平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示的教學(xué)案例

1、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示的教學(xué)案例一.案例要解決的教學(xué)困惑：在高中數(shù)學(xué)教材中，很多知識(shí)，如果學(xué)生記住結(jié)論，學(xué)生就能解決一系列的數(shù)學(xué)題目。對(duì)于這類知識(shí)的教學(xué)一直困擾我很久。到底是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生記住一個(gè)公式，一個(gè)結(jié)論，或是純粹地模仿技能，還是要讓學(xué)生通過不斷的思考、探究、實(shí)踐，摸索總結(jié)出公式和結(jié)論呢？新的普通數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”“教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。”本案例就是為了針對(duì)解決這樣的困惑而展開的教學(xué)思考。二,教材分析

2、：【教材中所處位置】：向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。中學(xué)數(shù)學(xué)教材新增向量的內(nèi)容目的之一是將幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算。而向量的坐標(biāo)運(yùn)算是實(shí)現(xiàn)上述目的的“基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”。（強(qiáng)調(diào)向量應(yīng)用意識(shí)）【課時(shí)安排】：2.3節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示主要四部分內(nèi)容1.平面向量的坐標(biāo)表示，2.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，3,平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，4,平面向量共線的坐標(biāo)表示?？紤]到學(xué)生的接受能力，本教學(xué)設(shè)計(jì)將內(nèi)容2,3安排為一個(gè)課時(shí)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1 .知識(shí)目標(biāo)： 使學(xué)生理解平面向量坐標(biāo)的概念，了解直角坐標(biāo)系中平面向量代數(shù)化的過程（幾何表示線性表

3、示一坐標(biāo)表示），會(huì)寫出直角坐標(biāo)系內(nèi)給定的向量坐標(biāo)，會(huì)作出已知坐標(biāo)表示的向量； 掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，能正確表述向量的加法、減法和實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能運(yùn)用它們進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，明確一個(gè)向量的坐標(biāo)等于此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。2 .能力目標(biāo)：通過體驗(yàn)直角坐標(biāo)系中平面向量的坐標(biāo)表示的實(shí)現(xiàn)過程，激發(fā)學(xué)生的探索精神，增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)的應(yīng)用意識(shí);通過具體問題的分析解決，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生從一般到特殊的歸納能力。3 .德育目標(biāo)：在數(shù)學(xué)中體會(huì)知識(shí)的形成過程，感受數(shù)與形的和諧統(tǒng)一?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算突破辦法：滲透從特殊到一般的化歸，數(shù)形結(jié)合的思想.

4、【教學(xué)難點(diǎn)】：對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示生成過程的理解突破辦法：設(shè)置鋪墊，蓄勢(shì)成渠，注意過程分析.雖然教材中涉及平面向量坐標(biāo)表示的筆墨不多,但其中值得體會(huì)理解的東西還是比較多，比較有“內(nèi)涵”。因?yàn)橹八鶎W(xué)的定義、概念、定理在這里得到了綜合應(yīng)用，共同作用得出了平面向量的坐標(biāo)表示。第一課時(shí)意圖體現(xiàn)知識(shí)的形成過程；第二課時(shí)向量坐標(biāo)運(yùn)算應(yīng)用以及向量平行的坐標(biāo)表示。3 .學(xué)情分析：對(duì)于學(xué)生來說，向量是個(gè)新內(nèi)容。前面學(xué)生已經(jīng)掌握了向量的物理背景和概念，向量的幾何表示，向量加減法及幾何意義。學(xué)生對(duì)這塊知識(shí)的學(xué)習(xí)是模棱兩可的，知識(shí)的掌握是浮在表面上的。因此，在本課的教學(xué)之中教師引導(dǎo)學(xué)生獲得對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是一個(gè)具有

5、挑戰(zhàn)性的教學(xué)活動(dòng).所以企圖在一節(jié)課中就實(shí)現(xiàn)學(xué)生聯(lián)系各個(gè)模塊知識(shí)靈活運(yùn)用是不現(xiàn)實(shí)的.只有在今后的學(xué)習(xí)中，不斷領(lǐng)悟、反思、運(yùn)用活動(dòng)逐步深刻理解并運(yùn)用它們.教學(xué)中，教師要采取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ⒁鈫l(fā)引導(dǎo)，不要以自己的想法代替學(xué)生的想法，不是簡(jiǎn)單地告訴他們?nèi)绾螌懗鱿蛄康淖鴺?biāo).要注意引導(dǎo)學(xué)生積極參與知識(shí)形成的關(guān)節(jié)點(diǎn)處的討論、交流等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)知識(shí)獲得過程中的思想方法.不要簡(jiǎn)化知識(shí)發(fā)生過程的教學(xué)，而把中心放在練習(xí)強(qiáng)化上.要防止練習(xí)中知識(shí)的面太大而產(chǎn)生負(fù)遷移而影響理解知識(shí)的本質(zhì).4 .教學(xué)問題診斷分析1 .通過以往該課的教學(xué)，大多學(xué)生只是麻木地記住向量的坐標(biāo)是怎樣表示，根本不去理解其發(fā)生過程。記住結(jié)果，學(xué)

6、生雖然可以利用它求一系列題目，但這樣不利于學(xué)生思維深度性和活躍性的訓(xùn)練。2,向量的坐標(biāo)表示的形成過程比較枯燥，為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和興趣，教師需要有一個(gè)比較有新意的引入。3該課時(shí)在新舊教材中差異并不大，但如何體現(xiàn)新課程的“新”呢？我認(rèn)為應(yīng)該從課型上進(jìn)行改變，討論、合作探究的學(xué)習(xí)方式能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，課堂上，在教師引導(dǎo)下教師與學(xué)生；學(xué)生與學(xué)生相互討論合作探究，使教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間面對(duì)面在一起學(xué)習(xí)，增進(jìn)彼此親近感，消除了學(xué)生的焦慮心理，學(xué)生的主動(dòng)性受到了激發(fā)，使全班學(xué)生都能獲得成就感。另外，教師只起引導(dǎo)作用，把絕大部分講話時(shí)間讓給學(xué)生，討論中有了更多的學(xué)生在講話，因此，在這種探究性

7、學(xué)習(xí)中，學(xué)生說的機(jī)會(huì)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的幾倍甚至十幾倍。整個(gè)課堂氣氛很輕松、熱烈，突出了學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。五教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式談話法教具：多媒體課件授課類型：新授課六.教學(xué)過程：（i）課題引入（采用多媒體）設(shè)計(jì)意圖：禾u用向量化的方塊字引入,自我介紹，從姓氏“陳”字引出向量話題課件展示“向量化”的方塊字：筆畫順序-一方向線段長度一大小提問：是否存在相等的向量？存在，有哪些？學(xué)生：長度相等且方向相同的向量即為相等的向量教師：強(qiáng)調(diào)自由向量僅由大小和方向確定，與起點(diǎn)位置無關(guān).引入直角坐標(biāo)系-x軸、y軸、原點(diǎn)、單位長度平面內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)（即它的坐標(biāo)）來表示，那么平面直角坐標(biāo)

8、系內(nèi)的每一個(gè)向量是否也可以用一對(duì)實(shí)數(shù)來表示？如果可以，會(huì)是如何？板書課題：平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算比較生活化有新意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)情感，為新課的自然引入提供契機(jī).另外，教師要抓住每一次在新課中復(fù)習(xí)舊知的機(jī)會(huì)。(ii)新課講解與X軸方向平行的向量可以用實(shí)數(shù)與i的積表示與y軸方向平行的向量可以用實(shí)數(shù)與j的積表示提問：對(duì)于既不與x軸方向平行也不與y軸方向平行的向I.平面向量的坐標(biāo)表不與x軸正方向相同的單位向量i與y軸正方向相同的單位向量j教師讓學(xué)生把書本翻到95頁并講解正交分解，并通過舉例物理中的重力沿互相垂直的兩個(gè)方向分解，讓學(xué)生明白：如果取互相垂直的向量作為基底，會(huì)為我們研究問題帶來方

9、便。CD二BE二3i,FH二J二i,LK.i,FG=-4j.AB二？，PQ二故可-單位量，如：AB,PQ還能用i、j表示嗎？怎么表示？學(xué)生：思考，并講出自己的想法。教師總結(jié)：不能“單獨(dú)”表示，嘗試“合作”表示，由此可鏈接哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)(涉及一個(gè)向量用另兩個(gè)向量線性表示)？學(xué)生：平面向量的基底表示單位向量i、j是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量作為基底，而且還具右不同于股基底的特殊性向量|i|=|j|=1;(ii).互相垂直i±j由平面向量基本定理得1016AB=ON=-2i-2j實(shí)數(shù)對(duì)乙，%2是唯的。-4-6設(shè)計(jì)意圖：循序漸進(jìn)地向?qū)W生拋出一個(gè)接一個(gè)的問題,在不知不覺中學(xué)生理解了向量坐標(biāo)表示的形

10、成過程。分解了本課的難點(diǎn)。平而向量的坐標(biāo)表示問：在這直角坐標(biāo)系中，你能否找到分別表示這些向量的相應(yīng)實(shí)數(shù)對(duì)？AB二-2i-2j,MN=-i-j,PQ=i-j,(-2“-2)(,-1)。，-1)BE=3iOj,LK=-iOj,FG=Oi-4j(3,0)(-1,0)(0,-4)因此，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一個(gè)向量都可以按上述方法找到唯一的實(shí)數(shù)對(duì)與之對(duì)應(yīng)試讓學(xué)生說說是怎樣的方法自習(xí)(教材P95頁)向量坐標(biāo)表示的定義特殊向量的坐標(biāo)表示：i二(1,0),j二(0,1),0=(0,0)設(shè)計(jì)意圖：全面鋪墊后學(xué)生自習(xí)定義，形象思維幫助抽象理解，但淡化了平面向量基本定理的應(yīng)用。通過自己學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)表示的定義，訓(xùn)練學(xué)

11、生自學(xué)能力，以及學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。IL相關(guān)練習(xí)例1.(1)寫出向量BC的坐標(biāo)，并與0A的坐標(biāo)進(jìn)行比較;(2)寫出向量OC,OB的坐標(biāo)學(xué)生：積極思考，獨(dú)立完成之后請(qǐng)一同學(xué)說出解題過程教師板演：解：61)由圖知BC=0ABC=2i3j,OA=2i3jBC=0A二(2,3)(2)OC=5j,OB=3i-2jOC=(5,1),OB=(3,-2)教師提問：(1)比較BC與OA的坐標(biāo)，你能得出什么結(jié)論？學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納的過程后得到：相等的向量的坐標(biāo)相同(2)比較向量OA,OC,OB的坐標(biāo)與點(diǎn)a,b,c的坐標(biāo)，你又能得到什么結(jié)論？“必然”還是“偶然”？“偶然”之中的“必然”又是什么？學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納的過程后

12、得到：以原點(diǎn)o為起點(diǎn)的向量OA的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同設(shè)計(jì)意圖：該題一方面檢查學(xué)生是否能夠?qū)懗鱿蛄康淖鴺?biāo)，另一方面，通過該題得到上述兩個(gè)重要的結(jié)論。許多結(jié)論不應(yīng)該讓學(xué)生死記硬背，而應(yīng)該通過具體的實(shí)例，從中觀察歸納得學(xué)生觀察后，思考，并得出a-b*iyij)(xziyj)=(為-x?)(%-y2)ja“鞏幻yij)(Xziy?j)=(xrX2)i(yry2)jab=(XiX2,%y2),a-b=(Xi-X271-y?)并請(qǐng)學(xué)生總結(jié)向量坐標(biāo)的加減運(yùn)算方法：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差教師給出：己知八(Xi,yi)以及實(shí)數(shù)，求，a學(xué)生通過類比得到a=(xiyjAxA;yj=(

13、x,y)并總結(jié)得出：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)設(shè)計(jì)意圖：滲透特殊到一般，猜想到證明的數(shù)學(xué)思想；教師要注意板書推導(dǎo)過程，減法以及實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算可讓學(xué)生自己證明BC=0C-OB(2,3)=(5,1)-(3,-1)向量OC,0B的坐標(biāo)與點(diǎn)B.C的坐標(biāo)相同B(x2,y2).！>教師給山：q知A(X,y)B(x2,丫2),根據(jù)平向'向量坐標(biāo)加減法運(yùn)算求AB的坐標(biāo)學(xué)生類比特殊得到一般結(jié)果：AB=0BOA=(Xa,y2)(Xi,yj=(X2Xi,y2-yj設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生鞏固向量坐標(biāo)的運(yùn)算，并讓學(xué)生體會(huì)通過坐標(biāo)表一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該

14、向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)示向量的幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)為小學(xué)的算術(shù)(iii)課堂小結(jié)：回顧反思所學(xué)內(nèi)容，你有那些體會(huì)和收獲？課內(nèi)師生可以在課內(nèi)共同回顧與反思本節(jié)課的收獲，課外也可以以數(shù)學(xué)小作文的形式或利用校園網(wǎng)絡(luò)上的論壇，BBS，博客等讓學(xué)生就自己認(rèn)識(shí)最深刻的某一個(gè)點(diǎn)或某一個(gè)具體問題談?wù)勛约旱男牡皿w會(huì)，或者提出自己的問題.設(shè)計(jì)意圖：提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要.通過師生的共同回顧反思，加強(qiáng)師生交流，拓展師生互動(dòng)的空間，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，使學(xué)生有所思，有所悟培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)探究能力，概括總結(jié)能力.(iv)作業(yè)布置作業(yè)本232八.知識(shí)結(jié)構(gòu)向量化的方塊字“陳”引入向量的坐標(biāo)表示的形成過程探究彳簡(jiǎn)

15、單的向量坐標(biāo)加減運(yùn)算九.【課后反思】通過這節(jié)課的實(shí)驗(yàn)，使自己對(duì)數(shù)學(xué)教育的認(rèn)識(shí)上有了提高，課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生應(yīng)“通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”，這實(shí)際上對(duì)我們教師提出了更高的要求：”教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，組織者和合作者”，因此，上課不止是教會(huì)學(xué)生如何使用結(jié)論，更重要是教會(huì)學(xué)生如何獲得結(jié)論。本課是我對(duì)這一要求的一種探索與嘗試?，F(xiàn)總結(jié)為以下三個(gè)方面。1、扮演好“引導(dǎo)者”的角色為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，我以自己姓氏引入，極大調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，為整節(jié)課的課堂效果作了一個(gè)很好的鋪墊。這個(gè)環(huán)節(jié)讓我感受到：對(duì)于一些“繁、難、偏、舊”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，單純的機(jī)

16、械式接受學(xué)習(xí)既無法體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的背景與應(yīng)用，也無法引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。相反，對(duì)于這些內(nèi)容，如果我們可以多思考一下，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，同時(shí)獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生感覺到自己是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。2、扮演好“組織者”的角色在教學(xué)過程中，光作好一個(gè)“引導(dǎo)者”的角色是不夠的。無論過去還是現(xiàn)在，我們所面對(duì)的學(xué)生層次總有不同，知識(shí)背景，實(shí)際能力存在差異，組織好教學(xué)內(nèi)容及學(xué)習(xí)過程，因材施教永遠(yuǎn)是我們教師需要考慮的問題。同時(shí)在現(xiàn)代技術(shù)的背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)中也出現(xiàn)了越來越多的新技術(shù)手段，這些都是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)手段的有益補(bǔ)充，如何用好這些手段，同樣需要我們教師用心將其整合到教學(xué)過程中去，以期讓所有學(xué)生都能從中或多或少的有所收獲，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)