線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)總結(jié)

1、1. 行列式的三種展開定義：按行指標(biāo)展開， 按列指標(biāo)展開， 完全展開，111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa()12121212(1)pppnnpppnpppnaaa121212121nnnp ppppnpp ppaaa121 21 12 2()()1nnn np ppq qqp qp qp qaaa 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零則此行列式為零.性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的

2、元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素與其與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即乘積之和，即11221=,niiiiininikikkDa Aa Aa

3、Aa A行列式按行（列）展開法則行列式按行（列）展開法則(Laplace 定理定理) ni,2 , 1 性質(zhì)性質(zhì) 奇數(shù)階反對(duì)稱行列式等于零奇數(shù)階反對(duì)稱行列式等于零性質(zhì)性質(zhì) 范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和結(jié)果范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和結(jié)果證證明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設(shè)方陣設(shè)方陣EAAEAAA 例例.可可逆逆故故A1 A11.2AAE且 .,1 ABEBAEAB則則或或若若矩陣的逆矩陣的逆)0( ,11時(shí)AAAEAAA)0( ,111時(shí)AAAAAAAnn)0( ,)()(111時(shí)AAAA

4、AA性質(zhì)性質(zhì),EAAAAA.1AAA 112111222212nnijijnnnnAAAAAAAAaAAA其中，是對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，得得初初等等方方陣陣兩兩行行，即即中中第第對(duì)對(duì)調(diào)調(diào))(,jirrjiE對(duì)調(diào)兩行或兩列、)1( 1101111011),(jiEi第 行j第行 0)2(乘某行或某列、以數(shù)k).()(0 kiEkriki矩陣矩陣，得初等，得初等行行乘單位矩陣的第乘單位矩陣的第以數(shù)以數(shù) 1111)(kkiE行行第第 i上去列加到另一行列乘某行、以數(shù))()(0)3(k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkr

5、rijEk 1111)(,(kkjiE行行第第i行行第第j 定理定理 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，對(duì)矩陣，對(duì) 施行一施行一次初等行變換，相當(dāng)于在次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì)階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于施行一次初等列變換，相當(dāng)于在在 的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnAAAAA ijrr變 換的 逆 變 換 是 其 本 身 ，1iirkrk變換的逆變換為()ijijrkrrk r 變換的逆變換為，1( ,)( ,) E i jE i j11( ( )( ( );E i kE ik1( , ( )( , (

6、) .E i j kE i jk性質(zhì)：()AE性質(zhì)：經(jīng)過同樣的行初等變換，,AE1EA同時(shí)，從而，12,lP PP經(jīng)變換1()EA用矩陣乘法表示21()lPP P AE2121()llPP PAPP PE1()EA求矩陣逆的方法11112112()llAPP PP PP同時(shí)，求矩陣的初等分解方法Gauss 消去法消去法(2) ()()r Ar An 有無(wú)窮多解，定理線性方程組有解 ( )r Ar A，且(1) ( )( )r Ar An，即列滿秩有唯一解；自由未知量個(gè)數(shù)為n r0,b 時(shí)( )r An唯一零解( )r An 無(wú)窮多解，非零解0Ax即齊次線性方程組Gauss 消去法消去法A若 為

7、方陣，推論 若,m nAmn，且0Ax 則一定有非零解；有唯一的解bAxA 00Ax有唯一的零解00AAx 有無(wú)窮多解，或有非零解推論 若,m nAAm，且秩( )=Axb則一定有無(wú)窮多解12121122:, 0mmmmA 給定向量組如果存在不全為零的實(shí)數(shù),使定義定義則稱則稱向量組向量組 是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)A(1)只有只有 時(shí)時(shí), （1）式成立）式成立120m線性無(wú)關(guān)的等價(jià)說(shuō)法：線性無(wú)關(guān)的等價(jià)說(shuō)法：或者（1）式成立時(shí)，必有）式成立時(shí)，必有120m123410010 ,1 ,0 ,20011 例如，例 含有零向量的向量組必線性相關(guān).性質(zhì) 若向量組的一個(gè)部

8、分組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線性相關(guān)性質(zhì) 若向量組線性無(wú)關(guān)，則其任意部分組也線性無(wú)關(guān)例 一個(gè)零向量形成的向量組是線性相關(guān)的，一個(gè)非零向量 是線性無(wú)關(guān)的.0a根據(jù)定義，列出齊次線性方程組，由解的情況進(jìn)行判斷: 有唯一零解 線性無(wú)關(guān)； 有非零解 線性相關(guān)；n12,s 推論 n個(gè) 維向量12,n線性相關(guān)0A線性無(wú)關(guān)0A推論 1n 個(gè) 維向量n必線性相關(guān)推論 設(shè)n 維向量組，若12,s,sn則 線性相關(guān)121 :,:,.nnABbbA 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān) 而向量組線性相關(guān) 則向量 必能由向量組線性表示 且表示式定是唯一的理1212,(1),(2)miiira aaaaa定義給定向量組 如果它的一個(gè)部分組

9、滿足如下條件： （I）向量組（2）線性無(wú)關(guān)； （II）向量組（1）中每個(gè)向量都可由向量組（2）線性表示. (即再添加任何一個(gè)向量都線性相關(guān))則稱向量組（2）為（1）的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.定義定義 一個(gè)向量組中，它的極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩.推論推論 兩個(gè)等價(jià)的向量組有相同的秩.向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系：nTmTTmnmmnnnmaaaaaaaaaA2121212222111211定義定義 矩陣 的行向量組的秩稱為 的行秩； 的列向量組的秩稱為 的列秩.AAAA向量組的秩與矩陣的秩互相轉(zhuǎn)化向量組與矩陣互相轉(zhuǎn)化上述定理還提供了求向量組的秩的方法：（1）將所給向量組中的各個(gè)向量作為

10、矩陣的行向量（或列向量）得到矩陣 ；（2）將矩陣 施行初等變換化為如（7）形式的的矩陣.A（3）觀察（7）知 ，則 即為所求向量組的秩.)(AR)(AR性質(zhì) 初等行（列）變換不改變矩陣的行秩，列秩以及矩陣的秩A定理定理 矩陣 經(jīng)初等行變換得矩陣 ，則 與 的行向量組等價(jià), 且 與 的列向量組具有相同的線性相關(guān)性.AAABBB21100170323303011110103300110001100000000000A所以215321431313132線性組合系數(shù)也相同的矩陣的初等變換：線性表示，線性相關(guān)性，求矩陣、向量組的秩，求極大無(wú)關(guān)組，求線性表示系數(shù)，求線性方程組的解等等(2)()()()R

11、ABR AR B(3),()()P QR PAQR A若可逆，則推論推論3 給定AmsBsn為矩陣， 為矩陣,則(1) ()min ( )( )R ABR AR B，定義 為一個(gè)向量空間，向量 滿足Vr,21r,21（1） 線性無(wú)關(guān)； （2） 中任意一個(gè)向量都可由向量組Vr,21線性表出.則向量組 稱為向量空間 的一個(gè)基，r,21V 稱為向量空間 的維數(shù)，也稱 為 維向量空間.rVVrdim Vr記 為基的實(shí)質(zhì)：向量組 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組V線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)012AxS若有解，設(shè)解集合為 ，由性質(zhì) ，可得121212.SSSkRkS、若 ，則；、若，則.SS集合 對(duì)向量的加法和

12、數(shù)乘兩種運(yùn)算是封閉的，構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為齊次線性方程組的解空間如何求解空間的維數(shù)和一組基？ :0Sx Ax線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu),100,010,00121 nrrxxxArArA設(shè) 的秩為 ，并不妨設(shè) 的前 個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，于是 的行最簡(jiǎn)階梯形為1111100100000000n rrrn rbbbbB， 111112211211,2,rn rnrn rnrrrrn rnxb xbxxb xbxxb xbx ,21222121211121 rrnrnrnrrrbbbbbbbbbxxx線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)1 122rrnn r 12n rS， ， ，就是解空

13、間 的一個(gè)基11121121222121221100010001n rn rrrrrn rrrrrnbbbbbbbbb或者稱為齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)0nAx 元齊次線性方程組定理的解空間： 0R AnAx當(dāng)時(shí)，方程組有唯一零解， 0R ArnAx當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解，此時(shí)，方程組的任一解可以表示為1 122,n rn rxkkk12,.n rk kk，任意實(shí)數(shù)通解的向量表示形式0S解空間 為 維向量空間，無(wú)基礎(chǔ)解系；12n rn r基礎(chǔ)解系含有個(gè)向量 ， ，Snr即解空間 的維數(shù)為線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu).上面的證明過程提供求方程組基礎(chǔ)解系

14、的方法1234123412342430,35640,.45230.xxxxxxxxxxxx例 求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系和通解A解將 通過初等行變換化為行最簡(jiǎn)階梯形， 000056107801325446533421A . 056, 078432431xxxxxx1343423487,.65xxxx xxxx 為自由未知量令令3410,01xx ， 57,6821xx線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)從從而而得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為128765,1001，dim( )2S 故方程組的通解向量形式為1 12212,.xkkk k，為任意實(shí)數(shù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)0,可以表示成0

15、0AxbAx其中 為的一個(gè)特解， 為的一個(gè)解Axb的任意解nAxb元齊次線性方程組定理的解： R AR ArnAxb當(dāng)時(shí)，有無(wú)數(shù)多個(gè)解，方程組的全部解為：01 122,n rn rxkkk12,.n rk kkR，通解的向量形式120n rAx若 ， ， ，為的一個(gè)基礎(chǔ)解系0Axb是的一個(gè)特解，則線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)1234123412342431,35640,.45235.xxxxxxxxxxxx例 求 的所有解A解 將 通過初等行變換化為行最簡(jiǎn)階梯形1243 11087535640016534523500000A，的的方方程程組組即即得得到到與與原原方方程程組組同同解解13

16、4234875,653.xxxxxx.653xxxx xxxx 自由未知量3400( 5,3,0,0)xx 令得一特解：線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)令令3410,01xx ，1287,65xx得從從而而得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為128765,1001，13423487,65xxxxxx 又導(dǎo)出組的一般解為于是所求方程組的全部解為：0112212,kkk kR，線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)(1) 寫出系數(shù)矩陣及其增廣矩陣；求解過程：(2) 初等行變換化增廣矩陣為簡(jiǎn)化的階梯型矩陣(4)寫出對(duì)應(yīng)的齊次導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系;(3)寫出原來(lái)的非齊次組的一個(gè)特解；(5)

17、寫出原來(lái)的非齊次組的一個(gè)通解。第五章 特征值特征向量矩陣特征值，特征向量的定義及實(shí)質(zhì)矩陣相似的定義及相關(guān)性質(zhì)相關(guān)性質(zhì)相似對(duì)角化的條件，實(shí)對(duì)稱矩陣特征值、特征向量的性質(zhì)(3條)特征值，特征向量的具體求法實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化特征值的性質(zhì)，與行列式、跡之間的關(guān)系第六章 二次型二次型定義，其與矩陣元素之間的關(guān)系矩陣的合同關(guān)系，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范型復(fù)、實(shí)對(duì)稱矩陣的合同（對(duì)角化）條件，正定矩陣的性質(zhì)與判定定理：四條OOOEr22212,rfzzz定理定理 復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)可逆線性替換轉(zhuǎn)化成唯一的規(guī)范形，即定理定理 任意一個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣都合同于一個(gè)形式為是原矩陣的秩。的對(duì)角矩陣，其中r亦

18、即推論推論 復(fù)對(duì)稱矩陣彼此合同的充要條件是它們的秩相同prp定理定理 實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)二次型都可經(jīng)可逆替換轉(zhuǎn)化成唯一的規(guī)范形。定義定義 二次型的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) 稱之為二次型的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) 稱之為二次型的負(fù)慣性指數(shù)，他們的差 稱之為符號(hào)差rpprp2)(當(dāng)然，正負(fù)慣性指數(shù)之和等于矩陣的秩或者二次型的秩。rp由秩 合正項(xiàng)個(gè)數(shù) 唯一決定推論推論 實(shí)對(duì)稱矩陣彼此合同等價(jià)于它們的正負(fù)慣性指數(shù)是相同的常用解題思路常用解題思路利用向量空間 的思想120()sABB 1.若出現(xiàn)，則12,0sAx 將轉(zhuǎn)化成的解 :0 x Ax *AAAA AA E2.條件中有 出現(xiàn)，考慮()0)(_)f AAbEAbEE3.條件，求證(a可逆，則分解出(a的形式4. 條件要求確定參數(shù)的取值，考慮是否有某行列式為零等等反之，向量組的求秩等運(yùn)算也經(jīng)常轉(zhuǎn)化為矩陣之間的乘積運(yùn)算線性代數(shù)的常用解題思路線性代數(shù)的常用解題思路6.線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的證明，多利用定義7.正定矩陣有關(guān)的證明，通常也是定義預(yù)先處理一下定義向量，則用若已知特征值或者特征A. 58.,