初二三角形常見輔助線做法總結(jié)及相關(guān)試題

1、數(shù)學(xué)專題三角形中的常用輔助線典型例題人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。全等三角形輔助線                                   找全等三角形的方法：（1）可以從

2、結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點D，

3、CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長BA，CE交于點F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”

4、性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關(guān)知識點和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。 （2） 若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC 邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。 思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件

5、都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程：  證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分線1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。 （3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常

6、常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3：已知，如圖，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD。求證：B+ADC=180°。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路：因為AC是BAD的平分線，所以可過點C作BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180°，B+ADC=180°。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；見中點即聯(lián)想到中位

7、線。 （4）過圖形上某一點作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。  求證：DE=DF。思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形DEB與DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG/CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：證明：過E作EG/AC交BC于

8、G，則EGB=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例5：ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^O作BC的平行線。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ

9、，只要再證出BD=OD就可以了。解答過程：證明：如圖（1），過O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°，    ADO=AQO，    又DAO=QAO，OA=AO，    ADOAQO，    OD=OQ，AD=AQ，    又ODBP，    PB

10、O=DOB，    又PBO=DBO，    DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70°，    BOP=OBA+BAO=70°，BOP=BPO，BP=OB，    AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。               

11、      解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。如圖（5），過P作PDBQ交AC于D，則ABPADP從而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中

12、心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。 （5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，ADBC，點E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題

13、的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4。在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中

14、兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第

15、一章是分式。    請同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問題。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的運算法則是什么？ 同步練習(xí)全等三角形中的常見輔助線的添加方法舉例一 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖1：已知AD為ABC的中線，且12,34,求證：BECFEF。二、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖2：AD為ABC的中線，且12，34，求證：BECFEF三、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例：如圖3：AD為 ABC的中線，求證：ABAC2AD。 圖3第1頁練習(xí)：已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4， 求證EF2AD。 四、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖5：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點。求證：ABACPBPC。五、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖6：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求證：ADBC第2頁