清華微積分(高等數(shù)學)課件第十一講泰勒公式

1、2022-2-21P112習題習題4.3 13(3). 20(3).P121習題習題4.4 3(2)(5). 4. 5(2). P122綜合題綜合題 10. 12. 15(2). 17. 作業(yè)作業(yè):復習復習: P113121預習預習: P1241332022-2-22第十三講第十三講 泰勒公式泰勒公式二、帶皮亞諾余項的泰勒公式二、帶皮亞諾余項的泰勒公式三、帶拉格朗日余項的泰勒公式三、帶拉格朗日余項的泰勒公式四、五個常用函數(shù)的四、五個常用函數(shù)的泰勒泰勒公式公式一、函數(shù)逼近、泰勒多項式一、函數(shù)逼近、泰勒多項式五、五、泰勒泰勒公式的應用公式的應用2022-2-23 （二）函數(shù)近似（二）函數(shù)近似 用用

2、多項式多項式逼近函數(shù)逼近函數(shù). 逼近有兩種看法：逼近有兩種看法： （1）在一點附近近似這個函數(shù)好；）在一點附近近似這個函數(shù)好； 泰勒公式泰勒公式 （2）在區(qū)間上整體逼近得好。）在區(qū)間上整體逼近得好。 傅立葉級數(shù)、正交多項式傅立葉級數(shù)、正交多項式)()()(00 xxfxfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （一）（一） 比較比較一、函數(shù)逼近、泰勒多項式一、函數(shù)逼近、泰勒多項式2022-2-24)()()()(,000000 xxoxxxfxfxfxxxf 有有時時則則當當可可微微在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)的一次多項式的一次多項式右端是右端是)(0 xx )(,00 xxxx

3、誤誤差差是是時時當當在討論函數(shù)的微分時，已經(jīng)得出在討論函數(shù)的微分時，已經(jīng)得出:,10有有一一階階近近似似公公式式時時當當 xx)()()(000 xxxfxfxf 2022-2-25)()()(xRxPxfnn ).(,)(00 xfxxx的的附附近近可可以以近近似似表表示示使使它它在在的的高高次次多多項項式式希希望望找找一一個個關(guān)關(guān)于于 )()(xPxfn 如何提高近似公式的精度如何提高近似公式的精度 ？)(:xRn誤誤差差nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 （1）怎樣確定系數(shù)？）怎樣確定系數(shù)？ （2）怎樣確定誤差？）怎樣確定誤差？2022-2-26要要求求：)()

4、(00 xfxPn )()(00 xfxPn .)()(0)(0)(xfxPnnn xy0 xo)(xfy )(0 xf )()(00 xfxPn 2022-2-27nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 10021)()(2)( nnnxxnaxxaaxP20032)() 1()(232)( nnnxxannxxaaxPnnnannnxP12)2)(1()()( .代入上述條件得到代入上述條件得到),(00 xfa ),(01xfa ),(202xfa .)(!0)(xfannn 2022-2-28nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()(

5、)(00)(200000 即即),(00 xfa ),(01xfa ,! 2)(02xfa .!)(,0)(nxfann 于是于是階階泰泰勒勒多多項項式式點點的的在在nxxf0)(2022-2-29有有時時當當則則階階導導數(shù)數(shù)有有在在點點若若函函數(shù)數(shù),00 xxnxf)()(!)()(! 2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()()(,00 xxxRxxnn 其其中中)(皮皮亞亞諾諾余余項項二、帶皮亞諾余項的泰勒公式二、帶皮亞諾余項的泰勒公式定理定理1:1:2022-2-210有有時時當當,00 x階階麥麥克克勞勞林林公公式式n)0()(!

6、)0(!2)0()0()0()()(2 xxxnfxfxffxfnnn2022-2-211證證)(!)()(! 2)()()()()(00)(200000nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxR nnxxxxxR)()(lim00 10)()(lim0 nnxxxxnxR20)(1()(lim0 nnxxxxnnxR)( !)(lim0)1(0 xxnxRnnxx )()()()(lim!10)(00)1()1(0 xfxxxfxfnnnnxx 應用應用羅必達法則羅必達法則0 只須證明只須證明能否再用能否再用羅比達法則？羅比達法則？應用導數(shù)定義應用導數(shù)定義不能再用不能再用羅必達法則羅必達法

7、則 ！0)()(!10)(0)( xfxfnnn2022-2-21210)1(00)(200000)(! )1()()(!)()(!2)()()()( nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR )(0之之間間與與在在xx 拉拉格格朗朗日日余余項項有有則則導導數(shù)數(shù)階階的的各各階階到到內(nèi)內(nèi)有有開開區(qū)區(qū)間間在在內(nèi)內(nèi)的的在在某某個個包包含含點點若若函函數(shù)數(shù)),(,)1(1),(0baxnbaxf 三、帶拉格朗日余項的泰勒公式三、帶拉格朗日余項的泰勒公式定理定理2:2:2022-2-213! )1()()()()1(10 nfxxxRnnn

8、)(!)()(!2)()()()()(00)(200000nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxR 證明思路分析證明思路分析帶拉格朗日余項的泰勒公式變形為帶拉格朗日余項的泰勒公式變形為)(:)1( nnR右右端端分分子子為為 xnnxx)1(10)(:右右端端分分母母為為應用應用柯西中值定理柯西中值定理2022-2-214證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù))(!)()(!2)()()()()()(00)(200000nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxRxF 10)()( nxxxG,0)(0)(00 xGxF,0)(0)(00 xGxF 0)(0)(0)(0)(xGxFnn2022-2-21

9、5連續(xù)使用（連續(xù)使用（n+1）次柯西中值定理）次柯西中值定理)()()()()()()()()()(110010 GFxGxGxFxFxGxFxxxRnn )()()()()()()()()()(0202220101xGGxFFGFxGGxFF )()()()()()(0)()(0)()()()(xGGxFFGFnnnnnnnnnn ! )1()()()()1()1()1( nfGFnnn 證畢證畢2022-2-2161000)1()()!1()()( nnnxxnxxxfxR )10( 注意注意1 拉格朗日余項的其他形式拉格朗日余項的其他形式注意注意2 拉格朗日中值定理可以看成是拉格朗日中值

10、定理可以看成是 0 階階 拉格朗日余項泰勒公式。拉格朗日余項泰勒公式。注意注意3 兩種形式余項的泰勒公式，各自成立兩種形式余項的泰勒公式，各自成立 的條件不同。應用范圍不同。的條件不同。應用范圍不同。)()()()(00 xxfxfxf )(0之之間間與與在在xx 2022-2-217)0()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2之之間間與與在在xxnfxnfxfxffxfnnnn 注意注意4 .)(,00冪冪展展開開的的就就用用點點的的泰泰勒勒公公式式xxx 00 x)10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxff

11、xf或者或者麥克勞林公式麥克勞林公式2022-2-218四、五個常用函數(shù)的麥克勞林公式四、五個常用函數(shù)的麥克勞林公式 0)()1(0 xexfx12)!1(!1!211 nnxxnexnxxe xnxnxexfexfexf )(,)(,)()1()(1)0(, 1)0(, 1)0()( nfff efn )()1( xx,0之之間間與與在在 )0(0的的泰泰勒勒公公式式 x2022-2-2190sin)()2(0 xxxf,),2sin(cos)(,sin)( xxxfxxf1)0(, 0)0(, 1)0(, 0)0( ffff 12,)1(2, 02sin)0(1)(knknnfkn ),2

12、sin()()( nxxfn2) 1(sin)()1( nxxfn2) 1(sin)()1( nnfn ), 2, 1( k2022-2-220)(! ) 12() 1(!5!3sin1212153xRkxxxxxkkk )sin(! )2()(212 kkxxRkk xx 之之間間與與在在0 0cos)()3(0 xxxf)(! )2() 1(!4!21cos2242xRkxxxxkkk )212cos(! ) 12()(122 kkxxRkk xx 之之間間與與在在0 2022-2-2210)1ln()()4(0 xxxf,11)(xxf ,)1(1)(2xxf ,)1(2)1()(32x

13、xf nnnxnxf)1(! )1()1()(1)( 1)1()1(!)1()( nnnxnxf!2)0(, 1)0(, 1)0(, 0)0( ffff! )1()1()0(1)( nfnn1)1()1(!)1()( nnnnf 2022-2-222)() 1(32)1ln(132xRnxxxxxnnn 11)1)(1()1()( nnnnnxxR xx10之之間間與與在在 0)1()()5(0 xxxf )(!) 1() 1(!2) 1(1)1 (2xRxnnxxxnn xx1,0之之間間與與在在 272022-2-223 五個常用函數(shù)的麥克勞林公式五個常用函數(shù)的麥克勞林公式12)!1(!1

14、!211 nnxxnexnxxe 12212153! ) 12() 12(sin! ) 12() 1(!5!3sin kkkxkkkxxxxx )(!1!2112nnxxoxnxxe )(! ) 12() 1(!5!3sin212153kkkxokxxxxx 2022-2-22422242! )22() 1(sin! )2() 1(!4!21cos kkkxkkkxxxx )(! )2() 1(!4!21cos12242 kkkxokxxxxnxxxxxnn 132) 1(32)1ln( 11)1)(1()1( nnnnx )() 1(32)1ln(132nnnxonxxxxx 2022-2-

15、225112)1 (! ) 1()() 1(!) 1() 1(!2) 1(1)1 ( nnnxnnxnnxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx 2022-2-226)()1(11132nnnxoxxxxx 1 )(! ! )2(! ! )32()1(211121nnkkkxoxkkxx 21 )(! ! )2(! ! )12()1(211112nnkkkxoxkkxx 21 2022-2-227.1ln)(103余余項項的的四四階階泰泰勒勒公公式式處處帶帶在在寫寫出出函函數(shù)數(shù)例例Lagrangexxxxf 0)1(,ln)(3 fxxxf1) 1 (,ln3)(22

16、 fxxxxf5)1(,5ln6)( fxxxxf11)1(,11ln6)( fxxf6)1(,6)()4()4( fxxf解解2022-2-2282)5(2)5(6)(,6)( fxxf于于是是524323)1(!56)1(!46)1(!311)1(!25)1(ln xxxxxxx )1,(之之間間與與在在其其中中x 2022-2-229 000ln)(3xxxxxf若若二階二階四階四階0)2(1)1(00 xx11)1(0例例同同 x0)2(0 x0)0( f0lnlimlnlim)0(2030 xxxxxfxx)0(ln3)(22 xxxxxf0ln3limln3lim)0(0220 xxxxxxxfxx2022-2-230)0(ln65)( xxxxxf33)(!31000ln)(xfxxxxxf )0(ln611)( xxxf33!3ln611000ln)(