線MA, 數(shù)列，若存在求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若

16、不存在，請說明理由【答案】(I)2x-y-2=0; (n)存在點(diǎn)M(1,2)或M(1,_2),MDMD , MBMB 的斜率始終成等差數(shù)列.MD,MB的斜率始終成等差使得對任意直線丨，直線 MAMA ,【解析】4a4a4m ma a21 1試題分析：(I)因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)，所以設(shè)直線與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為2XiX2=4m - 2，利用焦點(diǎn)弦長公式AB=Xi+x2+p = 5,P=2，解得直線方程;(n)設(shè)M(a2,2a),用坐標(biāo)表示直線MA,MD,MB的斜率，若成等差數(shù)列，那么試題解析：(I)焦點(diǎn)F(1,0)直線丨的斜率不為 0 0 ,所以設(shè)丨：x二my 1,x =my 1/口2A(Xi,yJ

17、,B(X2,y2)由2得討4my 4 =0,y=4xyi y2=4m,yiy2= -4,2X x2=m(y1- y2) 2=4m 2, x x1x x22 2y yiy y24 44 4| AB x1x22=4m24=5,21m m - -4 4直線丨的方程為2x -y -2 =0.直線l的斜率k2=4,(n)設(shè)M (a2, 2a). .-2a-2a _ _y-2a-2a _ _4 4kM_2 - 2- - y y2% % +2a+2aa a同理kMBy22a2kmMD2a十1直線 MAMA ,2kMD kMAMDMD ,MB恒成立,MBMB 的斜率始終成等差數(shù)列,2kMD =kMA kMB,

18、 ,代入(1 1 )的坐標(biāo)后，若恒成立，解得點(diǎn)M的坐標(biāo). .(n)顯然直線I的斜率存在，設(shè)其斜率為k，由于I過焦點(diǎn)F(0,1),1 1 1 1a aa a 亠- -_1 1丄1 1.m m_y y+ +y y2+羽222,a a+1+1y yi+2a+2ay y?+2a+2aa a+1+1y y2+2a(y+2a(y+y+y2)+4a)+4a1 1把y!y2=4m,yy=-4代入上式，得(a(a2_1)(m_1)(m ) )=0恒成立，.a=a= 1 1.m m存在點(diǎn)M (1,2)或M (1,2),使得對任意直線丨，直線 MAMA , MDMD , MBMB 的斜率始終成等差數(shù)列.考點(diǎn)：1.1

19、.拋物線的幾何性質(zhì)；2.2.直線與拋物線的位置關(guān)系. .【方法點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系問題，屬于難題，對于本題的第二問，考查的是恒成立的問題，若存在，說明與直線無關(guān)，即與直線的斜率無關(guān)，可求得定點(diǎn)M,M,解析幾何中有很多未知量，要通過設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件進(jìn)行消元，從而化簡，例如本題，通過設(shè)點(diǎn) 代B, M ,D的坐標(biāo)表示斜率，再通過直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，通過消元得到點(diǎn)M M 的坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系，組合通過恒成立解決7.7.已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m,4)到其焦點(diǎn)F的(I)求拋物線G的方程；n )如圖，過拋物線

20、焦點(diǎn)F的直線I與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與圓M :(x -1)2(y -4)2=4交于C、D兩點(diǎn)，若| AC |=| BD |，求三角形OAB的面積. .【答案】(I)x2=4y； (n)2,2. .【解析】試題分析 I )由拋物線定義可得彳“則拋物線 G 的方程為廠(II)設(shè)直線/的方程為儀+1, 聯(lián)立方程可得佃的中點(diǎn) NSM + l),由已知也一丄，即駕啟二 1 二一丄y= Ax+1k2ktc故|AB - );j + + 2 =可 +D+呂 +1) + 2 = 8 jAB .試題解析：(I )由題機(jī) 點(diǎn)尺叫 4到拋物線的準(zhǔn)線距離為舟所以準(zhǔn)線方程為尸 1 = 0,牛XJH-抽物線 G 的方程為

21、=4y所以直線l的方程為y二kx 1,取CD的中點(diǎn)N，連接MN，則MN _CD，由于| AC口BD |,所以N點(diǎn)也是線段AB的一1即(2k2刊)一41屮kMN,即k2k -1k整理得2k-k -1 =0，即(k -1)(2k22k 1) = 0,k =1T|AB| = y1y2 =(% 1) (x?1) 2=8原點(diǎn)到直線AB的距離為d二SOAB=2dAB|_d =2.2考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的 方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問 題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，

22、故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法 之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的 作用.8.8.已知拋物線T : X2=2 py( p 0),焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線T上，且P到F的距離比P到直線y = -2的距離小 1.1.(1) 求拋物線T的方程；(2)若點(diǎn)N為直線l : y = -5上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線T的切線NA與NB，切點(diǎn)分別為代B，求證：直線AB恒過某一定點(diǎn)【答案】(1 1)x2=4y(2 2)0,5【解析】試題分析：(1 1)根據(jù)拋物線定義可得直線y二-1為拋物線的準(zhǔn)線，即得 衛(wèi)=1,(2 2)2關(guān)鍵求出直線 ABAB 方程

23、，先設(shè)切點(diǎn) 代B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)設(shè)A(X1,yJ、xH x2Vi + y2B(X22)、N(xo,yo)，則X。=2,y。=2由宀4y2得x - 4kx - 4 = 0，所以x1x 4k,中占I八、：y = kx 1.X。=2k,y。=2k21，即N(2k,2k21)可得X1X2二-20. .最后聯(lián)立 ABAB 方程y二kx m與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得m = 5，即得直線AB恒過定點(diǎn)0,5. .的距離與P到直線y = _1的距離相等，由拋物線定義知，直線N N % % 二-4m-4m，即-4m-4m 二-20-20，所以 m m = = 5 5 . .故AB

24、的方程為y =kx 5, ,故直線AB恒過定點(diǎn)0,5. .9.9.如圖，已知拋物線E:2px( p 0)與圓O:x2 y2=8相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2. .過劣弧AB上動點(diǎn)PX0,y0作圓O的切線交拋物線E于C, D兩點(diǎn)，分別以C, D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1,l2，l1與l2相交于點(diǎn)M(1)(1) 求拋物線 E E 的方程；(2)(2) 求點(diǎn) M M 到直線CD距離的最大值. .【答案】(1 1)y2=2x； (n)當(dāng)且僅當(dāng)x =2時(shí),【解析】試題分析：(1)(1)XA=2且在圓上可得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋拋線方程可得p=1. .斜式可得切線方程，求兩切線方程交點(diǎn)可得點(diǎn)N坐標(biāo)，由于點(diǎn)

25、N在直線I : y = _5上，所以試題解析：(1 1)因?yàn)镻到Fy -1-1 為拋物線的準(zhǔn)線，所以牛1， 得P4所(2(2)設(shè)切點(diǎn)/ 2、/ 2、X2X1,X2,4丿4丿則切線NA、 NB的斜率分別為故切線NA、 NB的方程分別為” 1 ” 1k1= yL*二勺人，k2二y|x=x-x2,12x2X-X2,聯(lián)立以上兩個(gè)方程，得XI +x2x,2故N的坐標(biāo)為1yX1X2,4于 4x1x2. .因?yàn)辄c(diǎn)N在直線y =15上，所以4住_5，即x/2=-20. .設(shè)直線AB的方程為y = kx m，代入拋物線方程x2=4y，得x2-4kx -4m =0，所以dmax189“ 22”22代 B的坐標(biāo)分別

26、為1，由(1)知，八尹代入y2=2x得ky2_2y 2屮一ky；二o,由厶=o解得kyx M聯(lián)立y12yxy21 72X =解得2y1+y22y2(2)(2)設(shè)兩切點(diǎn)C 2L,y1,D竺，y2，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求兩切線和其交點(diǎn)為I2I2亠_ 2yo22% *y2 = _又由y =X得Xo從而M為X)x yoy=8y y16yiy2 =-XoXo也.再利用點(diǎn)到線的距離公式求Xo丿試題解析： (1) 由XA=2得yA =4，故2 pxA= 4, p = 1. .解即可. .拋物線E的方程為y2= 2x. .曰是,/ 2、*/ 2、y2,Dc，y22丿2丿2、yk2,切線h：y - y1 = kx l1方程為y二丄xyi同理12方程為1=Xy2易得CD方程為XoX yy =8，其中Xo，2 2yo滿足xoy0=8,2聯(lián)立方程yXoX + yy =8c比 +y2=X得xoy22yoy -16 =o，