彈性力學 第2章邊界條件(6,7)

1、對于上述所談及的兩種平面問題：平衡方程（22） 2個幾何方程（28） 3個物理方程（212）3個注:雖然八個方程可解八個未知函數(shù),但由于求解時會產(chǎn)生待定函數(shù)(常數(shù));所以要想得出具體的解答還必需利用邊界條件來確定待定函數(shù)。邊界條件有三類：位移、應(yīng)力、混合邊界條件共計八個未知函數(shù)、含vuxyyxxyyx26.邊界條件八個方程 在位移邊界問題中，物體在全部邊界上的位移分量是已知的，即：式中： 是位移的邊界值； 邊界上坐標的已知函數(shù)或邊界上已知的位移分量。二、應(yīng)力邊界條件邊界上面力分量為已知。建立邊界上微元體的應(yīng)力分量與面力分量的關(guān)系（）vvuuss ,vuss、vu、一.位移邊界條件二、應(yīng)力邊界條

2、件在邊界上的楔形體（單位厚度）如圖所示：yxxyxynXnYxfyf彈性體內(nèi)單元體斜面上的應(yīng)力分量與坐標面應(yīng)力的關(guān)系有(靜力平衡)mlppyyxxyxyx單元體斜面恰為邊界面則面力分量與坐標面應(yīng)力的關(guān)系有應(yīng)力邊界條件yxsyyxxyxffml注意：以上在推導時，斜面上的應(yīng)力px,py采用矢量符號規(guī)定與面力相同。特例-邊界面與坐標軸平行時 o x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 yysxyxsxfmfl)(0)(1(1).左右兩面(2).上下兩面xsyxysyfmfl)(1)(0應(yīng)力邊界條件的寫法是：左端為邊界上微元體的應(yīng)力分量；右

3、端為面力分量。可以各自采用各自的符號規(guī)定。但需要用邊界的方向余弦yxsyyxxyxffml0)( ,)(:0)( ,)(:0)( ,)(:0)( ,)(:syxsysyxsysxysxsxysxqqqq下上左右舉舉例例： 邊界面于坐標軸平行時的簡單寫法:每個邊界條件只含有一個應(yīng)力分量(l=0 or m=0)邊界上的面力按應(yīng)力分量的符號規(guī)定，不考慮l,m圖中的面力采用矢量符號規(guī)則1; 0mlysxyxsxfmfl)(0)(1(1).左右(2).上下X1mY0lsyxsy)()(三、混合邊界條件三、混合邊界條件 1、在一部分邊界上的位移分量為已知，另一部分邊界上應(yīng)力分量已知。 2、在同一邊界上，已

4、知一個位移分量和一個應(yīng)力分量。例1：小錐度桿承受軸向拉力。利用邊界條件證明，橫截面上，除正應(yīng)力 外，還有剪應(yīng)力 。并確定邊界上 、 與 的關(guān)系。(假設(shè)任何界面上y方向的正應(yīng)力均勻分布) xyyxyyx)( yAPy解：sin,coscos,cosynmxnl由ysysxyxsxysxfmfm0sincos0sincossysxysyxsx 22tgyAptgysx tgyAptgysxyPyoynyfxfxyyxyx 例例 寫出應(yīng)力邊界條件。寫出應(yīng)力邊界條件。設(shè)設(shè)液體比重液體比重為為 解：1）右邊界（x=0）000 xxyxxy2）左邊界（x=ytg）sin)2cos(,coscos,cosy

5、nmxn0,0yxffynOxy yOxyy yn由：ysysxyxsxysxfmfm0sincos0sincossysxysxysxsincosmlyxsyyxxyxffml唯一性定理 表述表述1 1：在沒有初始應(yīng)力的情況下，如果邊界條件足以確定全部剛體位移，則彈性力學邊值問題的解答是唯一的。 表述表述2 2：在沒有初始應(yīng)力的情況下，彈性力學邊值問題的解在相差一組剛體位移的意義下是唯一的。 證明概要證明概要：只要證明在體力和面力都為零的情況下，邊值問題只可能有零解(應(yīng)力、應(yīng)變和位移全為零)。后者則需要用到應(yīng)變能的概念。 據(jù)此，任何一組應(yīng)力應(yīng)變和位移，如果它們確能滿滿足方程和邊界條件，就肯定是

6、該問題的解。疊加原理 疊加原理：兩組外力同時作用在物體上所產(chǎn)生的結(jié)果等于他們分別作用產(chǎn)生的結(jié)果之和。 證明概要：只需注意方程都是線性的，同時邊界條件也是線性的即可。 推廣：以上兩組外力可以推廣到n組外力。 分解原理：根據(jù)疊加原理，可以把原問題分解成幾個簡單的問題單獨求解。2-7.2-7.圣維南原理圣維南原理( (局部性原理局部性原理) )一一. .圣維南原理的敘述圣維南原理的敘述描述描述1 1、如果把物體的一小部分邊界上的面力以等效力系（主矢及主矩均為相同）代換，則在加載附近的的應(yīng)力發(fā)生顯著變化，而在稍遠處的影響可忽略不計，亦即與載荷在邊界上的作用形式無關(guān)。描述描述2 2、如果物體在一小部分邊

7、界上的面力是一個平衡力系（主矢及主矩均為零），則面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，遠處的應(yīng)力可忽略不計。二. 圣維南原理的應(yīng)用條件1、必須用等效力系代替。2、載荷區(qū)域必須比物體的最小尺寸為小（小邊界上)（1）以(b)代(a)應(yīng)力邊界條件可以近似滿足。 （2）以(b)代(c)應(yīng)力邊界條件可以近似滿足,但 位移邊界條件不能完全滿足。 舉例舉例圣維南原理的應(yīng)用 所得到的應(yīng)力分量必須在所有邊界上各點處嚴格滿足應(yīng)力邊界條件，才是所論問題的解答。 在小邊界上，如果不能嚴格滿足邊界條件，可以用圣維南原理在靜力等效意義上滿足(積分意義上的)邊界條件。 根據(jù)這個原理：兩組面力其分布盡管不同，但如果兩者的合力與合力

8、矩相同(靜力等效)，此時它們所產(chǎn)生的作用結(jié)果僅僅在局部有比較大的差異，遠離這個局部，結(jié)果基本相同。靜力等效邊界條件：靜力等效邊界條件： 對于嚴格要求的條件在局部放松對于嚴格要求的條件在局部放松yL2h2hxM線性分布的邊界力所形線性分布的邊界力所形成的力偶等于成的力偶等于M M由材力彎曲公式由材力彎曲公式：zyIyM嚴格面力嚴格面力0yzyxfIyMf2h2hxyLy嚴格邊界條件嚴格邊界條件0LxxyzyLxxIyM只有在右端彎矩是由線性分布的外力引起時，材料力學的公式才在右端附近嚴格成立。邊界的積分式邊界的積分式自由端邊界條件：自由端邊界條件：2h2hxyLPPdyydydyhhlxxyhh

9、lxxhhlxx22222200 00222222dyMydydyhhlxxyhhlxxhhlxxAxd設(shè)中性軸為zyz1懸臂梁的例子：則邊界條件可以寫成(P.23 (b)：根據(jù)圣維南原理，把給出的面力化成合力和合力矩MydyfFdyfFdyfhhxyhhyxhhx222222, MydyFdyFdyhhlxxyhhlxxyxhhlxx222222,2h2hxyLP用積分表達的邊界條件對邊界條件的積分為： (P.23 (b)：根據(jù)圣維南原理，同時還要考慮等效力矩：ydyfydyhhxhhlxx2222dyfdyfdyfdyfhhyhhlxyylxyhhxhhlxxxlxx222222222h2

10、hxyLP2h2hxyLy懸臂梁的例子：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題一一. 平面問題基本未知量平面問題基本未知量yxyxyxxyyx,),(,1、應(yīng)力分量（3個）zxyyxyxyxyx,獨立的（3個）2、應(yīng)變分量zxyyxyxyxyx,獨立的（3個）yxyxyxxyyx,（3個）3、位移分量 wyxvyxu,獨立的（2個） yxvyxu,（2個） f平面問題小結(jié)平面問題小結(jié)平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題二二. 平面問題基本方程平面問題基本方程1、平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyx（2-2）同左（2個）2、幾何方程（3個）)82(yuxvyvxuxyyx同左3、物理方程（3個）122(1)(1)(1xyxyxyyyxxGEE)13()1 ( 2)1(1)1(122xyxyxyyyxxEEE）（aEEExyxyxyyyxx122)1 (2)(1)(122用下式代換：1,12EE、在邊界上取楔形研究（單位厚度）如圖所示：dsmlffmldsmdslXdsmdsldsXFxxyxxyxxx2:21111:0化簡得由為應(yīng)力的邊界值、syxsxysxysyxsy