抽樣調(diào)查3-1,2,3

1、從大小為從大小為N N的總體抽取樣本量為的總體抽取樣本量為n的樣本，的樣本，若全部可能的樣本被抽中的若全部可能的樣本被抽中的，則稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。則稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。1 1 簡單隨機(jī)抽樣及實(shí)施方法簡單隨機(jī)抽樣及實(shí)施方法 簡單隨機(jī)抽樣就是從裝有簡單隨機(jī)抽樣就是從裝有 N 張票子的盒子里張票子的盒子里隨機(jī)無放回隨機(jī)無放回地摸取地摸取 n 張票子，它可以有兩種摸取方法：張票子，它可以有兩種摸取方法：（1）從盒子中一次摸取）從盒子中一次摸取 n 張票。這樣摸取共有張票。這樣摸取共有 種可能種可能性性,每種可能的概率為每種可能的概率為 。抽到的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。抽到的樣本稱為簡單

2、隨機(jī)樣本。 nN nN1（2）從盒子中隨機(jī)摸?。暮凶又须S機(jī)摸取 1 張票，相應(yīng)該票的單元入樣后，張票，相應(yīng)該票的單元入樣后，票并不放回盒子，從余下的票中再隨機(jī)摸取票并不放回盒子，從余下的票中再隨機(jī)摸取 1 張票，相應(yīng)此張票，相應(yīng)此票的單元也入樣且票也不返回盒子；依此實(shí)施，直到第票的單元也入樣且票也不返回盒子；依此實(shí)施，直到第n個(gè)個(gè)樣本入樣。樣本入樣。 這兩種方法都使用了隨機(jī)的方法，而且樣本并不重復(fù)，這兩種方法都使用了隨機(jī)的方法，而且樣本并不重復(fù)，那么這兩種方法是否都算是簡單隨機(jī)抽樣呢？要檢驗(yàn)一下這那么這兩種方法是否都算是簡單隨機(jī)抽樣呢？要檢驗(yàn)一下這兩種方法中每一單元的入樣概率是否相等。只要驗(yàn)

3、證第二種兩種方法中每一單元的入樣概率是否相等。只要驗(yàn)證第二種方法中總體的每方法中總體的每 n n 個(gè)單元一組的樣本入樣的可能性等于第個(gè)單元一組的樣本入樣的可能性等于第一種方法中的一種方法中的 即可。即可。 nN1利用條件概率即可得到驗(yàn)證。利用條件概率即可得到驗(yàn)證。12,niiiY YY第第二二種種抽抽取取中中，不不妨妨假假設(shè)設(shè)先先后后入入樣樣，則則),(,21niiiYYYP121312121() (|) (|)(|)nniiiiiiiiiiP YP YYP YY YP YY YY 11111 nNNN!)!(NnN !,21nYYYniii有有得得到到這這組組的的樣樣本本的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)后后順順

4、序序無無關(guān)關(guān)，這這組組樣樣本本與與其其入入樣樣的的先先.11!/)!( !nNCnNNnNn ）入入樣樣的的概概率率為為樣樣本本（niiiYYY,21 也就是說，兩種操作方法是等價(jià)的。都是簡單隨機(jī)抽樣也就是說，兩種操作方法是等價(jià)的。都是簡單隨機(jī)抽樣但由于但由于N、n一般都很大，第二種操作方案較方便?，F(xiàn)在介紹一般都很大，第二種操作方案較方便?，F(xiàn)在介紹一下具體實(shí)施簡單隨機(jī)抽樣的做法：一下具體實(shí)施簡單隨機(jī)抽樣的做法： 首先將首先將N個(gè)總體元素編號為：個(gè)總體元素編號為：1，2，N，每一單元對應(yīng)，每一單元對應(yīng)一個(gè)號碼，若抽到某號，則相應(yīng)單元入樣。一個(gè)號碼，若抽到某號，則相應(yīng)單元入樣。（1）抽簽法：實(shí)際上

5、就是一個(gè)盒子模型，將編號為）抽簽法：實(shí)際上就是一個(gè)盒子模型，將編號為1N的的N個(gè)形狀與質(zhì)地完全相同的紙簽放在盒子里，用上述兩種方個(gè)形狀與質(zhì)地完全相同的紙簽放在盒子里，用上述兩種方法之一從盒子中摸出法之一從盒子中摸出 n 張簽。張簽。（2）隨機(jī)數(shù)法：設(shè)想）隨機(jī)數(shù)法：設(shè)想N相當(dāng)大，你會做那么多的簽放在盒子相當(dāng)大，你會做那么多的簽放在盒子里以供抽取嗎？隨機(jī)數(shù)法用來解決這個(gè)困難。利用隨機(jī)數(shù)表、里以供抽取嗎？隨機(jī)數(shù)法用來解決這個(gè)困難。利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)可以獲得隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)可以獲得隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)表：本書最后附有隨機(jī)數(shù)表，它應(yīng)當(dāng)被看成隨機(jī)數(shù)表：本書最后附有隨機(jī)數(shù)表，它應(yīng)當(dāng)被看成0

6、9數(shù)數(shù)字隨機(jī)地橫豎排列，我們可以隨機(jī)地從某行某列的數(shù)字開始字隨機(jī)地橫豎排列，我們可以隨機(jī)地從某行某列的數(shù)字開始如果需要一至二位數(shù)字，則從該數(shù)字開始從左向右接連地截如果需要一至二位數(shù)字，則從該數(shù)字開始從左向右接連地截取，該行不夠則換下一行開始；如果需要三位或三位以上數(shù)取，該行不夠則換下一行開始；如果需要三位或三位以上數(shù)字，則從開頭數(shù)字開始向右取三位或三位以上的數(shù)從該數(shù)縱字，則從開頭數(shù)字開始向右取三位或三位以上的數(shù)從該數(shù)縱向往下接連獲取其它隨機(jī)數(shù)，不夠可另換列執(zhí)行，直到取到向往下接連獲取其它隨機(jī)數(shù)，不夠可另換列執(zhí)行，直到取到我們所需要的個(gè)數(shù)我們所需要的個(gè)數(shù) n ，當(dāng)然這中間應(yīng)該去掉可能發(fā)生重復(fù)的當(dāng)

7、然這中間應(yīng)該去掉可能發(fā)生重復(fù)的數(shù)以及超出數(shù)以及超出N的數(shù)字。的數(shù)字。利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)：不少現(xiàn)成的統(tǒng)計(jì)軟件都可提供此利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)：不少現(xiàn)成的統(tǒng)計(jì)軟件都可提供此類服務(wù)。但必須指出，這樣產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)一般不能保證其隨類服務(wù)。但必須指出，這樣產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)一般不能保證其隨機(jī)性，稱為機(jī)性，稱為“偽隨機(jī)數(shù)偽隨機(jī)數(shù)”。因此，提倡前述方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。因此，提倡前述方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)骰子：隨機(jī)數(shù)骰子是由均質(zhì)材料制成的正二十面體隨機(jī)數(shù)骰子：隨機(jī)數(shù)骰子是由均質(zhì)材料制成的正二十面體面上標(biāo)有面上標(biāo)有09數(shù)字各兩個(gè)。通常用數(shù)字各兩個(gè)。通常用36個(gè)隨機(jī)骰子，視所需個(gè)隨機(jī)骰子，視所需要的隨機(jī)數(shù)的位數(shù)而定。骰子用不

8、同的顏色染成可事先規(guī)定要的隨機(jī)數(shù)的位數(shù)而定。骰子用不同的顏色染成可事先規(guī)定好哪種顏色的骰子產(chǎn)生個(gè)位數(shù)，哪種顏色的骰子產(chǎn)生十位數(shù)，好哪種顏色的骰子產(chǎn)生個(gè)位數(shù)，哪種顏色的骰子產(chǎn)生十位數(shù)，依次下去。將所需骰子在盒內(nèi)搖勻等穩(wěn)定后揭蓋讀取朝上面依次下去。將所需骰子在盒內(nèi)搖勻等穩(wěn)定后揭蓋讀取朝上面的數(shù)字，即獲取一組隨機(jī)數(shù)。所搖的骰子數(shù)的數(shù)字，即獲取一組隨機(jī)數(shù)。所搖的骰子數(shù) m通常取決于總通常取決于總體單元個(gè)數(shù)體單元個(gè)數(shù)N，滿足滿足 。記。記m個(gè)骰子按約定顏個(gè)骰子按約定顏色而確定的順序讀得隨機(jī)數(shù)色而確定的順序讀得隨機(jī)數(shù) ，若，若 ，則此，則此 即為一次即為一次合格的隨機(jī)數(shù)；否則予以放棄，重新?lián)u取，直到取到合

9、格的隨機(jī)數(shù)；否則予以放棄，重新?lián)u取，直到取到n個(gè)合格個(gè)合格的隨機(jī)數(shù)為止。的隨機(jī)數(shù)為止。mmN10101 0RNR 00R2 2 總體平均數(shù)與總和的估計(jì)總體平均數(shù)與總和的估計(jì) 設(shè)總體元素為設(shè)總體元素為 ， 為來為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，有時(shí)也記樣本為自該總體的簡單隨機(jī)樣本，有時(shí)也記樣本為 為為 中的某個(gè)組合。在后者的表示中中的某個(gè)組合。在后者的表示中隨機(jī)性體現(xiàn)在下標(biāo)隨機(jī)性體現(xiàn)在下標(biāo) 上。樣本上。樣本 是總體是總體 的一個(gè)有代表性的剖面。的一個(gè)有代表性的剖面。12,NY YY12(,)nyyy12(,)niiiYYY12(,)niii(1,2,)N(1,2,)jijn 12(,)ny yy12,

10、NY YY 總體平均數(shù)總體平均數(shù) 的估計(jì)的估計(jì)為：為：Y niiyny11總體總和的估計(jì)總體總和的估計(jì)自然為：自然為： niiynNyNY1 由于這兩個(gè)估計(jì)之間僅差一個(gè)常數(shù)因子由于這兩個(gè)估計(jì)之間僅差一個(gè)常數(shù)因子N，因而只要重點(diǎn)研，因而只要重點(diǎn)研究究 的估計(jì)量的估計(jì)量 的若干性質(zhì)即可。的若干性質(zhì)即可。 是樣本平均數(shù)，由于樣是樣本平均數(shù)，由于樣本的隨機(jī)性，樣本平均值也是隨機(jī)變量，本的隨機(jī)性，樣本平均值也是隨機(jī)變量， 理論上的平均值理論上的平均值Yyyy即數(shù)學(xué)期望為：即數(shù)學(xué)期望為： )(11)(21niiiYYYnnNyE其中其中 表示對表示對 中所有組合中所有組合 求和求和 ), 2 , 1(N)

11、,(21niii對于對于 中的每個(gè)元素，比如中的每個(gè)元素，比如 ，它與其它元，它與其它元素構(gòu)成樣本的可能次數(shù)顯然為素構(gòu)成樣本的可能次數(shù)顯然為 ，因此，因此 ，乃至，乃至 在在 中出現(xiàn)的次數(shù)均為中出現(xiàn)的次數(shù)均為 ，于是，于是),(21nYYY1Y1YiY 11nN 11nN NiiYnnNnNyE11111)( NiiYnNnNnnNnN11!)!( !)!()!1()!1(YYNNii 11即即 是是 的無偏估計(jì)。同樣的無偏估計(jì)。同樣 也是總體總量也是總體總量 的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)yYY Y例例3.1 某班第一小組某班第一小組10人的數(shù)學(xué)考試成績分別為：人的數(shù)學(xué)考試成績分別為： 100，95，

12、92，88，83，75，71，62，60，50平均分為平均分為77.6。先從中任選。先從中任選3個(gè)為一組樣本，其選法共有個(gè)為一組樣本，其選法共有120種種每種選法都有概率每種選法都有概率1/120。以。以4組樣本為例組樣本為例(100,95,92)，(100,83,50)，(88,83,62)，(62,60,50)它們的樣本平均數(shù)分別為它們的樣本平均數(shù)分別為95.67，77.67，77.67，57.33。 從抽樣調(diào)查的角度來看，我們希望抽到第二或第三組樣從抽樣調(diào)查的角度來看，我們希望抽到第二或第三組樣本，根據(jù)它們來估計(jì)總體平均數(shù)相當(dāng)準(zhǔn)確。而第一和第四組本，根據(jù)它們來估計(jì)總體平均數(shù)相當(dāng)準(zhǔn)確。而第

13、一和第四組樣本的估計(jì)相當(dāng)糟糕。但它們?nèi)霕优c第二第三組具有同樣的樣本的估計(jì)相當(dāng)糟糕。但它們?nèi)霕优c第二第三組具有同樣的可能性，這是否與可能性，這是否與 的無偏性相矛盾呢？的無偏性相矛盾呢？y 其實(shí)并不相矛盾。我們關(guān)心的是，盡管每一組樣本入樣其實(shí)并不相矛盾。我們關(guān)心的是，盡管每一組樣本入樣的概率相同，像第二第三組這樣的的概率相同，像第二第三組這樣的“良好良好”情況就大體而言是情況就大體而言是否會多于像第一第四那樣的否會多于像第一第四那樣的“糟糕糟糕”情況呢？如果肯定的話，情況呢？如果肯定的話，那么就能指望在一次隨機(jī)抽樣中發(fā)生的估計(jì)誤差較小。該問那么就能指望在一次隨機(jī)抽樣中發(fā)生的估計(jì)誤差較小。該問題的

14、解決將由下一節(jié)的討論給出。題的解決將由下一節(jié)的討論給出。3 3 估計(jì)量的方差及其估計(jì)量的方差及其估計(jì)估計(jì) 下面求下面求 的無偏估計(jì)的無偏估計(jì) 的方差的方差Yy)(yVar 2211)(YnYYYnNyVarniii其中其中 表示對表示對 中所有組合中所有組合 求和求和 ), 2 , 1(N),(21niii njnkjiiinYYYYnYYnNkjj1222)(2)(1 NiNjijiiYYYYNnnNYYnN12)(112)(1)(11)()111(11122 NiNiiiYYNnYYNnnN NiiYYNNnNn12)(111nNnN21 (3.6)對隨機(jī)對隨機(jī)抽樣，由于各次抽取是相互獨(dú)立

15、的，由概率論抽樣，由于各次抽取是相互獨(dú)立的，由概率論的知識可以求得，此時(shí)：的知識可以求得，此時(shí)：nyVar2)( nSN2)11( （或（或 ）(3.7)比較比較(3.6)式與式與(3.7)式，發(fā)現(xiàn)同樣用樣本平均數(shù)來估計(jì)總體平式，發(fā)現(xiàn)同樣用樣本平均數(shù)來估計(jì)總體平均數(shù)，它們都是無偏估計(jì)，但隨機(jī)無放回時(shí)的方差小于隨機(jī)均數(shù)，它們都是無偏估計(jì)，但隨機(jī)無放回時(shí)的方差小于隨機(jī)有放回時(shí)的方差。有放回時(shí)的方差。 的方差表示新盒子的離散程度，也就是的方差表示新盒子的離散程度，也就是表示了表示了 取值范圍的大小，方差小表明取值范圍的大小，方差小表明 取值遠(yuǎn)離中心取值遠(yuǎn)離中心 的的可能性較小，這樣隨機(jī)的一組樣本得到

16、可能性較小，這樣隨機(jī)的一組樣本得到 的實(shí)現(xiàn)值距的實(shí)現(xiàn)值距 很近很近的可能性就較大，這正是我們所期望的。因此，的可能性就較大，這正是我們所期望的。因此，。yyyYyY (3.6)式中的因子式中的因子(Nn)/(N1)，稱為隨機(jī)無放回的，稱為隨機(jī)無放回的，它是對隨機(jī)有放回情況的校正。，它是對隨機(jī)有放回情況的校正。如果如果 N 相當(dāng)?shù)拇?，則總體可視為無限總體，由相當(dāng)?shù)拇?，則總體可視為無限總體，由(3.7)式，式，nSn22 即為即為 的方差，這是無限總體情況樣本平均數(shù)的方差。的方差，這是無限總體情況樣本平均數(shù)的方差。y而有限總體的而有限總體的 的方差為：的方差為：ynSfnSNn22)1()1( 因

17、此因此稱稱 1f 為有限總體校正系數(shù)為有限總體校正系數(shù)，其中，其中f=n/N，稱為抽樣比，稱為抽樣比抽樣比就是樣本所占總體的比例。抽樣比就是樣本所占總體的比例。 f 越大，越接近越大，越接近 1，則樣，則樣本越接近總體，本越接近總體， 與與 的隨機(jī)誤差就越??；當(dāng)?shù)碾S機(jī)誤差就越小；當(dāng) f=1 時(shí)，抽樣時(shí)，抽樣變成全面普查，此時(shí)誤差消失。變成全面普查，此時(shí)誤差消失。yYy 一般情況下一般情況下 f 比較小，由于比較小，由于 N 是固定的，也就意味著是固定的，也就意味著 n相當(dāng)小，此時(shí)相當(dāng)小，此時(shí)(3.6)式告訴我們式告訴我們 的方差將隨著的方差將隨著 n 的減少而增的減少而增大，此時(shí)大，此時(shí) 1f

18、 在在 1 附近，對附近，對 的影響不大。事實(shí)上，的影響不大。事實(shí)上，抽取樣本越少，抽樣誤差越大。抽取樣本越少，抽樣誤差越大。)(yVar 當(dāng)然，影響當(dāng)然，影響 的方差的另一個(gè)重要因素是的方差的另一個(gè)重要因素是 或或 。設(shè)。設(shè)想，當(dāng)想，當(dāng) 相當(dāng)大時(shí)，原盒子中的數(shù)據(jù)相當(dāng)?shù)胤稚?，從一個(gè)很相當(dāng)大時(shí)，原盒子中的數(shù)據(jù)相當(dāng)?shù)胤稚ⅲ瑥囊粋€(gè)很分散的盒子中隨機(jī)取一樣本來代替總體，你不可能指望誤差分散的盒子中隨機(jī)取一樣本來代替總體，你不可能指望誤差很小。很小。y2 2S2S 對于對于 的方差，的方差，n 的影響是可以由人們主觀控制的，只的影響是可以由人們主觀控制的，只要多花費(fèi)一些，多抽取一些就能適當(dāng)降低誤差，當(dāng)然

19、這只能要多花費(fèi)一些，多抽取一些就能適當(dāng)降低誤差，當(dāng)然這只能控制在一定范圍內(nèi)?？刂圃谝欢ǚ秶鷥?nèi)。yy 可見實(shí)際抽樣調(diào)查中用可見實(shí)際抽樣調(diào)查中用 估計(jì)估計(jì) 所產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，也所產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，也即即 的方差，主要受到樣本容量的方差，主要受到樣本容量 n 的影響，因子的影響，因子1f 的影響的影響幾乎可以忽略。幾乎可以忽略。Yy 的影響是客觀存在的，盒子中數(shù)據(jù)越分散，總體就變的影響是客觀存在的，盒子中數(shù)據(jù)越分散，總體就變得越難捉摸。實(shí)際上，得越難捉摸。實(shí)際上， 本身就是一個(gè)待估參數(shù)，必須對本身就是一個(gè)待估參數(shù)，必須對 的大小給出估計(jì)，不估計(jì)的大小給出估計(jì)，不估計(jì) 就無法評價(jià)就無法評價(jià) 所產(chǎn)生的誤差

20、可能所產(chǎn)生的誤差可能有多大。有多大。2S2S2S2Synyyy,21 設(shè)設(shè) 為來自總體的樣本，既然它是總體的為來自總體的樣本，既然它是總體的一個(gè)縮影，那么這些值的離散程度應(yīng)該反映了盒子的離散程一個(gè)縮影，那么這些值的離散程度應(yīng)該反映了盒子的離散程度，因此采用統(tǒng)計(jì)量（樣本方差）：度，因此采用統(tǒng)計(jì)量（樣本方差）： niiyyns122)(11來估計(jì)來估計(jì) 。為了研究統(tǒng)計(jì)量。為了研究統(tǒng)計(jì)量 的性質(zhì)，將的性質(zhì)，將 改寫為：改寫為：2S2s2s niiYyYyns122)()(11 niiYynYyns1222)()(11可以證明：可以證明：22)(SsE 即即 是是 的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)2S2s2s用用

21、 作為作為 的估計(jì)，利用正態(tài)近似理論可以建立的估計(jì)，利用正態(tài)近似理論可以建立 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2SY 當(dāng)當(dāng)N，n，Nn 相當(dāng)大時(shí)，相當(dāng)大時(shí)， 的分布近似可用正的分布近似可用正態(tài)曲線表示，由于態(tài)曲線表示，由于)(yVarYy 2)11()(SNnyVar 所以所以)()11(21ttSYyNnP 取置信水平為取置信水平為 （ ） 110 注意到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于注意到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于0點(diǎn)的對稱性，我們有點(diǎn)的對稱性，我們有 1)11(2121uSYyNnP其中其中 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的 分位點(diǎn)，任何一本概率分位點(diǎn)，任何一本概率統(tǒng)計(jì)的書上都提供有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表以供查取分位點(diǎn)。統(tǒng)計(jì)的書上

22、都提供有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表以供查取分位點(diǎn)。21 u21 這樣，這樣， 的的 置信區(qū)間為：置信區(qū)間為：%100)1( Y)11(,)11(21212121 uSNnyuSNny其中其中 為未知參數(shù)，用其無偏估計(jì)為未知參數(shù)，用其無偏估計(jì) 來代替，則得置信區(qū)間來代替，則得置信區(qū)間Ss)11(,)11(21212121 usNnyusNny)(,)(2121 uyVaryuyVary或或例例3.2 某鎮(zhèn)有某鎮(zhèn)有3250名職工，為調(diào)查該鎮(zhèn)職工收入情況，用簡單名職工，為調(diào)查該鎮(zhèn)職工收入情況，用簡單隨機(jī)抽樣方式從中抽取隨機(jī)抽樣方式從中抽取30名，調(diào)查結(jié)果如下表。試估計(jì)該鎮(zhèn)名，調(diào)查結(jié)果如下表。試估計(jì)該鎮(zhèn)職工的平均月收入職工的平均月收入 ，并求置信水平為，并求置信水