商高定理的驗(yàn)證

1、商高定理的驗(yàn)證cbabbbaaaccc 第11種    (a+b)2=c2+4(ab)a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2 (一)第一種證法： 利用四個(gè)兩股分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形(如圖一)。 大正方形的面積=c×c=c2 小正方形的邊長(zhǎng)=a-b 其面積=(a-b)2=a2-2ab+b2ccba圖一 四個(gè)直角三角形的面積和=4×ab=2ab 由四個(gè)直角三角形的面積和+小正方形的面積 =大正方形的面積，化簡(jiǎn)推出a、b、c的關(guān)係。 2ab+( a2-2ab+b2)=c2 2ab+ a2-

2、2ab+b2=c2 a2+b2=c2 bbaacc圖二甲丙乙(二)第二種證法： 利用二個(gè)兩股分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和一個(gè)兩股皆為c的等腰直角三角形拼成一個(gè)梯形(如圖二)。 利用梯形面積為(上底+下底)×高÷2，算出 此梯形的面積=(b+a)×(a+b)÷2 =(ba+b2+a2+ab)÷2 =(a2+2ab+b2) 甲的面積=ab 乙的面積=ab 丙的面積=c2 由梯形面積=甲的面積+乙的面積+丙的面積，化簡(jiǎn)推出a、b、c的關(guān)係。 (a2+2ab+b2)=ab+ab+c2 a2+2ab+b2= ab+ab+c2 a2+b2

3、=c2 (三)第三種證法： 以直角ABC的三邊分別做一個(gè)正方形，並作/、連接及(如圖三)，利用面積的方法來(lái)證明商高定理。 正方形BCDE的面積=a×a=a2DNAGFCEBMQPKL圖三abc EBA的面積=× =a×a=a2 正方形BCDE的面積=2EBA的面積 矩形BPQM的面積=× MBC的面積=× =(BPCL是一個(gè)矩形) 矩形BPQM的面積=2MBC的面積 =，=，MBC=EBA EBAMBC(SAS全等性質(zhì)) 由、可知， 正方形BCDE的面積=矩形BPQM的面積 同樣的方法可證明，正方形ACFG的面積=矩形APQN的面積

4、由以上的證明可得， 正方形BCDE的面積+正方形ACFG的面積 =矩形BPQM的面積+矩形APQN的面積 故正方形BCDE的面積+正方形ACFG的面積=正方形ABMN的面積 即a2+b2=c2 aAIKJGFCBLDEMHbc圖四第四種證法：這種證法也是利用面積相等的方法來(lái)證明 (如圖四)，/，/，/。 正方形BCDE的面積=a×a=a2 平行四邊形ABEL的面積 =×= a×a=a2 正方形BCDE的面積=平行四邊形ABEL的面積 矩形BHIJ的面積=× 平行四邊形BCMJ的面積=× 矩形BHIJ的面積=平行四邊形BCMJ的面積 J

5、BC=ABE，=，= 平行四邊形ABEL平行四邊形BCMJ (對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)邊也相等) 由、可知， 正方形BCDE的面積=矩形BHIJ的面積 同樣的方法可證明，正方形ACDE的面積=矩形AHIK的面積 由以上的證明可得， 正方形BCDE的面積+正方形ACDE的面積 =矩形BHIJ的面積+矩形AHIK的面積 故正方形BCDE的面積+正方形ACDE的面積=正方形ABJK的面積 即a2+b2=c2 第五種證法：這也是利用拚湊圖形的方法來(lái)驗(yàn)證。如圖五和圖六都是由四個(gè)以a、b為兩股，c為斜邊的直角三角形；以及一個(gè)邊長(zhǎng)為(a-b)的小正方形所拚湊而成的。 圖六，大正方形的面積=c2 圖五，=+

6、=(a-b)+b=a 正方形ACDF的面積=a2 =-=a-(a-b)=a-a+b=b 正方形FGHJ的面積=b2 由圖形五的面積=圖形六的面積，可得a2+b2=c2 ABCIDEFGHJ圖五abba圖六abca-b     第六種證法： 利用四個(gè)兩股分別為a、b，斜邊為c的直角三角形-ABC、ASK、KRJ、JBP所圍成的圖形(如圖七)。ACKSRJQBPacb圖七 JPQR是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形， 其面積=b2 ASQC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形， 其面積=a2 ，且AKJ=90 KJBA是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形， 其面積=c2 由AS

7、K與KRJ的面積和+五邊形ASRJB的面積 =ABC與JBP的面積和+五邊形ASRJB的面積，可推得 正方形KJBA的面積=正方形ASQC的面積+正方形JPQR的面積 即c2=a2+b2 第七種證法： 如圖八，NPM、BCA、DCF、MRB、ASN是全等的直角三角形，四邊形ANMB、ACFG、BCDE都是正方形。PNMDAGFCBAE圖八RS 四邊形SPRC是正方形 NPC=ACP=45 四邊形ACFG、BCDE也都是正方形 BEG= =45 我們可以證明四邊形NPCA四邊形BEGA： NPC=BEG，ACP=AGE PNA=EBA，NAB=BAG 且， ， 四邊形NPCA四邊形BE

8、GA 四邊形NPCA的面積=四邊形BEGA的面積 同理可證明， 四邊形BCPM的面積=四邊形DEGF的面積 將、兩式相加，得 四邊形NPCA的面積+四邊形BCPM的面積 =四邊形BEGA的面積+四邊形DEGF的面積 再同時(shí)減去共同的部分BCA，以及全等的部分(分別是NPM與DCF)，得 正方形ANMB的面積= 正方形BCDE的面積+正方形ACFG的面積 即c2=a2+b2 第八種證法：證明CBA、CAD、ABD彼此相似(直角三角形的母子相似性質(zhì))可證出(如圖九)。ABDCcab圖九 即a2+b2=c2 ABDCcab圖十第九種證法：利用母子相似性質(zhì)和相似三角形面積的比等於對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的平方比的性質(zhì)可得(如圖十)。 CBA、CAD、ABD彼此相似 由和比性質(zhì)可得， ABD+CAD=CBA 即a2+b2=c2第十種證法：根據(jù)多洛梅定理：圓內(nèi)接四邊形，