高等數(shù)學(xué)--極值與最值ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題 三、條件極值三、條件極值 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有xyzOxyzOxzyO(極小值).若函數(shù)

2、極大值極值,極值點(diǎn).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提示提示:例例1(D) 根據(jù)條件無法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x,y) 的極值點(diǎn).那么( )0 , 0(),(在點(diǎn)yxf的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 且.),()0 , 0()(的極值點(diǎn)不是點(diǎn)yxfA, 1)(),(lim22200yxyxyxfyx.),()0 , 0()(的極大值點(diǎn)是點(diǎn)yxfB.),()0 , 0()(的極小值點(diǎn)是點(diǎn)yxfC0lim,1)(),(00222yxyxyxyxf其中222222)()(),(yxyxyxyxf確定的正負(fù)由的鄰近，在yxyxf),()00(A(2019 考研)已知函數(shù)由題設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說

3、明說明:定理定理1 (必要條件必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證 據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy 例如,有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.yxz 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時(shí), 定理定理2 (充分條件充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令那么: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3)

4、當(dāng)證明見 第九節(jié)(P121) . 時(shí), 時(shí), 若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC且具有極值沒有極值.不能確定 , 需另行討論.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2 2 求函數(shù)解解 第一步第一步 求駐求駐點(diǎn)點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyx

5、fxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 討論函數(shù)討論函數(shù)及是否取得極值.解解在(0,0

6、)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因而 z(0,0) 不是極值.因而,022時(shí)當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxzOxyz顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, )(Pf為極小值)(Pf為最小值( (大大) )( (大大) )根據(jù)當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí),目錄 上頁

7、下頁 返回 結(jié)束 例例4 4 解解則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 有一寬為有一寬為 24cm 的長方形鐵板的長方形鐵板 , 把它折起來做成解解則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形

8、的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面設(shè)折起來的邊長為 x cm,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x目錄 上頁 下頁 返回

9、 結(jié)束 三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.分析：分析：則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極故極值點(diǎn)必滿足記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx設(shè), )(xy)(,(xxfz例如例如,值問題, 0ddddxyffxzyx,ddyx

10、xy因0yxyxffyyf故有如方法 1 所述,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0利用拉格極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為),(),(yxyxfF拉格朗日乘數(shù)法.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzz

11、zfF00求函數(shù)注意：要分清目標(biāo)函數(shù)、約束條件和拉格朗日函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6 要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyx00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長方體開口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz試問設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得唯一駐點(diǎn),2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.因而 , 當(dāng)高為,340Vxyz考慮考

12、慮:1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長、寬、高的尺寸如何?提示提示:30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià) 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .最省,利用對(duì)稱性可知,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法目錄

13、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步 判別第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn) . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示: 設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí)思考與練習(xí) 21031013yxkji)103, 0,0(21y

14、x)0, 0(14922yxyx那么 ACABS2110321yxCBAyxEDO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注 補(bǔ)充題補(bǔ)充題 1. 求半徑為求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解解,2zyxzyx它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為,sin2211xRS ,s

15、in2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設(shè)拉氏函數(shù))2(sinsinsinzyxzyxF解方程組0cosx, 得32zyx故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx那么 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為 x, y, z,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注因此前者不可能為圓內(nèi)接三角形中面積最大者. BCA1A假設(shè)ABC 位于半圓內(nèi)(如圖) , 則其BC 邊上的高小于A1BC 同邊上的高, 故前者的面積小于后者， 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c, 每臺(tái)電每臺(tái)電電視機(jī)的銷售價(jià)格為p, 銷售量為x, 假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài), 即生產(chǎn)量等于銷售量. 根據(jù)市場預(yù)測(cè), x 與p 滿 足關(guān)系:(0,0)eapxMMa其中M是最大市場需求量, a是價(jià)格系數(shù).又據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析, 預(yù)測(cè)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本滿足:) 1, 0(ln0 xkxkcc其中c0是生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本, k是規(guī)模系數(shù).問應(yīng)如何確定每臺(tái)電視機(jī)的售價(jià) p